Chuyên đề giới hạn của dãy số - Huỳnh Ái Hằng

S là tổng vô hạn các phần tử của một cấp số nhân.. Khẳng định nào sau đây sai?[r]

Trang 1

Tác giả: HUỲNH ÁI HẰNG ( Huế ) Biên tập: Lê Bá Bảo ( Huế )

Chủ đề 1:

I- LÝ THUYẾT:

1 ĐỊNH LÍ 1: Cho hai dãy số    u n , v Nếu n ;

*

lim 0

n

v









 thì limu n0

2 CÁC PHÉP TOÁN : Giả sử limu n  L , limv nM và c là một hằng số Khi đó:

*

n n

n

Định lý 1:NGUYÊN LÝ WEIERSTRASS

Một dãy số tăng và bị chặn trên ( hoặc giảm và bị chặn dưới ) thì có giới hạn

Định lý 2: (ĐỊNH LÝ KẸP GIỮA)

Cho 3 dãy số ( ), ( ),u n v n (w với: n) v n u nw n ;  n *

lim

n

n n





Trang 2

*CÁC KẾT QUẢ QUAN TRỌNG:

* limc c , c *

3 3

lim lim

lim

n n

n



  





0 lim 0

n

n n

  



* Tổng cấp số nhân lùi vô hạn q 1: 2 1

1 1 1

1

u

S u u q u q

q



* lim n lim 1 0

n

u

3

* limq n 0 nếu q 1

lim k 0 k

n   Mở rộng: lim c k 0

* limn ; lim n ; lim3n 

* limq n  nếu q1

limn k  , k

3 MỘT VÀ QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ:

limu n  , limv n   limu n  , limv n  L 0 limu n L 0, limv n0

limu n limv n limu v n n limu n Dấu L limu v n n Dấu L Dấu v n

lim n n

u v





















































II – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:

Câu 1 Với k là số nguyên dương thì lim 1k

n bằng

Hướng dẫn:

1

lim k 0, k

Lựa chọn đáp án C

Trang 3

Câu 2 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A lim1 lim 1k ; k 

n n   B limq  nếu n 0 q  1

C lim c  ( c là hằng số) c D lim3u n 3 limu n

Hướng dẫn:

limq  n 0 nếu q 1

Lựa chọn đáp án B.

Câu 3 Cho dãy số  u n thỏa mãn u n 2 12

n

  với mọi n Khi đó, limu n có giá trị bằng

A 2 B 2 C 0 D 1

Hướng dẫn:

Vì u n 2 12

n

  và lim 12 0

n  nên limu  n 20 Vậy limu  n 2

Lựa chọn đáp án A.

Câu 4 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

A 1

1

n  B

1

n n



D cos n

n

Hướng dẫn:

     



Lựa chọn đáp án C.

Câu 5 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A 3

2

n

 

 

  B 54

n

 

 

 

2 3

n

 

 

  D 43

n

 

 

 

 

Hướng dẫn:

Vì 1 2 1

3

   nên lim 2 0

3

n

 

  

 

Câu 6 Dãy nào sau đây không có giới hạn?

A 2

3

n

 

 

  B 23

n

 

 

 

  C. 0,99n D  1n

Hướng dẫn:

Nếu n chẵn thì  1 n1, n lẻ thì  1 n 1 Do đó dãy số  1n không có giới hạn

Trang 4

Câu 7  1

lim

2

n n



 có giá trị bằng

A 1

2



Hướng dẫn:

Câu 8 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

A 1

 1

n



C 5 4

n

 

 

2

n

Hướng dẫn:

Vì 5 1

4 nên lim 5

4

n

 

   

 

Câu 9 lim1 2

4

n n



có giá trị bằng

A 1

1 4

1 2



Hướng dẫn:

1 2

n



Lựa chọn đáp án D.

Câu 10 lim3 5

5

n



8

5

Hướng dẫn:

3 1 5

3 5

1 5

n

 

  

 



Trang 5

Câu 11

1

lim

3.4 7

  

 có giá trị bằng

3

Hướng dẫn:

1

7



   

   

 

 

Câu 12

2

2 2

lim

π

  có giá trị bằng

A 1

1

Hướng dẫn:

2

2 2

3 1

4

π

   

    

   

   

Câu 13

3 4

lim

  có giá trị bằng

Hướng dẫn:

4

3 4

Câu 14 Gọi L lim 4 sin 3n

n

  thì L bằng số nào sau đây?

Hướng dẫn:

Trang 6

Ta có sin 3n 1

n n limsin 3n 0

n

Câu 15

4 4

lim

 

A. 0 B 2

5

Hướng dẫn:

4

3

2

n

Câu 16

3 2 2

lim

  có giá trị bằng

Hướng dẫn:

3

2

2 2

2 3

1 1

n





Câu 17    

2

lim

1 2 5

  có giá trị bằng

A 0 B 1

Hướng dẫn:

2 2

2

      

          

        

            

      

Câu 18 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 12 1

S      có giá trị bằng

A 1

1

2

5

4

Trang 7

Hướng dẫn:

2

S      là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1

5

q 

Khi đó,

1 1 5

1 4 1

5



Câu 19 Cho các dãy số        u n , v n , w n , α n với 3 21, 2 2

n



2017 4

2017 2

n



 Có bao nhiêu dãy số có giới hạn bằng 0 trong các dãy số trên?

Hướng dẫn:

Có 3 dãy có giới hạn bằng 0 gồm      u n , v n , w n

Câu 20 Biết lim4 1

2

n

a n

 

 Hỏi a là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A x   2 4 0 B x25x  C 4 0 2

x  x  D

2

4

0

x





Hướng dẫn:

4 1

2

n

 Lần lượt thế a  vào các phương trình ở các phương án 4

Lựa chọn đáp ánB.

Câu 21  3 2 

lim 3n n 1 có giá trị bằng

A.2 B 1 C  D 

Hướng dẫn:

3

1 1 lim 3n n 1 limn 3



       

Câu 22  2 2 

lim n  n n 2 có giá trị bằng

2

Hướng dẫn:

Trang 8

   2   2 

2

lim

2

n



Câu 23  2 2 

lim n  n n 2 có giá trị bằng

A 1 2 B  C. 1 D. 

Hướng dẫn:

2

          

Câu 24

2

2 lim

n n n

2

Hướng dẫn:

2

lim

2 lim

n n n



=

n

Câu 25 lim3n13n có giá trị bằng

Hướng dẫn:

3 3

n n

 

Trang 9

Câu 26 lim1 3 5 (22 1)

n n

Hướng dẫn:

1 3   5 (2n1) là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng có u11, u n2n1 và công

sai d  2

Do đó 1 3 5 (2 1) 1 2 1 2

2

n

          Suy ra

2

3

n

Câu 27

1.2 2.3 3.4 n n 1

Hướng dẫn:

Ta có:  1 1   11 1 11.

 



Do đó

       

              

Suy ra

Câu 28 Cho dãy   1

1

1 :

1

n n

u

u u



 





Lúc đó, limu n bằng

Hướng dẫn:

Dùng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được u n 1 limu n 0

n

Trang 10

III – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN:

Câu 1 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A Nếu limu  n 0 thì limu  n 0 B Nếu limu   n thì limu   n

C Nếu limu   n thì limu   n D Nếu limu n a thì limu n a

Câu 2 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

A Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm

B Nếu  u n là dãy số tăng thì limu   n

C Nếu limu   n và limv   n thì limu nv n0

D Nếu u n và 1a n    thì a 0 limu  n 0

Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A lim3 f x g x  3limf x g x 

B lim3 f x g x 3 limf x 3 limg x 

C lim3 f x g x lim3 f x lim3 g x 

D lim3 f x g x lim3 f x 3 g x 

Câu 4 Với a là một số thực, trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Nếu limu na và limv   n thì lim n 0

n

u

v 

B Nếu limu na và limv   n thì lim n 0

n

u

v 

C Nếu limu na và limv   n thì limu v   n n

D Nếu limu n a 0 và limv  n 0 và v  n 0 với mọi n thì lim n

n

u

v  

Câu 5 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Mọi dãy dương đều có giới hạn

B Mọi dãy tăng đều có giới hạn

C Mọi dãy giảm đều có giới hạn

D Mọi dãy là dãy không đổi đều có giới hạn

Câu 6 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Mọi dãy bị chặn đều có giới hạn

B Mọi dãy tăng và bị chặn trên đều có giới hạn

C Mọi dãy giảm và bị chặn trên có giới hạn

D Mọi dãy tăng và bị chặn dưới đều có giới hạn

Câu 7 Cho  u n là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q Khẳng định nào sau đây là đúng?

A q 1

Trang 11

B 1

1 2

1

n

u

q



1 1 2 1

1

q



D lim 1

1

n

u S

q





Câu 8 Để tính lim2.4 5 13

2 5

n n

 ta tiến hành

A Chia cả tử và mẫu cho 2n

B Chia cả tử và mẫu cho 3n

C Chia cả tử và mẫu cho 4n D Chia cả tử và mẫu cho 5n

Câu 9  

 

1

lim

n n n n



A 1

3

2 5

5



Câu 10

lim



A 3

2

Câu 11  2 3

lim

1

n

A 0 B 1

Câu 12     

lim

   có giá trị bằng

A 0 B 8

Câu 13   

3 2

4

lim

2

Câu 14

3

2

lim

1 1 2

2

4

Trang 12

Câu 15 Tổng 1 1 1 1

1

+ +

n n S





 



    

A 1 B 1

3

2

3

Câu 17 Với k là số nguyên dương thì lim n bằng k

Câu 18 lim2n32n23 có giá trị bằng

A.2 B 1 C.  D. 

Câu 19  4 2 

lim 3n 4n  n 1 có giá trị bằng

Câu 20  2 2 

lim n  4 n 1 có giá trị bằng

lim n 2n 1 2n n có giá trị bằng

A 1 2 B  C 1 D 

Câu 22  2 

lim n 2n 3 n có giá trị bằng

Câu 23

2

lim

n

Câu 24 lim 1 12 13 1

  có giá trị bằng

A 1

1

lim 2n   n 1 2n 3n2 có giá trị bằng

A 1

Câu 26 lim 1 1

    có giá trị bằng

Trang 13

Câu 27

2017 2016

2017 2015 lim

3



Câu 28

1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 3

A 1

Câu 29 lim n n 2 n3

Câu 30 Nếu limu nL thì lim3 u  n 8 có giá trị bằng

A L  2 B 3 L 8 C 3 L  2 D L  8

Câu 31 Nếu dãy  u n với u n 0,  n  và limu nL thì lim 1

9

n

u  có giá trị bằng

A 1

3

L  B

1 9

1 3

1 9

L 

Câu 32 Cho dãy số  u n với limu  n 3 Khi đó, lim2 4

1

n

u u



2

Câu 33 Cho dãy số  u n với limu   n Khi đó, lim 2 2

1

n

u u



Câu 34 Cho dãy số  u n với  2  

n

u     Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

n n



B limu   n

C limu   n

D Dãy số  u n không có giới hạn khi n  

Câu 35

3 3

1 lim

8

n n



A 1 B 1

1

Trang 14

Câu 36

3

2

lim

n

Câu 37 lim 1 1 1  1 

1.4 4.7 7.10 3n 2 3n 1

A 1

3

1.2 2.3 3.4 1 lim

2016 2017

n n n

A 1

2017 B

1

Câu 39 lim 3 ( 1) cos 3

1

n

  có giá trị bằng

A 3

Câu 40 lim 3 n 5n



  có giá trị bằng

Câu 41

2 2

1 lim

2

Câu 42 3 3 

lim n 2nn có giá trị bằng

A 2

3

Câu 43 3 2 3 

lim n n n có giá trị bằng

A 1

Câu 44. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A

2 2

1 3

n

n u





1 3

3

n

n u







C

2

1 2

5

n

n u

n





1 2 5

n

n u

n







2

2 5 8 3 1

n

    

A 1

Trang 15

Câu 46 Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?

A

2 2

2

n

u





1 2

n

n u

n







C

2 2

n

n u

n





2 3

2 5

n

n u







Câu 47 Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?

A

2 2

3 2

n

u





2018 2017

1

n

n u

n







C u n2017n2016 n2 D u nn21

Câu 48 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng  1?

A

2 3

n n



3 3

n n



C

2

n



3 2

3

1

n n



 

Câu 49 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

A

2 3

n n



3 2

n



C

2 4

2



3 2

3 5

1

n n





Câu 50 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?

A

2 3

2

4

n n



3 2

2

n n n



C

2 3



4 2

3 2

n n



Câu 51 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?

A lim  1 sin

2

nπ

  

    

  

C lim cos

2

π nπ

  

Câu 52 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1?

A lim sin nπ  B lim cos nπ 

C lim sin 2

2 1

n π n

  

cos 2 limn n

n



Câu 53 Biết lim4 1

1 2

n

M n

 

4 3 lim

2 4

n m





 Tích M m bằng .

1 2



Trang 16

Câu 54 Biết lim20172017 0

n  và lim 20172017 0

n



2017

2017 sin 2017

A 2017 B 2017 C 1 D 0

Câu 55 Để tính lim1 2 3 2 n

n

   

, một học sinh làm như sau:

Bước 1: Ta có 1 2 3 2 n 12 22 32 n2

   

Bước 2: Suy ra lim1 2 3 2 n lim 12 22 32 n2



Bước 3: Suy ra lim1 2 3 2 n lim 12 lim 22 lim 32 lim n2

   

Bước 4: Suy ra lim1 2 3 2 n 0 0 0 0 0

n

   

     

Bạn học sinh đã giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai thì bước nào?

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bài giải đúng

Câu 56 lim1 3 5 (22 1)

n n

A 0 B 1

4

Câu 57 lim1 2 3 2

2

n n

   

2



Câu 58

1.2 2.3 n n 1

A 1

Câu 59 Cho dãy    

1

* 1

2

n n

n

u u

u



 



Câu 60 Cho dãy  

1

* 1

1 2 :

3

n

u u





Câu 61

3

1 2 3

lim

4 2017

n n

A 1

1

Trang 17

Câu 62 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Một dãy số có giới hạn thì luôn tăng hoặc luôn giảm

B Nếu n

n

u a và a1 thì limu n0

C Nếu limu n 0 và limv n   thì lim( ) 0u v n n 

D Nếu limu n   thì lim2017 0

n

Câu 63 Khẳng định nào sau đây là sai?

A Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

B Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

C Nếu limu n   và limv n   thì lim n 1

n

u

v 

D Nếu u n a nvà 2 a 1



   thì lima n 0

Câu 64 Khẳng định nào sau đây là sai?

A Nếu limu n a và limv n b thì lim(u nv n) a b

B Nếu limu n   và limv n   thì lim(u nv n) 0

C Nếu u n0 với mọi n và lim v n a thì a0

D Nếu limu n  2 và limv n2018 thì lim n 1009

n

v

u  

Câu 65 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Nếu limu n a và limv n b thì lim n

n

v b

B Nếu limu n a thì lim u n  a

C Nếu limu n 5 và limv n 0 thì lim n

n

u

v  

D Nếu u n a n và a 2 thì limu n  

Câu 66 Cho dãy số  u n với 2 4 6 23

n

n u

   



  Khẳng định nào sau đây đúng?

A limu n 0 B limu n 2 C limu n 3 D limu n  

Câu 67 Cho dãy số  u n với

2 1

1 2 2 2

n

u      

 Khẳng định nào sau đây đúng?

A lim 1

2

n

u  B limu n 1 C limu n   D limu n  

Câu 68 Cho dãy số  u với u 2016  5 Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 18

A limu n 0 B limu n 5 C limu n 7 D limu n 2016

Câu 69 Cho 1 1 1 1

S      Khẳng định nào sau đây đúng?

A S0 B S1 C lim 1

2

n

u  D limu n  

Câu 70 Cho S  1 2 22  2n Khẳng định nào sau đây sai?

A S 

B Slim(1 2 2  2  2 )n

C S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

D S là tổng vô hạn các phần tử của một cấp số nhân

Câu 71 Cho dãy số  u có n limu n  Khẳng định nào sau đây sai?

A lim 2 1

n n

u u



2

lim

2

n n

u u





C lim3u n6  D

2 1 1 lim

n n

u u

 

 

- HẾT -

Trang 19

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn

phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,72 MB