Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Lương Phong

Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. b) Chứng minh rằng nếu tổng [r]

TRƯỜNG THCS LƯƠNG PHONG ĐỀ THI HSG LỚP 8

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Đề số 1

Câu 1

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau 9x2+y2+2z2−18x+4z−6y+20=0

b) Giải phương trình x4−30x2+31x−30=0

Câu 2

b) Chứng minh rằng A=n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn

Câu 3

a) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

( 1)( 2)( 3)( 6)

b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3

Câu 4

b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Câu 5

b) Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn a b c+ + =2016 và 1 1 1 1

2016

a+ + =b c

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm)

a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2+y2+2z2−18x+4z−6y+20=0

Ta có:

9x +y +2z −18x+4z−6y+20=0

3x −2.3 3 3x + +y −2 .3 3y + +2 z +2z+ = 1 0

3x−3 + y−3 +2 z+1 =0

Vì ( )2 ( )2 ( )2

3x−3 0; y−3 0; 2 z+1 0 với mọi x, y, z nên:

1

3

1

x

y

z

=



 =



 = −



b) Giải phương trình: x4−30x2+31x−30=0

Hướng dẫn

x − x + x− =

Ta có:

2

x − + =x x−  + 

2

5

6

x

x

=





Câu 2

Hướng dẫn

10

 − +  −  + −  + − =

25 23 21 19

25 23 21 19

  nên 123 – x = 0, suy ra x = 123

b) Chứng minh rằng: A=n3+6n2+8n chia hết cho 48 với n chẵn

Hướng dẫn

n + n + n chia hết cho 48 với n chẵn

Ta có:

3 2

A=n + n + n

A=n n + n+

( 2)( 4)

A=n n+ n+

Vì n là số chẵn nên đặt n=2k k(  ), khi đó:

A= k k+ k+

A= k k+ k+

3

A= k k+ k+

Vì k k( +1)(k+ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên: 2)

- Tồn tại một số là bội của 2 nên k k( +1)(k+2 2) nên A16

- Tồn tại một số là bội của 3 nên k k( +1)(k+2 3)

Vậy A chia hết cho 3, 16 mà (3,16)= nên 1 A 3.16=48

Câu 3 (2 điểm)

a) Tìm các giá trị của x để biểu thức:

( 1)( 2)( 3)( 6)

b) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia

hết cho 3

Hướng dẫn

( 1)( 2)( 3)( 6)

P= −x x+ x+ x+

2 2

x + x =

Từ đó ta tìm được x = 0 hoặc x = -5 thì min P = -36

Ta có:

a +b = a+b a −ab b+

a +b = a b+  a + ab b+ − ab

3

a +b = a b+  a b+ − ab

M F

E

B A

3

a b+  a b+ − ab

Câu 4 (3 điểm)

b) Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất

Hướng dẫn

b) DE, BF, CM là ba đường cao của  EFC  đpcm

c) Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

ME MF a

AEMF

M

Hướng dẫn

2.2 3.3 4.4 100.100

1.2 2.3 3.4 99.100

100 100

Đề số 2

Câu 1

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A=(a+1)(a+3)(a+5)(a+ + 7) 15

4

Chứng minh rằng a= = b c

Câu 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=a4−2a3+3a2−4a+5

Câu 3 Tìm số dư trong phép chia của biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 2016 cho đa thức

2

10 21

x + x+

Câu 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho

BD= AE Xác định vị trí của điểm D, E sao cho:

a) DE có độ dài nhỏ nhất

b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất

Câu 5

a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền thì

thì các số x=9a+4b+ ; 8c y=4a+ +b 4c; z=8a+4b+ cũng là số đo ba cạnh của một tam giác 7c

vuông khác

Câu 6

a) Tìm các số x, y nguyên dương biết 6x+5y+18=2xy

b) Tìm các số nguyên x, y biết 5x−3y=2xy−11

ĐÁP ÁN

Câu 1

a) A=(a+1)(a+3)(a+5)(a+ + 7) 15

Đặt 2

a + a+ =t, ta có:

2

A t t

= + +

Do đó

A= a + a+ a+ a+

b) Ta có:

4

bc ac ab c

b a ac a

c bc c

b ab b

a2 + 2 −2 + 2 + 2 −2 + 2 + 2 +2 =4 2 +4 2 +4 2 −4 −4 −4

0 ) 2 (

) 2 (

) 2 (a2 +b2 − ac + b2 +c2 − bc + a2 +c2 − ac =

0 ) ( ) ( )

(a−b 2 + b−c 2 + a−c 2 =

Vì (a − b)2 0;(b − c)2 0;(a − c)2 0; với mọi a, b, c

nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b)2 =0;(b − c)2 =0 và (a − c)2 =0

Vậy a= = b c

Câu 2

Ta có:

( ) ( )

2 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A=  − =  = 3 a 1 0 a 1

Câu 3 (2 điểm)

Tìm số dư trong phép chia của biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+ +8) 2016 cho đa thức 2

10 21

x + x+

Hướng dẫn

P x = x+ x+ x+ x+ + = x + x+ x + x+ +

10 21 ( 3; 7)

t=x + x+ t − t − , biểu thức P(x) được viết lại:

Do đó 2

2 2001

Câu 4 (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE Xác định vị trí của điểm D, E sao cho:

a) DE có độ dài nhỏ nhất

b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn

a) Đặt AB = AC = a, DB = AE = x ( 0 x a  )

E D

C B

A

Ta có:

2

2

2 2

2

2

a DE

Vậy DE nhỏ nhất bằng

2

x

 =

Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

b) Diện tích của tam giác ABC là: 1 2

2a

2 a−x x

Khi đó diện tích của tứ giác BDEC là:

2

2

2

x

Vậy diện tích của tứ giác BDEC nhỏ nhất bằng

2

3

x

 =

Khi đó D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

Câu 5

a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Hướng dẫn

a) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z

Theo đề bài ta có:

( )

2

x +y =z

x +y =z 2 ( )2

2

2

4

z = x+y − x+ +y z

2 2

2 2

 + = + −

4

z x y

 = + − thay vào (1) ta được:

(x−4)(y− = 4) 8

(x−4)(y− =4) 1.8=2.4

Từ đó tìm được các giá trị của x, y, z là:

(x = 5, y = 12, z = 13); (x = 12, y = 5, z=13)

(x = 6, y = 8, z = 10); (x = 8, y = 6, z = 10)

a =b +c

Ta có: x=9a+4b+8cx2 =81a2+16b2+64c2+72ab+144ac+64bc mà a2 =b2+c2

y= a b+ + cy = a +b + c + ab+ ac+ bc mà a2 =b2+c2

 = + + + + (2)

z= a+ b+ cz = a + b + c + ab+ ac+ bc mà 2 2 2

a =b +c

Từ (2) và (3) ta có y2+z2 =97b2+145c2+72ab+144ac+64bc (4)

Từ (1) và (4) suy ra x2 = y2+z2

Vậy x, y, z cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông

Đề số 3

Câu 1(4.0 điểm) : Cho biểu thức A = 23 3 3 4

a) Rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh rằng giá trị của A luôn dương với mọi x ≠ - 1

Câu 2(4.0 điểm): Giải phương trình:

a) x2−3x+ + − = 2 x 1 0

 +  +  +  −  +  +  = +

Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy ≠ 0 và x + y = 1

xy

−

Câu 4(3.0 điểm): Chứng minh rằng: Với mọi x  Q thì giá trị của đa thức :

M = (x+2)(x+4)(x+6)(x+ + là bình phương của một số hữu tỉ 8) 16

Câu 5 (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m=AB

số đo của góc AHM

BC = AH HC

+

ĐÁP ÁN Câu 1

a) Rút gọn: A = 23 3 3 4

2

2

=

2

2

1

− +

b) Với mọi x ≠ - 1 thì A =

2 2

1 1

x x

x x

+ +

− + =

2 2

x x

 +  +

 −  +

Vì

 +  +   −  +    −     −

Câu 2

a) * Với x 1 (*)  x - 1  0  x− = − ta có phương trình 1 x 1

 − + =  − =  = ( Thoả mãn điều kiện *)

* Với x< 1 (**)  x - 1  0  x− = − ta có phương trình 1 1 x

+ x - 1 = 0  = ( Không thỏa mãn điều kiện **) x 1

+ x - 3 = 0  = ( Không thoả mãn điều kiện **) x 3

Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1

b) * Điều kiện x ≠ 0 (1)

16= x+4 x x+8 =  =0 x 0hoặc x = -8

So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phương trình là x = - 8

Câu 3

y − = y− y + + = −y x y + +y vì xy  0  x, y  0  x, y  0  y-1 0 và x-1  0

1

1

x

y

−

−

2

2

4 2

0

xy

−

−

Câu 4

x − x+ x − x+ +

Đặt a = x2 - 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2

M = x2 - 10x + 20 )2 ( đpcm)

Câu 5

a) + Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc C chung

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: BEC= ADC=1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)

Nên AEB =450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra: BE=AB 2=m 2

c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC

GC = HC GB GC = HD HC  BC = AH HC

Đề số 4

Bài 1 (4 điểm)

2 3

1

1 :

1

1

x x x

x x

x

x

+

−

−

−













−

−

−

với x khác -1 và 1

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x

3

2 1

−

c, Tìm giá trị của x để A < 0

Bài 2 (3 điểm)

Cho ( a − b ) (2 + b − c ) (2 + c − a )2 = ( a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc )

.

Chứng minh rằng a = b = c

Bài 3 (3 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

Bài 4 (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 − 2 a3 + 3 a2 − 4 a + 5

Bài 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Bài 6 (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O và song song

với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

a, Chứng minh rằng OM = ON

b, Chứng minh rằng

MN CD

AB

2 1 1

=

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD

ĐÁP ÁN Câu 1:

a) Với x khác -1 và 1 thì :

A=

) 1 ( ) 1

)(

1 (

) 1 )(

1 ( :

1

1

2

2 3

x x x x x

x x x

x x x

+

− +

− +

+

−

−

+

−

−

=

) 2

1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( : 1

) 1

)(

1

(

2 2

x x x

x x x

x x x x

+

− +

+

−

−

− + +

−

=

) 1 (

1 : ) 1

x

x

− +

= (1+x2)(1−x)

b) Tại x =

3

2 1

− =

3

5

− thì A =  + − − − − )

3

5 ( 1 ) 3

5 (

3

5 1 )(

9

25

1

2 10 27

272 3

8

9

c) Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1+x2)(1−x)0 (1)

Vì 1+ x2 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1− x0 x1

KL

Câu 2:

Biến đổi đẳng thức để được

bc ac ab c

b a ac a

c bc c

b ab b

a2 + 2 −2 + 2 + 2 −2 + 2 + 2 +2 =4 2 +4 2 +4 2 −4 −4 −4

Biến đổi để có (a2 +b2 −2ac)+(b2 +c2 −2bc)+(a2 +c2 −2ac)=0

Biến đổi để có (a−b)2 +(b−c)2 +(a−c)2 =0 (*)

Vì (a − b)2 0;(b − c)2 0;(a − c)2 0; với mọi a, b, c

nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b)2 =0;(b − c)2 =0 và (a − c)2 =0;

Từ đó suy ra a = b = c

Câu 3:

Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11 Phân số cần tìm là

11 +

x

x

(x là

số nguyên khác -11)

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số

15

7 +

−

x

x

(x khác -15)

Theo bài ra ta có phương trình

11 +

x

x

=

7

15

−

+

x x

Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)

Từ đó tìm được phân số

6

5

−

Câu 4

Biến đổi để có A=a2(a2 +2)−2a(a2 +2)+(a2 +2)+3

=(a2 +2)(a2 −2a+1)+3=(a2 +2)(a−1)2 +3

Vì a2 +20 và a (a−1)2 0a nên (a2 +2)(a−1)2 0a do đó (a2 +2)(a−1)2 +33a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a−1 =0  a=1

Câu 5

a) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân

3

3 4

3

3 8

2

1

cm

3

3 4

3

3 4

3

3 8

2

1

cm

3

3 4

3

3 8

Câu 6

a) Lập luận để có

BD

OD AB

AC

OC AB

ON =

Lập luận để có

AC

OC DB

OD =



AB

ON AB

b) Xét ABD để có

AD

DM AB

AD

AM DC

Từ (1) và (2)  OM.(

CD AB

1

AD

AD AD

DM AM

N

I

M

A

B

M

B A

Chứng minh tương tự ON.( 1 + 1 )=1

CD

CD

MN CD AB

2 1 1

= +

c)

OD

OB S

S

AOD

AOB = ,

OD

OB S

S

DOC

AOD

AOB

S

S

DOC

BOC

S

S

 S AOB.S DOC =S BOC.S AOD

Chứng minh được S AOD =S BOC

) ( DOC AOD

AOB S S

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009

Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)

Đề số 5

Câu 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x+ +y z −x −y −z

b) x4+2014x2+2013x+2014

Câu 2

49

=

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có 5

B=a −a chia hết cho 30

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông

góc của điểm D lên AB, AC

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 4

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm

3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn

vị ta vẫn được một số chính phương

Câu 5

Cho a, b dương và a2012+b2012 =a2013+b2013=a2014+b2014 Tính a2015+b2015

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

x+ +y z −x −y −z

Hướng dẫn

x+ +y z −x −y −z

2

2

3

3

y z x x y z x y

b) x4+2014x2+2013x+2014

Câu 2 (2 điểm)

49

=

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: B=a5−a chia hết cho 30

Hướng dẫn

a) ĐKXĐ: x2013;x2014

Đặt x−2014=a a( 0)

Ta có:

49

=

2

2

+ +

2

3 2 5 2

a

a

 =



 

−

 =



2

x

2

x = b) Ta có:

5

B=a −a

1

B=a a −

B=a a − a +

B=a a − a − +

B=a a − a − + a a −

B= a− a− a a+ a+ + a a −

Vì (a−2)(a−1) (a a+1)(a+ là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 5, do đó 2)

(a−2)(a−1) (a a+1)(a+2 5) (1)

5a a −1 5(2)

Từ (1) và (2) suy ra B 5

Câu 3 (2 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E = = = A F 90o)

E

F

C

D

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất, AD nhỏ nhất khi D là hình chiếu của A trên BC

Câu 4 (2 điểm)

Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm

3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn

vị , ta vẫn được một số chính phương

Hướng dẫn

Gọi số phải tìm là abcd với a b c d, , ,  , 0a b c d, , , 9,a0

Theo đề bài ta có:

2

2

abcd k







Suy ra:

2

2

1353

abcd k





1353

m −k =

(m k− )(m k+ )=123.11 41.33=

Vì k m , nên m k+  − m k

Do đó:





Kết luận đúng abcd = 3136

Câu 5 (2 điểm)

a +b =a +b =a +b Tính a2015+b2015

Hướng dẫn

Ta có:

2012 2012 2013 2013 2014 2014

a +b =a +b =a +b

( ) ( 2012 2012) ( 2011 2011) 2014 2014

a+b a +b − a +b ab=a +b

1

a b ab

a +b =a +b =a +b )

( 1)( 1) 0

1

1

a

b

=





Với a = 1 thì b2012 =b2013 =b 1 hoặc b = (loại) 0

Với b = 1 thì 2012 2013

1

Vậy a = 1, b = 1

2

a +b =

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí