Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuôn[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS QUANG MINH ĐỀ THI HSG LỚP 8
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Đề số 1
Bài 1 a) Tìm n để
2
2
B
n
=
+ có giá trị là một số nguyên
b) Tìm n để 5
2
D=n − +n là số chính phương (n 2) Bài 2 Giải phương trình:
a) x2−3x+ + − = 2 x 1 0
+ + + − + + = +
Bài 3 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 =3 và a b c ab ac bc+ + + + + = Tính giá 6
trị của biểu thức:
22 12 1994
22 12 2013
A
=
Bài 4 Cho hình bình hành ABCD Qua A kẻ đường thẳng tùy ý cắt BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G
Chứng minh:
a) 2
AE =EK EG
AE = AK + AG
c) Khi đường thẳng d thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi
ĐÁP ÁN Bài 1
a)
2
3
+ +
B có giá trị nguyên khi 2 n2+2
2
2
n + là ước tự nhiên của 2
2
2 1
n + = không có giá trị nào thỏa mãn
2
2 2
n + = = thì B nhận giá trị nguyên n 0
b) D=n5− +n 2
2
D= n n− n+ +n n− n+ n − +
D= n n− n+ +n n− n+ n− n+ +
Trang 2Vì 5n n( −1)(n+1 5) và n n( −1)(n+1)(n−2)(n+2 5)
Vậy D chia 5 dư 2
Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải số chính phương
Bài 2
a) x2−3x+ + − = (1) 2 x 1 0
+ Nếu x : (1) 1 ( )2
− = = (thỏa mãn điều kiện x ) 1
=x 1; x=3 (cả hai đều không thảo mãn)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
+ + + − + + = +
ĐKXĐ: x 0
+ + + + − + = +
2
2 2
x hay x
= = − và x 0
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = − 8
Bài 3
Ta có: ( 2 2 2)
2 a +b +c =6
Suy ra:
2 a +b +c = + + +a b c ab+ac+bc
2a 2b 2c a b c ab ac bc
2a 2b 2c a b c ab ac bc 0
4a 4b 4c 2a 2b 2c 2ab 2ac 2bc 0
3a 3b 3c 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac c a b c 0
3a 3b 3c 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac c 3 0
+ + − − − − − − + + = (vì a2+b2+c2 =3)
( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2
1
a b c
= = =
Vậy
22 12 1994
22 12 2013
1
Trang 3Bài 4
a) Ta có AD // BK nên AE DE
EK = EB (1)
AB // CD nên EG DE
AE = EB (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2
AE EK EG
b) Ta có AE BE
EK = DE AE BE
Tương tự ta có: AE DE AE DE
EG = EB AK = BD (4) Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có:
1
AK + AG = BD+ BD = 1 1 1
AE = AK + AG c) Ta có:
KC =CG và KC GC
AD= DG nhân từng vế của đẳng thức trên ta được BK AB BK DG AD AD
không đổi
Đề số 2
Câu 1 (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức ( ) ( 2 )( 4 ) ( 256 )
2 1 2 1 2 1 2 1 1
b) Cho x2 =y2+z2 Chứng minh rằng ( )( ) ( )2
5x−3y+4z 5x−3y−4z = 3x−5y
Câu 2 (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 10 5
1
a +a +
b) Cho x+ =y 1 và xy 0 Chứng minh rằng ( )
2
0
x y
−
Câu 3 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J Chứng minh:
G K E
B A
Trang 4a) 1 1 1
OI = AB+CD
b) 2 1 1
IJ = AB+CD
Câu 4 (1 điểm)
Cho hình thang ABCD (AD // BC) có hai đường chéo cắt nhau tại O Tính diện tích tam giác AOB, biết
diện tích tam giác BOC là 169 2
cm và diện tích tam giác AOD là 196 2
cm Câu 5 (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau 2
1
x y+xy+ =y
ĐÁP ÁN
Câu 1 (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức ( ) ( 2 )( 4 ) ( 256 )
2 1 2 1 2 1 2 1 1
b) Cho x2 =y2+z2 Chứng minh rằng ( )( ) ( )2
5x−3y+4z 5x−3y−4z = 3x−5y
Hướng dẫn
a) Ta có:
( ) ( 2 )( 4 ) ( 256 )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
( )( ) ( 2 )( 4 ) ( 256 )
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 1 1
b) Ta có:
(5x−3y+4z)(5x−3y−4z)
5x 3y 16z
25x 30xy 9y 16z
25x 30xy 9y 16 x y
= − + − − (vì x2 = y2+z2)
3x 5y
Câu 2 (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 10 5
1
a +a +
Trang 5b) Cho x+ =y 1 và xy 0 Chứng minh rằng ( )
2
0
x y
−
Hướng dẫn
a) a10+a5+1
1
b) Ta có:
y − x
=
=
=
Vì x+ =y 1 − = −y 1 x và x− = −1 y, do đó ta có:
=
1
xy x y y x y yx xy y x x
=
+ + + + + + + + (vì x+ =y 1)
1
2
xy x y xy x y x y xy
=
2
2 2
2
x y x x y y
xy x y x y
=
2 2
3
x y x x y y
xy x y
− − + −
=
2 2
3
x y x y y x
xy x y
− − + −
=
2 2
2 2
3 3
x y
xy x y
+
2
0
x y
−
Câu 3 (2 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J Chứng minh:
OI = AB+CD
Trang 6b) 2 1 1
IJ = AB+CD
Hướng dẫn
a) Ta có:
OI // AB, xét tam giác OIC ta có: OI CI
AB =CB (1)
OI // CD, xét tam giác BDC ta có: OI BI
CD = BC (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:
1
AB+CD = BC+ BC = BC = 1 1 1
OI = AB+CD (3)
b) Chứng minh tương tự ta có 1 1 1
OJ = AB+CD (4)
Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có: 1 1 2 1 1
Lại có OJ DO OI OJ OI
AB= DB = AB = , do đó ta có: 2 1 1
IJ = AB+CD Câu 4 (1 điểm)
Cho hình thang ABCD (AD // BC) có hai đường chéo cắt nhau tại O Tính diện tích tam giác AOB, biết
diện tích tam giác BOC là 169 cm2 và diện tích tam giác AOD là 196 cm2
Hướng dẫn
Ta chứng minh được S AOD.S BOC =S AOB.S OCD mà S AOB =S DOC
Câu 5 (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau x y2 +xy+ =y 1
Hướng dẫn
I J
O
B A
O D
C B
A
Trang 71
x y+xy+ =y
1 1
y x x
2
x + + =x x+ +
với mọi x nên phương trình có nghiệm nguyên dương khi:
2
1
1 1
x
x x
+ + = =
Đề số 3
Câu 1 (2 điểm)
Cho
2
M
= + − − − + + −
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M
b) Tìm a sao cho 1 1 1
a M
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình ( ) (2 )
2x 8x−1 4x− =1 9 b) Với mọi n thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau
Câu 3 (3 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với
AB cắt DA tại E, cắt BC tại F
a) Chứng minh S AOD=S BOC
b) Chứng minh:
EF CD AB
2 1
c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác
DEF
Câu 4 (2 điểm)
Cho
1 1
Chứng minh rằng
2014 2014
1007
1007 1007
2
Câu 5 (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x 4)(x 9)
B
x
= với (x 0)
ĐÁP ÁN
Trang 8Câu 1 (2 điểm)
Cho
2
M
= + − − − + + −
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M
b) Tìm a sao cho 1 1 1
a M
Hướng dẫn
a) ĐKXĐ
2
2 0
1 0
1 0
a a a a
+ −
−
+
1 1
a a
−
Ta có
2
M
= + − − − + + −
2
M
2
M
+ − −
=
M
=
1 1
M
−
b) Ta có 1 1 1
a M
− a 0
1
a a
a
−
a a
a
2
a
2
a
2
4a 20a 16 8a
2
4a 12a 16 0
4 a 3a 4 0
2
Trang 9(a 1)(a 4) 0
4 a 1
− vì a1,a0 nên − 4 a 0, 0 a 1
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình ( ) (2 )
2x 8x−1 4x− =1 9 b) Với mọi n thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau
Hướng dân
a) ( ) (2 )
2x 8x−1 4x− =1 0
Đặt 2
64x −16x=t, ta có:
( )1 72
t t + = , do đó 8
9
t t
=
= −
Từ đó tìm được các giá trị của x
b) Xét hiệu:
5
n −n
1
n n
Vậy ( ) ( ) ( 2 )
n− n n+ n − + (1)
(n 2)(n 1) (n n 1)(n 2) (5 n 1) (n n 1)
Vì (n−2)(n−1) (n n+1)(n+ chia hết cho 5, 2) 5(n−1) (n n+ chia hết cho 5 1)
Vậy (n−2)(n−1) (n n+1)(n+ −2) (5 n−1) (n n+1 5) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5
n −n chia hết cho 2, 5 mà ( )2,5 = 1 5
10
n −n
Vậy n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau
Câu 3 (3 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), O là giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với
AB cắt DA tại E, cắt BC tại F
a) Chứng minh S AOD=S BOC
Trang 10b) Chứng minh:
EF CD AB
2 1
c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác
DEF
Hướng dẫn
a) Ta có S ADB =S ABC vì có cùng chiều cao hạ từ D và C xuống AB (do AB // CD) và cạnh đáy AB
S −S =S −S hay S AOD=S BOC
b) V× EO DC//
AC
AO DC
EO = MÆt kh¸c AB CD// AB AO
EF AB DC EF
DC AB
DC AB DC
AB
AB DC
+
c) Dụng trung tuyến EM M( DF)
Dựng EN//MK N( DF), nối K với N
KN là đường thẳng phải dựng
Chứng minh
Ta có S EDM =S EMF (1)
Gọi giao điểm của EM và KN là I thì S IKE =S IMN (chứng minh phần a)
Từ (1) và (2) suy ra S EDNI +S IMN =S KIMF+S IKE S EDNI +S IKE =S KIMF +S IMN
Vậy S EDNK =S KNF
Câu 4 (2 điểm)
Cho
1 1
Chứng minh rằng
2014 2014
1007
1007 1007
2
Hướng dẫn
I
N M
K
O
F E
B A
Trang 11Ta có:
( 2 2)2
+
1
x +y = )
2
2
abx a y b x aby abx abx y aby
a y abx y b x
( 2 2)2
0
ay bx
ay bx
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1
+
,
Vậy
1007
1007 1007
Câu 5 (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (x 4)(x 9)
B
x
= với (x 0) Hướng dẫn
Ta có:
25
Vì x và 144
x là các số dương có tích không đổi nên có tổng nhỏ nhất
144
12
x
Vậy min C=49 = x 12
Đề số 4
Bài 1
Cho ( a − b ) (2 + b − c ) (2 + c − a )2 = ( a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc )
.
Chứng minh rằng a = b = c
Bài 2
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Trang 12Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó
Bài 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 − 2 a3 + 3 a2 − 4 a + 5
Bài 4
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu
của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và
AD
a) Tứ giác BEDF là hình gì? Hãy chứng minh điều đó?
b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK
AB AH+AD AK =AC
ĐÁP ÁN Bài 1:
Biến đổi đẳng thức để được
bc ac ab c
b a ac a
c bc c
b ab b
a2 + 2 −2 + 2 + 2 −2 + 2 + 2 +2 =4 2 +4 2 +4 2 −4 −4 −4
Biến đổi để có (a2 +b2 −2ac)+(b2 +c2 −2bc)+(a2 +c2 −2ac)=0
Biến đổi để có (a−b)2 +(b−c)2 +(a−c)2 =0 (*)
Vì (a − b)2 0;(b − c)2 0;(a − c)2 0; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b)2 =0;(b − c)2 =0 và (a − c)2 =0;
Từ đó suy ra a = b = c
Bài 2
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11 Phân số cần tìm là
11 +
x
x
(x là
số nguyên khác -11)
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
15
7 +
−
x
x
(x khác -15)
Theo bài ra ta có phương trình
11 +
x
x
= 7
15
−
+
x x
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
Từ đó tìm được phân số
6
5
−
Bài 3
Biến đổi để có A=a2(a2 +2)−2a(a2 +2)+(a2 +2)+3
=(a2 +2)(a2 −2a+1)+3=(a2 +2)(a−1)2 +3
Trang 13Vì a2 +20 và a (a−1)2 0a nên (a2 +2)(a−1)2 0a do đó (a2 +2)(a−1)2 +33a
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a−1 =0 a=1
Bài 4
a) Ta có:
//
BE DF
⊥
Xét BEO và DFO có:
BO = OD (vì O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD)
O =O (đối đỉnh)
0
90
BEO=DFO=
Do đó BEO = DFO (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra BE = DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành
b) Xét CBH và CDK có:
0
90
CKD=CHB=
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên ABC =ADCHBC=KDC (cùng bù với hai góc bằng nhau)
Do đó CBH ~CDK (g.g)
CH CD CK CB
c) Ta có:
~
~
= mà CD AB AB CF AB AH AC CF
AB AH+AD AK= AC CF+AF AC=AC CF+AF = AC AC=AC
Đề số 5
2 1 O H
K
F
E
D
C B
A
Trang 14Câu 1
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 2 2 3
P= a + a b+ ab + b b) Giải phương trình: 3 2
x + x + x= Câu 2
a) Chứng minh rằng 3
11
n + n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
b) Cho x+ =y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x2+y2
Câu 3
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông
góc của điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4
Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm
3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn
vị ta vẫn được một số chính phương
Câu 5
Cho a, b dương và 2012 2012 2013 2013 2014 2014
a +b =a +b =a +b Tính 2015 2015
a +b
ĐÁP ÁN
Câu 1 a) Ta có:
P= a + a b+ ab + b
P= a +b + ab a+b
P= a+b a −ab b+ + ab a+b
P= a+b a + ab+ b
P= a+b a + ab+ab+ b
P= a b a+ + b a b+
b) x3+3x2+2x=0
( 1)( 2) 0
Vậy S = − − 2; 1;0
Câu 2 a) Ta có:
3
11
n + n
Trang 15( 2 )
11
n n
1 12
n n
1 12
(n 1) (n n 1) 12n
Vì (n−1) (n n+ là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên 1) (n−1) (n n + chia hết cho 6 và 12n chia hết 1)
cho 6
Do đó 3
11
n + n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
b) Từ x+ = = −y 1 y 1 x, do đó ta có:
( )2
2
A=x + −x =x + − x+x = x − +x
A x x
= − + = − +
A= = =x y Câu 3 (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E = = = A F 90o)
E
F
C
D
Trang 16Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của BAC
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất, AD nhỏ nhất khi D là hình chiếu của A trên BC
Câu 4 (2 điểm)
Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm
3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn
vị , ta vẫn được một số chính phương
Hướng dẫn
Gọi số phải tìm là abcd với a b c d, , , , 0a b c d, , , 9,a0
Theo đề bài ta có:
2
2
abcd k
Suy ra:
2
2
1353
abcd k
với k m, , 31 k m 100
Do đó 2 2
1353
m −k =
(m k− )(m k+ )=123.11 41.33=
Vì k m , nên m k+ − m k
Do đó:
Kết luận đúng abcd = 3136
Câu 5 (2 điểm)
Cho a, b dương và a2012+b2012 =a2013+b2013=a2014+b2014
Tính 2015 2015
a +b
Hướng dẫn
Ta có:
2012 2012 2013 2013 2014 2014
a +b =a +b =a +b
( ) ( 2012 2012) ( 2011 2011) 2014 2014
a+b a +b − a +b ab=a +b
1
a b ab
+ − = (vì 2012 2012 2013 2013 2014 2014
a +b =a +b =a +b )
Trang 17( 1)( 1) 0
1
1
a
b
=
=
Với a = 1 thì 2012 2013
1
b =b =b hoặc b = (loại) 0 Với b = 1 thì 2012 2013
1
a =a =a hoặc a = (loại) 0 Vậy a = 1, b = 1
Do đó 2015 2015
2
a +b =
Trang 18Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí