Bộ 5 đề thi chọn HSG môn Toán lớp 8 Trường THCS Nghĩa Hồ

b) Gọi E là điểm sao cho BC là đường trung trực của EH. Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân.. Vậy HKDC là hình thang cân khi và chỉ khi  ABC là tam giác cân tại C. Hãy tìm bốn s[r]

TRƯỜNG THCS NGHĨA HỒ ĐỀ THI HSG LỚP 8

MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Đề số 1

Bài 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) 2

2014 2013

x + x+

( 2)( 2 2) 1

x x+ x + x+ +

Bài 2 (4 điểm)

a

+

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x2+2y2+2xy+2x−4y+2013

Bài 3 (4 điểm)

1) Cho a a1, 2, a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 20132014

Chứng minh rằng: B=a13+a23+ + a20133 chia hết cho 3

2a + =a 3b +b Chứng minh rằng: a b− và 3a+ + là các số chính phương 3b 1

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABC Gọi I là một điểm di chuyển trên cạnh BC Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh

AC cắt cạnh AB tại M Qua I, kẻ đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại N

1) Gọi O là trung điểm của AI Chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng

2) Kẻ MH, NK, AD vuông góc với BC lần lượt tại H, K, D

Chứng minh rằng MH + NK = AD

3) Tìm vị trí của điểm I để MN song song với BC

ĐÁP ÁN Bài 1

1) 2

2014 2013

x + x+ +x

( 2013) ( 2013)

(x 1)(x 2013)

2 ( 2)( 2 2) 1

(x 2 )(x x 2x 2) 1

2) =(x2+2 )x 2+2(x2+2 ) 1x +

(x 2x 1)

4

(x 1)

= +

Bài 2

1) Từ 1 2 7 3

có20(1 2 )+ a =15(7 3 )− a

1

a

 =

15 23 7

a

15 23 7.1

b

+ Suy ra b = 2

Vậy a = , 1 b = 2

(x y 1) (y 3) 2003

Nhận thấy với mọi x,y ta có (x+ +y 1)2 0;(y−3)20

Suy raA 2003

Dấu “=” xảy ra khi x= −4,y=3

Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 2003 đạt được khi x= −4,y=3

Bài 3

1) Dễ thấy a3− =a a a( +1)(a−1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

Xét hiệu B−(a1+a2+ + a2013)=(a13+a23+ + a20133 ) (− a1+a2+ + a2013)

(a a) (a a ) (a a )

Mà a a1, 2, a2013 là các số tự nhiên có tổng bằng 20132014 3

Do vậy B chia hết cho 3

2) Từ 2a2+ =a 3b2 +b có(a b− )(3a+3b+ =1) a2

(a b− )(2a+2b+ =1) b Suy ra (a b− ) (22 a+2b+1)(3a+3b+ =1) (ab)2

Gọi (2a+2b+1, 3a+3b+ =1) d Chứng minh được d=1

3a+ + là số chính phương 3b 1 a b− là số chính phương (đpcm)

Bài 4

1) Ta có IM//AC, IN//AB AMIN là hình bình hành

 MN cắt AI tại trung điểm mỗi đường Mà O là trung điểm AI

 M, O, N thẳng hàng (đpcm)

2) Kẻ OE vuông góc với BC Chứng minh MHKN là hình thang vuông

Ta có O là trung điểm MN mà OE//MH//NK Suy ra OE là đường trung bình của hình thang vuông

MNKH nên MH + NK = 2OE (1)

Xét ΔADI có O là trung điểm của AI và OE//AD Suy ra OE là đường trung bình của ΔADI nên AD =

2OE (2)

Từ (1) và (2) ta có MH + NK = AD (đpcm)

3) Ta có MN // BC khi và chỉ khi MN là đường trung bình củaABC(Do O là trung điểm AI)

 I là trung điểm BC (Vì MI // AC, MA=MB)

Vậy để MN song song với BC thì I là trung điểm BC

Xét hiệu x− =y (a+b c)( +d) (− a+c b)( +d)=(d−a b c)( − )

Vì d a b, c nên (d−a b c)( − ) 0 Suy ra x y(1)

Xét hiệu y− =z (a+c b)( +d) (− a+d b)( +c)=(a b d− )( −c)

Vì ba c, d nên (a−a d)( − c) 0 Suy ra yz(2)

Từ (1) và (2) ta sắp xếp theo thứ tự giảm dần là z y x

Đề số 2

D

O M

N A

Câu 1 Cho phân thức ( ) ( ) ( )

2

A

=

a) Tìm các giá trị của x, y, z để phân thức xác định

b) Rút gọn A

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 10 5

1

a +a +

2

0

−

Câu 3 (2 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt BC ở I, cắt AD ở J Chứng minh:

OI = AB+CD

IJ = AB+CD

Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ các tia

Bx⊥AB, Cy⊥CA chúng cắt nhau tại D

a) Tứ giác BHCD là hình gì? Vì sao?

b) Gọi E là điểm sao cho BC là đường trung trực của EH Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân

c) BD cắt EH tại K Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác HCDK là hình thang cân

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm)

5x+5y+5z − 25xy+25yz+25xz =25 x+ +y z − xy+yz+xz 

0

x+ +y z − xy+yz+xz =

2 2 2

0 0 0

0

x y z xy yz xz

x y y z z x

x y z

 + = + = + =

 = = =

Để phân thức xác định thì x, y, z không đồng thời bằng 0

x +y +z =a và xy+yz+xz=b thì ( )2

2

x+ +y z = +a b

2

A

Vậy

5

x y z xy yz xz

=

Câu 2 (2 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 10 5

1

a +a +

2

0

−

Hướng dẫn

a) a10+a5+1

1

b) Ta có:

y − x

=

( ) ( ) ( )( )

4 4

=

2 2

=

Vì x+ =y 1 − = −y 1 x và x− = −1 y, do đó ta có:

2 2

=

2 2

1

xy x y y x y yx xy y x x

=

2 2

1

2

xy x y xy x y x y xy

=

2

2 2

2

=

2 2

3

xy x y

=

2 2

3

xy x y

=

2 2

2 2

3 3

x y

xy x y

+

2

0

−

Câu 3 (2 điểm)

a) Ta có:

OI // AB, xét tam giác OIC ta có: OI CI

AB =CB (1)

OI // CD, xét tam giác BDC ta có: OI BI

CD = BC (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

1

AB+CD = BC+ BC = BC =  1 1 1

OI = AB+CD (3)

OJ = AB+CD (4)

IJ = AB+CD Câu 4

a) HS tự làm

b) Gọi I là giao điểm của AE và BC, K là giao điểm của EH và BD

Ta có IM/ /DE nên BC/ /DE , do đó tứ giác BCDE là hình thang

Lại có CE=CH mà CH =BD nên BD=CE, vậy tứ giác BDCE là hình thang cân

c) BH cắt AC tại F, ta có F =900

I J

O

B A

F

K

I

M

E

D

H

C B

A

Hình thang HKDC là hình thang cân

 CH là phân giác của góc ACB

ABC

Vậy HKDC là hình thang cân khi và chỉ khi ABC là tam giác cân tại C

Câu 5

Từ 0x y z, , 1 suy ra xxz; yyz và zzx nên x+ + −y z xy−yz−xz0 (1)

Xét (1−x)(1−y)(1− =z) (x+ + −y z xy−yz− − −xz 1 xyz) 0

x y z xy yz xz xyz

 + + − − −  −  (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 + + −x y z xy−yz−xz1

Đề số 3

x +y +z x+ +y z + xy+yz+xz

Câu 2 (2 điểm)

a) Một số điện thoại có 10 chữ số là 098716abcd Hãy tìm bốn số cuối của bốn số điện thoại đó, biết rằng

bốn số này tạo thành một số chính phương và nếu ta thêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương

Câu 3 (3 điểm)

1) Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB=6cm, AC=8cm M là điểm di chuyển trên cạnh huyền BC Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC Khi đó tứ giác ADME

có thể đạt được diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

2) Cho hình vuông ABCD và một tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình vuông

Chứng minh rằng:

4

ABCD

AC

S = MN+NP+PQ QM+

b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất

c) Xác định vị trí của M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất

Câu 4 (2 điểm)

a) Tìm các số nguyên x, y, z biết x2+y2+z2 xy+3y+2z−3

b) Phân tích đa thức 2

2015.2016

x − −x

ĐÁP ÁN

Câu 1 (2 điểm)

2

B=a a+ b +b = a+b

Câu 2

a) Theo đề bài ta có:

2

2

abcd n





1111 11.101 1111.1

Vậy số điện thoại cần tìm là 0987162025

b) Ta có

2

+ +

2 2

2 2

………

2

+ +

2

+

+ + Câu 2 (2 điểm)

2x 8x−1 4x− =1 9 b) Với mọi n  thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau

Hướng dân

2x 8x−1 4x− =1 0

2 2

64x −16x=t, ta có:

( )1 72

t t + = , do đó 8

9

t t

=



 = −



Từ đó tìm được các giá trị của x

b) Xét hiệu:

5

n −n

( 4 )

1

n n

( 2 )( 2 )

n− n n+ n − + (1)

(n 2)(n 1) (n n 1)(n 2) (5 n 1) (n n 1)

Vì (n−2)(n−1) (n n+1)(n+ chia hết cho 5, 2) 5(n−1) (n n+ chia hết cho 5 1)

Vậy (n−2)(n−1) (n n+1)(n+ −2) (5 n−1) (n n+1 5) (2)

Từ (1) và (2) suy ra n5−n chia hết cho 2, 5 mà ( )2,5 = 1 5

10

n −n

n và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau

Câu 3 1)

Đặt AE x= ( 0  ) x 6

6

−

ADME

S =AE AD=x −x = x−x = − x + x = −  x+ −  − x+

ADME

minS =  = x M là trung điểm của BC

2)

a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ ta có

x

E

D

B

A

Q

P K

I

N J

D

M

C B A

2

BJ = MN; 1

2

IJ = QM ; 1

2

KI = PN; 1

2

DK = PQ

b) Theo phần a) chu vi tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất khi đường gấp khúc BJIKD trùng với đoạn BD, tức là khi MN/ /AC/ /PQ và MQ/ /BD/ /NP lúc đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

Vậy với mọi hình chữ nhật nội tiếp hình vuông đã cho đều có chu vi bằng nhau và chu vi đó nhỏ nhất so với chu vi tất cả các tứ giác nội tiếp hình vuông này

c)

Từ các đỉnh M, N, P, Q ta dựng các đường thẳng song song với các cạnh của hình vuông Các đường thẳng

đó hoặc trùng nhau hoặc song song

Nếu chúng song song từng đôi thì giao điểm của chúng sẽ tạo thành hình chữ nhật Ta có

S =S +S +S +S +S

Do đó S MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất S EFGH = 0 EF HG hoặc HEFG

Vậy tứ giác nội tiếp hình vuông có diện tích nhỏ nhất khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai đường chéo của nó song song với cạnh của hình vuông

Câu 4 (2 điểm)

x +y +z xy+ y+ z−

2 2 2

2 2 2

 + + − − − +  − (vì x, y, z là các số nguyên)

2

 −  +  −  + − 

1

2 1

x

y

z

=





 =



b) x2− −x 2015.2016=x2−2016x+2015x−2015.2016

G Q

P H

E

D

M

C B A

( 2016) 2015( 2016) ( 2016)( 2015)

Đề số 4

Câu 1 Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp Chứng minh rằng ab a b− − + chia hết 1

cho 48

Câu 2

2x + −x 2016 +4 x −5x−2015 =4 2x + −x 2016 x −5x−2015

b) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn abcd = Tính giá trị của biểu thức 1

M

Câu 3 Cho đa thức P x thỏa mãn khi chia cho ( ) x − thì dư 17 ; khi chia cho 3 x − dư 3 tìm dư của 1

phép chia P x cho ( ) 2

x − x+

Câu 4 Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA; BB; CC , trực tâm H

AA +BB +CC

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB (

MAC, NAB) Chứng minh AN BI CM =BN IC AM

AB BC CA

x+ + =y z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 y2 z2 z2 x2

ĐÁP ÁN

Câu 1

Ta có ab a b− − + =1 (a−1)(b− 1)

Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên ( )2

2 1

a= n+ , ( )2

b= n+ , (n  ), suy ra

ab− − + =a b a− b− = n n+ n+

Vì n , (n +1), (n +2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên n n( +1)(n+ chia hết cho 3, mà 2) (16,3)= 1

16n n+1 n+2 48 nên ab a b− − +1 48

Câu 2

2x + −x 2016=a; 2

5 2015

a + b = ab a− b =  =a b, từ đó tìm ra x

Câu 3

Vì đa thức chia là 2

x − x+ có bậc hai nên đa thức dư có dạng ax b+

Ta có P x( ) (= x−1)(x−3 ) ( )Q x +ax b+

( )3 17 3 17

Do đó a = ; 7 b = − nên đa thức dư có dạng 74 x − 4

Câu 4

a) Ta có

1

2

ABC

S = AA BC ; 1

2

BHA

S = BA AH ; 1

2

CHA

S = CA AH

2 2

AHB AHC

ABC

A B A C AH

AA BC

 +

Chứng minh tương tự ta có:

2 2

AHB BHC

ABC

BB AC

+  +

;

2 2

ABC

CC AB

+



2

2

b) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có:

AN AI

BN = BI ; BI AB

IC = AC ; CM IC

AM = AI , từ đó suy ra

AN BI CM AI AB IC AB IC AB AC

AN BI CM BN IC AM

BN IC AM = BI AC AI = AC BI = AC AB =  =

c) Vẽ Cx⊥CC, gọi D là điểm đối xứng với A qua Cx

Ta có tam giác BAD vuông tại A và CD=CA; AD=2CC

Xét ba điểm B, C, D, ta có BD BC CD +

I

x N

M

D

H C'

B'

B

A

 vuông tại A nên AB2+AD2 =BD2

4

Chứng minh tương tự ta có:

4 AA  AB+AC −BC

4BB  AB+BC −AC

 +  + 

Đẳng thức xảy ra BC= AC AC; = AB AB; =BC ABC đều

Câu 5

a+ b a b

+

Ta có

P

4

P

2 1 1 1

4

P

x y z

2016

minP=  = = =x y z

Đề số 5

Câu 1 Chứng minh rằng:

a) Nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9

b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương

Câu 2 Cho biểu thức

2 3

:

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của biểu thức B tại 12

3

x = −

c) Tìm giá trị của x để B  0

Câu 3

x − x+ + −x = − x

a+ + =b c và a b c 0

x+ + =y z Chứng minh rằng

a +b +c =

Câu 4 Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C

qua P

a) Tứ giác AMDB là hình gì? Tại sao?

b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB và AD Chứng minh EF/ /AC và ba điểm E, F,

P thẳng hàng

c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P

16

PD

PB = Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD

Câu 5 Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thoả mãn đồng thời các điều kiện:

11

x+ + y z và 8x+9y+10z=100

ĐÁP ÁN Câu 1

Vì n  N nên n2 + 3n + 1  N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương

Câu 2

a, ( 2 điểm ) Với x khác -1 và 1 thì:

=

=

) 1 ( ) 1

)(

1 (

) 1 )(

1 ( :

1

1

2

2 3

x x x x x

x x x

x x x

+

− +

− +

+

−

−

+

−

−

) 2

1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( : 1

) 1

)(

1 (

2 2

x x x

x x x

x x x x

+

− +

+

−

−

− + +

−

) 1 (

1 : ) 1

x

x

− +

) 1 )(

1 ( +x2 −x

a) Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta có a + b chia hết cho 3 0,25

Vì a + b chia hết cho 3 nên (a + b)2 - 3ab chia hết cho 3;

b) Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3 (n N)

Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1

= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)

Đặt n2 + 3n = t (t  N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2

= (n2 + 3n + 1)2

(a+b)2 −3ab

(a+b)2 −3ab

b, (1 điểm) Tại x = = thỡ A =

=

KL: B < 0 khi và chỉ khi x > 1

Câu 3

a) Đặt x2 - 5x + 6 = a, 1 - x2 = b thì a + b = 7 - 5x

Phương trình trở thành a3 + b3 = (a + b)3

Biến đổi thành ab(a + b) = 0

<=> a = 0 hoặc b = 0 hoặc a + b = 0

Từ đó tìm được S =

b) Từ :

ayz+bxz+cxy

 ayz + bxz + cxy = 0

a + + =  b c a + + b c =

2 2 2

2 2 2

2 2 2 1( )

dfcm

Câu 4

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

PO là đường trung bình của tam giác CAM ( )

3

2 1

−

3

5

−  + − − − − )

3

5 ( 1 )

3

5 (

) 3

5 1 )(

9

25

1

27

2 10 27

272 3

8 9

=

0 ) 1 )(

1 ( +x2 −x  0

2; 3; -1; 1; 1,2

C

D

O

M

P

I

E

F

AM//PO

Tứ giác AMDB là hình thang

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc

IEA

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1)

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng

c) Chứng minh MAF ~ DBA (g-g) nên =>

AD

AB FA

CP

PB PD

CP =

do đó CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2

PD = 9k = 1,8(cm); PB = 16k = 3,2 (cm => BD = 5 (cm)

C/m BC2 = BP.BD = 16 do đó BC = 4 (cm); CD = 3 (cm)

Câu 5

Ta có: 8x + 8y + 8z < 8x + 9y + 10z = 100 => x + y + z <

8

100

< 13 cùng với giả thiết, có 11 < x + y + z < 13, nhưng x + y + z  Z => x + y + z = 12

Ta có hệ: x + y + z = 12 (1); 8x + 9y + 10z = 100 (2)

Nhân 2 vế của (1) với 8 rồi trừ vế-vế của (2) cho (1), được: y + 2z = 4 (3)

Từ (3) suy ra z = 1 (vì nếu z ≥ 2 thì do y ≥ 1 => y + 2z ≥ 4, mâu thuẫn)

Với z = 1, tìm được y = 2 và x = 9

Thử lại, thấy đúng Vậy có duy nhất bộ x = 9, y = 2 và z = 1 thoả mãn



9 16

PD

9 16

CP⊥BD

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội

dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi

về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh

tiếng

I.Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây

dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường

PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II.Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt

điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành

cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III.Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu

tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí