Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Phú Nhuận

Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó. Tuổi của người anh hiện nay gấp đôi tuổi của người em lúc người anh bằng tuổi của em hiện nay. Cho hình vuông ABCD. Qua A kẽ hai đờng thẳ[r]

TRƯỜNG THCS PHÚ NHUẬN ĐỀ THI HSG LỚP 8

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 120 phút)

Đề số 1

Câu 1 (3 điểm) Cho a, b, c thoả mãn

c b a c b

a + + = + +

1 1

1 1

Tính giá trị của biểu thức: M = (a19 + b19)(b5 + c5)(c2017 + a2017)

Câu 2 (3 điểm) Cho phân thức A = x-1

x2-3x+2 a) Tìm điều kiện của x để A xác định

b) Rút gọn A

c) Tìm x đề giá trị của A bằng 1

Câu 3 (3 điểm) Cho P = x2 + x + 1 Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Câu 4 (4 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:

A = – 12 + 22 – 32 + 42 – …… – 992 + 1002

B = 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b a c

ca a

c b

bc c

b a

ab

− +

+

− +

+

−

Câu 5 (3 điểm): Tổng tuổi của hai anh em hiện nay là 63 Tuổi của người anh hiện nay gấp đôi tuổi của

người em lúc người anh bằng tuổi của em hiện nay Hỏi tuổi hiện nay của mỗi người ?

Câu 6 (4 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với nhau lần lợt cắt BC tại

P và R, cắt CD tại Q và S

1) Chứng minh AQR và APS là các tam giác cân

2) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật

3) Chứng minh P là trực tâm SQR

4) Chứng minh MN là trung trực của AC

ĐÁP ÁN

Câu 1 (3 điểm):

c b a c b

a + + = + +

1 1

1 1



c c b a b a

1 1

1 1

− + +

=

) (

) (

c b a c

b a ab

b a

+ +

+

−

= +

 (a + b)c(a + b + c) = –ab(a + b)  (a + b)[c(a + b + c) + ab] = 0

 (a + b)[c(a + c) + bc + ab] = 0  (a + b)[c(a + c) + b(c + a)] = 0

 (a + b)(a + c)(c + b) = 0  a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0

 a = –b hoặc b = –c hoặc c = –a  M = 0

Câu 2 (3 điểm) Mỗi câu 1 điểm:

A = x-1

x2-3x+2

a A xác định khi x2 – 3x + 2 0  và x 1 x  2

b A = x-1

x2-3x+2=

x

−

=

c A = 1 1 1 2 1 3

x

−

Câu 3 (3 điểm): Cho P = x2 + x + 1 Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Ta có P = x2 + 2x + ( )2 + = (x + )2 +

Do (x + )2 không âm nên nhỏ nhất khi (x + )2 = 0

Tức là x= - thì biểu thức có giá trị nhỏ nhất là

Câu 4 (4 điểm) (Mỗi câu đúng 2 điểm):

A = -12 + 22 - 32 + 42 - ……- 992 + 1002

A = (22 – 12 ) + ( 42 – 32 )+ ……+ (1002 - 992 )

A = 1 + 2 + 3 + 4 + ……+ 99 + 100)

A = 50 101 = 5050

Từ a + b + c = 0  a + b = - c  a2 + b2 –c2 = - 2ab

Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac

 B =

2

3 2

2

−

+

−

+

ca bc

bc ab

ab

Câu 5 (3 điểm) Gọi tuổi của anh hiện nay là x, thì tuổi em hiện nay là 63 – x

Khi tuổi anh bằng tuổi em hiện nay tức là trước đây x – (63 – x) năm

ta có tuổi em lúc ấy là: 63 – x – x – (63 – x ) = 126 – 3x

Theo bài ra ta có phương trình: x = 2(126 – 3x) => x = 36

Tuổi anh hiện nay là 36, tuổi em hiện nay là 27

2

1 2

1

4

3

2

1

4 3

2

1

2 1

2

1

4 3

Câu 6 (4 điểm):

1)  ADQ =  ABR vì chúng là hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) và DA = BA (cạnh hình vuông) Suy ra AQ = AR, nên AQR là tam giác vuông cân tại A Chứng minh tợng tự ta có: ABP = 

ADS

do đó AP = AS vàAPS là tam giác cân tại A

2) AM và AN là đờng trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên AN⊥SP và AM⊥RQ

Mặt khác: PAN=PAM= 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật

3) Theo giả thiết: QA⊥RS, RC⊥SQ nên QA và RC là hai đờng cao của SQR Vậy P là trực tâm của 

SQR

4) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung tuyến nên AM =

2

1

QR

Trong tam giác vuông RCQ thì CM là trung tuyến nên CM =

2

1

QR

MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C

Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa là N

cách đều A và C Hay MN là trung trực của AC

Đề số 2

Câu 1 (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x4 + 2009x2 + 2008x + 2009

b) 81x4 + 4

c) (x2 + 3x + 2)(x2+ 11x + 30) – 5

Câu 2: (4.0 điểm)

1 Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p2 + a2 = b2 Chứng minh a chia hết cho 12

2 Cho x, y là số hữu tỷ khỏc 1 thỏa món: 1 2 1 2 1

Chứng minh M =x +y -xy2 2 là bỡnh phương của một số hữu tỷ

Cõu 3: (4.0 điểm)

1 Tỡm hai số nguyờn dương x; y thoả món: (x y) + 4 = 40 x + 1

2 Giải phương trỡnh: ( )( ) ( 2 )

3 x − 2 x + 1 3 x + = − 8 16

Cõu 4 (5,0 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú gúc ABC bằng 600, phõn giỏc BD Gọi M, N, I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD

a) Tứ giỏc AMNI là hỡnh gỡ? Chứng minh

b) Cho AB = 4cm Tớnh cỏc cạnh của tứ giỏc AMNI

Cõu 5 (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n  Z, n chẵn, ta cú số n3 + 20n luụn chia hết cho 48

a) Tìm giá trị nguyên của x để A = 2 1

x

x x

−

− + có giá trị nguyên

b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: B= −5 x2+2x−4y2−4y

ĐÁP ÁN Cõu 1

a) 2x2+5x− =3 2x2+6x− −x 3

2x x 3 x 3 x 3 2x 1

b) x4+2009x2+2008x+2009=x4+x2+ +1 2008x2+2008x+2008

( 1)( 1) 2008( 1)

( 1)( 1 2008) ( 1)( 2009)

c) (x+2)(x+4)(x+6)(x+ + = +8) 16 (x 2)(x+8)(x+4)(x+ + 6) 16

Đặt

2

10 20

x + x+ =t

4 4 16 16 16

= − + + = − + =

10 20

Cõu 2

a) Ta cú: p2 + a2 = b2  p2 = (b + a)(b - a)

Mà ước của p2 là 1; p và p2

Do b + a > b – a với mọi a, b nguyờn dương và p nguyờn tố lớn hơn 3

Nờn khụng xảy ra trường hợp b + a = b – a = p

Do đó

2

2

2 1 (p 1)(p 1) 1

b a

 + =



− =

Mà p nguyên tố và p > 3, suy ra p lẻ

nên p + 1 và p – 1 là hai số chẵn (2)

Từ (1) và (2) suy ra (p + 1)(p -1) chia hết cho 8

Suy ra 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho 4 (3)

Lại có p nguyên tố và p > 3 Nên p không chia hết cho 3 và p2 là số chính phương lẻ Do đó p2 chia 3 dư 1 Suy ra p2 – 1 chia hết cho 3, nên 2a chia hết cho 3

Suy ra a chia hết cho 3 ( vì (2, 3) = 1) (4)

Tư (3) và (4) suy ra a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm)

1− −y 2x+2xy+ − −1 x 2y+2xy= − − +1 x y xy 3 1

2

xy

 + =

x +y −xy= x+y − xy= +  − xy= = − 

Vì x, yQ nên 3 1

2

xy −

là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ

Câu 3

a) Ta có: (x + y)4 = 40 x + 1(1)

Do x, y nguyên dương nên: 41 ≤ 40x + 1 < 40x + 40y

Suy ra 41  + (x y)4  40 x + 40 y

Nên 16 < (x + y)4 và (x + y)3 < 40 Suy ra 2 < x + y < 4

Mà x, y nguyên dương; nên x + y = 3 (2)

Thay (2) vào (1) ta có: 40x + 1 = 34 x = 2, thay vào (2) tìm được y = 1

Vậy (x; y) = (2; 1)

b) Ta có ( )( ) (2 ) ( )( ) (2 )

3x−2 x+1 3x+ = − 8 16 3x−2 3x+3 3x+ = −8 144 Đặt 3x+ = 3 t 3x− = −2 t 5;3x+ = +8 t 5 Ta có PT ( ) (2 )

t− t t+ = −

2

4 16

t t

 =  = 

 − + =  − − =  =  = 

-Xét các trường hợp của t ta tìm được x=0 ; x=−2; x=1

3 ; x=

7 3

−

-KL

Câu 4

a) Ta có : BE⊥AC (gt); DF⊥AC (gt) => BE // DF

Chứng minh : BEO= DFO g( − −c g)

=> BE = DF

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành

b) Ta có: ABC=ADCHBC=KDC

Chứng minh : CBH CDK g( −g)

CH CK

CH CD CK CB

CB CD

c) Chứng minh : AFD AKC g( −g)

AF

AK

AD AK F AC

AD AC

Chứng minh : CFD AHC g( −g)

CF AH

CD AC

Mà : CD = AB CF AH AB AH CF AC

AB AC

Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2

Câu 5

a) Ta có

2 2 2

2 2 2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A=x x+ x + −x = x +x x + −x

Đặt x2 + x – 2 = t

( )( ) 2

A= +t t− = −  −t

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0

O

F

E

K

H

C

A

D B

( )( )

2

2 0

1

2

x

x

 + − =

=



  = −



Đề số 3

Câu 1 (2 điểm): Cho P = 1 + x + x2 + x3 + + x2014 + x2015

Chứng minh: (x - 1)P = x2016 - 1

Câu 2 (4 điểm): Cho biểu thức: =  + − − + − −  +

2

2

x 1 x 1 x 4x 1 x 2017

a Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác định

b Rút gọn biểu thức K

c Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trị nguyên

Câu 3 (3 điểm): Các cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài là a, b và diện tích bằng S Tìm các góc

của tam giác vuông biết (a + b)2 = 8S

Câu 4 (4 điểm): Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 900 ) có AB = 4(cm), CD = 9(cm), BC = 13(cm) Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = AB Đường thẳng vuông góc BC tại M cắt AD tại N Tính diện tích tam giác BNC

Câu 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC với trung tuyến CM Điểm D thuộc đoạn BM sao cho BD = 2MD

Biết rằng MCD = BCD Chứng minh rằng ACD = 900

Câu 6 (3 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2 2

x

với x  0

ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm):

Ta có xP = x + x2 + x3 + + x2015 + x2016

 xP - P = x + x2 + x3 + + x2015 + x2016 - (1 + x + x2 + + x2014 + x2015)

= x2016 - 1

 điều cần CM

Câu 2 (4 điểm):

a) K có nghĩa khi x  1 và x  0

b) K = A.B

=

(x 1) (x 1) x 4x 1

A

(x 1)(x 1)

−

−

2

2

x 1

x 1

Vậy K = A.B = 1 x 2017 1 2017

c) Muốn K nguyên thì x ước của 2017

Mà 2017 là số nguyên tố nên chỉ có ước dương là 1 và 2017

Nên x =  1 và x =  2017

Với x = 1  K = 2018

Với x = - 1  K = - 2016

Với x = 2017  K = 2

Với x = -2017  K = 0

Câu 3 (3 điểm):

Ta có: S = 1

2 ab

Theo bài ra (a + b)2 = 8S

a2 + 2ab + b2 = 8.1

2 ab = 4ab

a2 - 2ab + b2 = 0

(a - b)2 = 0

 a = b

 tam giác vuông cân

 các góc nhọn = 450

Câu 4 (4 điểm):

BA⊥NA, BM⊥NM, AB = BM (gt)

 NB là phân giác của ANM

MC = BC - BM = 13 - 4 = 9 = CD

Do đó NC là tia phân giác của MND

Hai góc ANM và MND kề bù

Nên BNC = 900

BNC vuông tại N và NM⊥BC (gt)

 NM2 = BM.MC = 4.9 = 36  MN = 6(cm) Do đó:

SNBC = 1 2 NM.BC = 1 2.6.13 = 39(cm 2)

Câu 5 (4 điểm): BCM có MCD = BCD (gt) do đó: CB DB 2 CM = DM = (vì DB = 2DM gt)  BC = 2CM Gọi P là điểm đối xứng của C qua M Ta có: PC = 2CM = BC (chứng minh trên)  BCP cân tại C có CD là phân giác Nên CD⊥BP Mặt khác vì M trung điểm AB (gt) Và M trung điểm của CP  BP // AC và BP⊥CD  AC⊥CD hay ACD = 900

Câu 6 (3 điểm):

A =

Dấu “=” xảy ra 2x - 1 = 0 x = 1

2

Giá trị nhỏ nhất A = -3 khi x = 1

2

Đề số 4

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho biểu thức:

3 2 2

A

x x

=

a Rút gọn A

b Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

Bài 2 (3,0 điểm)

a Chứng minh rằng: n3 + 2012n chia hết cho 48 với mọi n chẵn

b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 1

2

x x

+

− với x là số nguyên

Bài 3 (3,0 điểm)

Cho hai số không âm a và b thoả mãn a +b2 2 a+b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2020

2019

S

Bài 4 (3,0 điểm)

Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

a 5x2 + y2 = 17 + 2xy

b x+ + − = −2 x 1 3 (y+2)2

Bài 5 (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Trên cạnh AB lấy M (0<MB<MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho 0

MON=90 Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE

1 Chứng minh ΔMON vuông cân

2 Chứng minh: MN // BE và CK⊥BE

3 Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H Chứng minh: KC KN CN

KB KH BH

ĐÁP ÁN Bài 1:

a) Rút gọn A

- Phân tích được 4x3 - 8x2 + 3x - 6 = (x - 2)(4x2 + 3)

- Phân tích được 2x2 - 3x - 2 = (x - 2)(2x + 1)

- Rút gọn được kết quả

2

x A x

+

= +

b) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên

- Tìm ĐKXĐ:

1

2

x − x

2

x

+

-Lập luận để A có giá trị nguyên xZ và 2x + 1 là ước lẻ của 4

- Tìm được x = 0; -1

Bài 2

a) Vì n chẵn nên n = 2k (k  Z)

Do đó n3 + 2012n = (2k)3 + 2012.2k

= 8k3 + 4024k

= 8k3 - 8k + 4032k

= 8k(k2 - 1) + 4032k

= 8k(k + 1)(k - 1) + 4032k

và lập luận suy ra điều phải chứng minh

b) Nhận xét : B = 1

2

x x

+

− với x  mà 2 x −2 > 0 với mọi x  nên: 2

Nếu x + 1 < 0  x < -1 thì B < 0

Nếu x + 1 = 0  x = -1 thì B = 0

Nếu x + 1 > 0  x > -1 thì B > 0

Suy ra B đạt giá trị lớn nhất nếu x > -1

Do x là số nguyên, x  , x > -1 2

Nên ta xét các trường hợp sau

x = 0 thì B = 1

2 (1)

x = 1 thì B = 2 (2)

x > 2 thì B = 1

2

x x

+

−

Với x > 2 ta có B = 1

2

x x

+

− =

3 1 2

x

+

−

B lớn nhất khi 3

2

x − lớn nhất

mà 3 > 0 và x > 2  x - 2 > 0

nên: 3

2

x − lớn nhất khi x - 2 nhỏ nhất và x - 2 nguyên  x - 2 = 1 

x = 3  B = 4 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: B lớn nhất bằng 4 khi x = 3

Bài 3

a +  a b +  ba +b +  a+ b + a b (do 2 2

a +b  +a b)

+ Chứng minh được với hai số dương x y, thì 1 1 4

x+ y x y

+

+ Do đó

S

+ Kết luận: GTLN của S là 2020, đạt được khi a= = b 1

Bài 4

x +y = + xy x−y + x = x   x 

Do x nguyên nên 2  

0;1; 4

x 

+ x2 = 0(x - y)2 = 17 (loại)

+ x2 = 1(x - y)2 = 13 (loại)

+ x2 = 4(x - y)2 = 1

Với x = 2 thì (2 - y)2 = 1 tìm được y = 1 ; y = 3

Với x = - 2 thì (- 2 - y)2 = 1 tìm được y = -1 ; y = -3

Vậy các cặp số nguyên (x; y) là (2;1); (2;3); (-2;-1); (-2;-3)

b) Chứng tỏ được x+ + − 2 x 1 3với mọi x

Dấu bằng xảy ra  -2  x  1

Chứng tỏ được 3 (− y+2)2 3với mọi y

Do đó x+ + − = − +2 x 1 3 (y 2)2 =3

2

3 (− y+2) =3 tìm được y = - 2

x+ + − =x khi -2  x  1 mà x  Z

 x = -2; -1; 0; 1

Vậy các cặp số nguyên (x; y) là: (-2; -2); (-1; -2); (0; -2); (1; -2)

Bài 5

a) -Ta có 0 0

BOC= CON+BON= ;

vì MON=900 BOM +BON =900 BOM =CON

-Ta có BD là phân giác góc ABC  450

2

ABC MBO=CBO= =

45 2

BCD NCO=DCO= = Vậy ta có MBO=NCO

-Xét OBM và OCN có OB=OC ; BOM =CON;MBO=NCO  OBM = OCNOM =ON

*Xét MON có 0

90 ;

MON= OM =ON MON vuông cân tại O

MB NC

Ta có AB//CD AB/ /CE AN BN

NE NC

/ /

AM AN

MN BE

MB NE

 =  ( theo định ký Ta- lét đảo )

+ Vì MN//BE BKN =MNO=450 ( 2 góc đồng vị và có tam giác MON vuông cân)

BNK=ONC BKN=OCN= ) NB NO

NK NC

Xét BNO;KNCcó BNO=CNK; NB NO

NK = NC  BNO KNC  0

45

NKC=NBO=

Vậy ta có BKC=BKN+CKN=450+450 =900 CK ⊥BE

90

ON ⊥OM OK ⊥KH NKH = ,

mà NKC=450 CKH =450BKN =NKC=CKH=450

H

E

O

N M

K

B A

Xét BKC có BKN =NKCKN là phân giác trong của BKC , mà KH ⊥KN KH là phân giác

ngoài của BKC KC HC

KB HB

Chứng minh tương tự ta có KN BN

KH BH

-Vậy ta có KC KN NC HC BN CN BH 1

KB +KH +BH = HB +BH +BH = = BH =

Đề số 5

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

( x + 2 x )( + 3 x )( + 4 x )( + 5 ) − 120

b) Rút gọn biểu thức:

2

2

    rồi tìm x sao cho A = −A

Câu 2 (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a) x x+1 x+2 x+3

2020 2019 2018 2017

3x + 4 x + 1 6x + 7 6 =

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tìm x, y nguyên dương biết: x2 - y2 + 2x - 4y – 10 = 0

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

B = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh:

AE AB

AF = AC ; và AEF CED = b) Gọi M là điểm đối xứng của H qua D Giao điểm của EF với AM là N

Chứng minh: HN.AD=AN.DM

c) Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC Chứng minh ba điểm I, D, K thẳng hàng

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =

ĐÁP ÁN Câu 1

a) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 120

= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 120

= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 120

= (x2 + 7x + 11)2 - 112

= (x2 + 7x)( x2 + 7x + 22)

= x(x + 7)( x2 + 7x + 22)

b)

2 2

=

2

x 2(x 2) x 2 (x 2)(x 2) 10 x

− − + − − + −

=

x 2x 4 x 2 x 4 10 x

(x 2)(x 2) x 2

A

(x 2)(x 2) 6 x 2

A

x 2

−

=

− với x  2

−

−

1

x 2

Câu 2

x x+1 x+2 x+3

2020 2019 2018 2017

+1+ +1+ +1+ +1=x +2016+4

2020 2019 2018 2017

x+2020 x+2020 x+2020 x+2020

2020 2019 2018 2017

2020 2019 2018 2017

x

x + 2020 = 0 vì

2020 2019 2018 2017 − 

x = -2020

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=- 2020

b) (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6

(6x + 8)(6x + 6)(6x + 7) = 72 (*)

Đặt 6x + 7 = t, ta có:







