BdHSG chuyen de 4 Hinh hoc chuong I

§Þnh nghÜa c¸c tû sè lîng gi¸c cña gãc nhän... §êng cao AD vµ BE.[r]

Chuyên đề IV : Hệ thức lợng trong tam giác vuông

Buổi 11 : Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng

A Mục tiêu:

- Củng cố kỹ năng vận dụng các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông , tỉ số lợng giác của góc nhọn vào việc giải bài tập

B Chuẩn bị:

- GV: + Giáo án.

+ Bảng phụ.

- HS :Ôn lại các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông

C tiến trình dạy học:

I Lí thuyết :

(GV nêu từng câu hỏi, HS lần lợt trả lời, HS nhận xét, bổ sung, GV uốn nắn, củng cố

và hệ thống lại kiến thức)

1.Các công thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông.

1, b 2 = ab’, c 2 = ac’ 2, h 2 = b’c’

3, ah = bc 4, 12 12 12

h b c

2 Định nghĩa các tỷ số lợng giác của góc nhọn.

3.Một số tính chất của các tỷ số lợng giác

4,Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

b = a.sinB = a.cosC

b = c.tgB = c.cotgC

c = a.sinC = a cosB

c = b.tgC = b.cotgB

II Bài tập:

Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm tại chỗ, (nếu bài nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét,

bổ sung, sau đó GV chữa bài, chốt cách làm.

1.Cho tam giác ABC diện tích S Ta có :

c

b

a B

S =1/2AB.AC.sinA = 1/2AB.BC.sinB = 1/2AC.BC.sinC

Chứng minh

+ Kẻ đờng cao AH

+ Ta có S = 1/2BC.AH

+ áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông AHB

ta có : AH = AB.sinB

+ Vậy S = 1/2BC.AB.sinB đpcm.

Các ý khác c/m tơng tự.

2-Cho tam giác ABC diện tích S Ta luôn có:

Diện tích tam giác luôn nhỏ hơn nửa tích hai cạnh.

Chứng minh

+ Kẻ đờng cao AH

+ Ta có : S = 1/2 BC.AH

+ Trong tam giác vuông AHB có : AH < AB

+ Từ đó : S = 1/2BC.AH < 1/2AB.BC

Các ý khác c/m tơng tự.

3-Bình phơng mỗi cạnh của tam giác bằng tổng bình phơng hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó với côsin góc xen giữa.

Tức là : Cho tam giác ABC bất kỳ, ta luôn có:

AB2 = AC2+BC2- 2AC.BC.cosC

BC2= AB2+AC2- 2AB.AC.cosA

AC2= AB2+BC2- 2AB.BC.cosB

Chứng minh

+ Ta có : AB2 = BH2+ AH2

+ AH2 = AC2 – HC2

+ AB2 = BH2 – HC2 + AC2 = AC2+ (BH+HC)(BH-HC)

= AC2+ BC.(BC-2HC) = AC2+BC2 – 2BC.HC

A

H

2 2

2

1 1

1

AN AM

AN AE AD

1 1 1

2

BC AB

AC C

B A tg



 2 ˆ

AB

AD tgB 1

2

ˆ

1 tg A B C dpcm tgB

BC AB

DC AD BC

DC AB AD DC

AD BC

AB

















+ HC = AC.cosC => đpcm

Các ý khác c/m tơng tự.

4-Cho hình vuông ABCD và điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC Gọi N là giao điểm của hai đờng thẳng AM và CD Chứng minh rằng :

H ớng dẫn

- Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AM

cắt CD tại E

- Trong tam giác vuông ANE có:

- Dễ dàng chứng minh tam giác ABM bằng

tam giác ADE => AM = AE

Thay trở lại ta có điều pcm

4-Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh :

H ớng dẫn

+ Kẻ phân giác góc B

+ Ta có :

+ BD là phân giác Do đó :

5-Cho tam giác ABC vuông tại A M là trung điểm của AC.

D

A

B

D

I

M E

C

3

3



 BE

0 1

0

0 0

3

27

ˆ

3 1 2.3.cos117

ˆ

ˆ

IE

B

MI

Do do BIM

  

AE AC

AB

b

AD AC

AB

a

2 1

1

,

2 1

1

,









A

Biết AB = 6; AC = 8; AD và BE là đờng phân giác trong của góc A và

B cắt nhau tại I Tính góc BIM.

H ớng dẫn

+ BC2 = AB2 + AC2 = 100 => BC = 10

+ AD là phân giác => AB/AC=BD/DC

 BD = 30/7; DC = 40/7

+ BE2 = AB2 - AE2

+ BE là phân giác

 AB/BC=AE/EC= 6/10 => AE = 3

+AI là phân giác

6-Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE Biết AB < AC Chứng minh các hệ thức

H ớng dẫn

2

2 1

1 ) (

2

2

45 sin 2

1 45 sin 2

1

2 1

2 1

0 0

AD AC AB AC

AB AD AC

AB

AD AC AD

AB AC

AB

ADC S S

AC AB

























3 //

,

.

.

Đ

.

:

:

2

tgC tgB GM

AM HD

AD BC

HG

b

DH

AD tgC

tgB

DH AD DC BD DC

DH AD

BD HAC

BDH

DC BD

AD tgC

tgB DC

AD tgC

ADC

BD

AD tgB

ADB







































Cách1: DH vuông góc AB; DK vuông góc AC

+ DH//AC => BD/BC=DH/AC=BD/BD+DC=DH/AC

=> 1+DC/BD=AC/DH => 1+AC/AB=AC/DH => 1/DH=1/AB+1/AC +DK//AB => DK/AB=DC/BC=DC/BD+CD

=> AB/DK=1+BD/DC => 1+AB/AC=AB/DK => 1/DK=1/AB+1/AC Suy ra : 1/DH+1/DK=2(1/AB+1/AC)=2/DH

+Tam giác AHD vuông cân => AD2=2DH2 => AD = DH

Do đó : 1/AB+1/AC= /AD

Cách2 :

ý b : tơng tự ý a : từ B hạ BI và BQ vuông góc AE và AC rồi chứng minh

t-ơng tự

7-Cho tam giác ABC nhọn Đờng cao AD và BE Gọi H là trực tâm Chứng minh rằng : a, tgB.tgC = AD/HD.

b, HG//BC <=> tgB tgC = 3.

Giải

a, Kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy G/ GM=1/3AM

=> G là trọng tâm

A

B

D

C E

M

.G H

; (

2 cos 2

AB c BC a

B c a

ac





1 sin

1 sin 2

2 cos

2

2 cos 2

2 cos

2

ABD

ABC

ABD

ABC

ABD

ABC

B

B

BD B



8

2

d

S 

2

2 2

4

4

1

Ap dung dinh ly i cho hai so duong a va b ta co

a b

AC BD

Tu do suy ra AC BD

S AC BD









(sử dụng định lý Talét thuận đảo)

8-Cho tam giác ABC, BD là phân giác trong góc B Chứng minh :

H ớng dẫn

9-Cho tứ giác ABCD có tổng 2 đờng chéo bằng d Gọi S là diện tích tứ giác Chứng minh :

H ớng dẫn

+S = SABC + SADC = 1/2AC( BH + DK)

+ Do BD > BH + DK

A

D

C B

B

D K H

25



ABCD

S

2 2

12

4 9 12 25

AOB

AOB BOC

AOD COD

AOD

BOC AOD

ABCD

Tuong tu

Ap dung BDT Cosi a b ab Ta co

S

1

2

2

ABCD

a b

Ap dung BDT i ab Ta co



10-Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O Biết S AOB = 4;

S COD =9 Chứng minh :

H ớng dẫn

11-Cho tứ giác ABCD với S là diện tích, có một điểm O bất kỳ thoả mãn : OA 2 +OB 2 +OC 2 +OD 2 =2S.

Chứng minh rằng : Tứ giác ABCD là hình vuông nhận O làm tâm.

H ớng dẫn

A

B

C

D H

O K

B

C

O

 

1

2

" "

.

ABCD

ABCD

Dau xay ra khi

OA OB OC OD ABCD la hinh vuong nhan O la tam





 

Tân Việt , ngày … tháng … năm 2009

Buổi 12 : Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng (tiếp)

A Mục tiêu:

- Củng cố kỹ năng vận dụng các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông , tỉ số lợng giác của góc nhọn vào việc giải bài tập

B Chuẩn bị:

- GV: + Giáo án.

+ Bảng phụ.

- HS :Ôn lại các hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông

C tiến trình dạy học:

I Lí thuyết :

II Bài tập:

Đối với mỗi bài tập, dạng mới thì GV chữa mẫu, nếu không, HS làm tại chỗ, (nếu bài nào không có HS nào làm đợc thì GV gợi ý dần cho HS suy nghĩ), HS khác nhận xét,

bổ sung, sau đó GV chữa bài, chốt cách làm.

1.Cho tam giác ABC diện tích S Ta có :

S =1/2AB.AC.sinA = 1/2AB.BC.sinB = 1/2AC.BC.sinC

Chứng minh

+ Kẻ đờng cao AH

+ Ta có S = 1/2BC.AH

+ áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông AHB

A

H

2 2

2

1 1

1

AN AM

ta có : AH = AB.sinB

+ Vậy S = 1/2BC.AB.sinB đpcm.

Các ý khác c/m tơng tự.

2-Cho tam giác ABC diện tích S Ta luôn có:

Diện tích tam giác luôn nhỏ hơn nửa tích hai cạnh.

Chứng minh

+ Kẻ đờng cao AH

+ Ta có : S = 1/2 BC.AH

+ Trong tam giác vuông AHB có : AH < AB

+ Từ đó : S = 1/2BC.AH < 1/2AB.BC

Các ý khác c/m tơng tự.

3-Bình phơng mỗi cạnh của tam giác bằng tổng bình phơng hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó với côsin góc xen giữa.

Tức là : Cho tam giác ABC bất kỳ, ta luôn có:

AB2 = AC2+BC2- 2AC.BC.cosC

BC2= AB2+AC2- 2AB.AC.cosA

AC2= AB2+BC2- 2AB.BC.cosB

Chứng minh

+ Ta có : AB2 = BH2+ AH2

+ AH2 = AC2 – HC2

+ AB2 = BH2 – HC2 + AC2 = AC2+ (BH+HC)(BH-HC)

= AC2+ BC.(BC-2HC) = AC2+BC2 – 2BC.HC

+ HC = AC.cosC => đpcm

Các ý khác c/m tơng tự.

4-Cho hình vuông ABCD và điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC Gọi N là giao điểm của hai đờng thẳng AM và CD Chứng minh rằng :

AN AE AD

1 1 1

2

BC AB

AC C

B A tg



 2 ˆ

AB

AD tgB 1

2

ˆ

1 tg A B C dpcm tgB

BC AB

DC AD BC

DC AB AD DC

AD BC

AB

















AE AC

AB

b

AD AC

AB

a

2 1

1

,

2 1

1

,









H ớng dẫn

- Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AM

cắt CD tại E

- Trong tam giác vuông ANE có:

- Dễ dàng chứng minh tam giác ABM bằng

tam giác ADE => AM = AE

Thay trở lại ta có điều pcm

4-Cho tam giác ABC vuông tại A Chứng minh :

H ớng dẫn

+ Kẻ phân giác góc B

+ Ta có :

+ BD là phân giác Do đó :

5-Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE Biết AB < AC Chứng minh các hệ thức

H ớng dẫn

D

A

E

K H

2

2

2 1

1 ) (

2

2

45 sin 2

1 45 sin 2

1

2 1

2 1

0 0

AD AC AB AC

AB AD AC

AB

AD AC AD

AB AC

AB

ADC S S

AC AB

























3 //

,

.

.

Đ

.

:

:

2

tgC tgB GM

AM HD

AD BC

HG

b

DH

AD tgC

tgB

DH AD DC BD DC

DH AD

BD HAC

BDH

DC BD

AD tgC

tgB DC

AD tgC

ADC

BD

AD tgB

ADB







































Cách1: DH vuông góc AB; DK vuông góc AC

+ DH//AC => BD/BC=DH/AC=BD/BD+DC=DH/AC

=> 1+DC/BD=AC/DH => 1+AC/AB=AC/DH => 1/DH=1/AB+1/AC +DK//AB => DK/AB=DC/BC=DC/BD+CD

=> AB/DK=1+BD/DC => 1+AB/AC=AB/DK => 1/DK=1/AB+1/AC

Suy ra : 1/DH+1/DK=2(1/AB+1/AC)=2/DH

+Tam giác AHD vuông cân => AD2=2DH2 => AD = DH

Do đó : 1/AB+1/AC= /AD

Cách2 :

ý b : tơng tự ý a : từ B hạ BI và BQ vuông góc AE và AC rồi chứng minh

t-ơng tự

7-Cho tam giác ABC nhọn Đờng cao AD và BE Gọi H là trực tâm Chứng minh rằng : a, tgB.tgC = AD/HD.

b, HG//BC <=> tgB tgC = 3.

Giải

a, Kẻ trung tuyến AM Trên AM lấy G/ GM=1/3AM

=> G là trọng tâm

A

B

D

C E

M

.G H

; (

2 cos

2

AB c BC a

B c a

ac





1 sin

1 sin 2

2 cos

2

2 cos 2

2 cos

2

ABD

ABC

ABD

ABC

ABD

ABC

B

B

BD B



8

2

d

S 

2

2 2

4

4

1

Ap dung dinh ly i cho hai so duong a va b ta co

a b

AC BD

Tu do suy ra AC BD

S AC BD









(sử dụng định lý Talét thuận đảo)

8-Cho tam giác ABC, BD là phân giác trong góc B Chứng minh :

H ớng dẫn

9-Cho tứ giác ABCD có tổng 2 đờng chéo bằng d Gọi S là diện tích tứ giác Chứng minh :

H ớng dẫn

+S = SABC + SADC = 1/2AC( BH + DK)

+ Do BD > BH + DK

A

D

C B

B

D K H

25



ABCD

S

2 2

12

4 9 12 25

AOB

AOB BOC

AOD COD

AOD

BOC AOD

ABCD

Tuong tu

Ap dung BDT Cosi a b ab Ta co

S

10-Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O Biết S AOB = 4;

S COD =9 Chứng minh :

H ớng dẫn

Tân Việt , ngày … tháng … năm 2009

Buổi 13 : Tỉ số lợng giác của góc nhọn.

I, Mục tiêu:

* Kiến thức - Kĩ năng:

- HS đợc củng cố các định nghĩa tỉ số lợng giác của góc nhọn, tính chất tỉ

số lợng giác của góc nhọn, các hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác

- Vận dụng tính toán,tìm đợc tỉ số lợng giác của một góc, dựng một góc biết tỉ số lợng giác của góc đó

* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, linh hoạt.

II, Lí thuyết cần nhớ:

*Đ/n tỉ số lợng giác của góc nhọn.

* T/ c tỉ số lợng giác của góc nhọn:

A

D H

O K

+ 0 sin ,   cos  1 ; 2 2

sin  cos   1 ; sin : cos  tg ; cos : sin   costg + Nếu  và  là hai góc phụ nhau thì sin   cos  ; tg  cotg

+ tg cotg  1

* Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

III, Bài tập và h ớng dẫn:

Bài tập 1: Cho hình vẽ sau, chỉ ra các hệ thức sai.

B

A

C

1, sinA BC

AC

 ; 2, cosC AB

AC

 ; 3, AB

tgC BC

 ; 4, cotgA BC

AB

 ; 5, cot 1

tgA gB 

6, sinA cos(90 0  C) ; 7, sin 2 A cos 2C 1 ; 8, sin

cos

A tgA

C  ;

9, sin

cot

cos

A

gA

A ; 10, tgAcotgC

Bài tập 2: Cho hình vẽ sau, các hệ thức nào sau đây là đúng.

B

A

C H

1, AB BC cosC; 2, ACAH tgC ; 3, AH AB tgB ; 4,BH AH tgB ; 5,

.sin

ACBC B; 6, ABAC tgC ; 7, BH AB.cosB; 8,

cos

AB BC

C

 ; 9,

cot

AC AB

gC

 ;

10, AB

AC

tgC



Bài tập 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A AB = 30 cm góc B bằng  Biết 5

12

tg  Tính cạch

AB, AC.

Bài tập 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ đờng cao AH Tính sin ,sinB C trong các trờng hợp sau:

A, AB = 13 ; BH = 5.

B, BH = 3 ; CH = 4.

Bài tập 5:

Dựng góc nhọn  biết :

a, 1

sin

2

  ; b, 2

cos

3

  ; c, 4

5

tg  ; d, 3

cot

4

g 

Bài tập 6:

a, Sắp xếp các tỉ số lợng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn :

1 1, sin 35 , cos 28 ,sin 34 72 ,cos 62 ,sin 450 0 0 ' 0 0

2, cos37 ,cos 65 30 ,sin 72 , cos59 ,sin 470 0 ' 0 0 0

b, Sắp xếp các tỉ số lợng giác sau theo thứ tự từ lớn đến nhỏ :

1, tg42 ,cot 71 , 38 ,cot 69 15 , 280 g 0 tg 0 g 0 ' tg 0

2, cot 57 , 46 ,cot 73 43 , 64 ,cot 75g 0 tg 0 g 0 ' tg 0 g 0

Bài tập 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đờng cao AH Biết hai cạnh góc vuông là 7 và 8 Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.

Bài tập 8:

Cho tam giác MNP vuông tại M, kẻ đờng cao MH Biết hai hình chiếu của hai cạnh

góc vuông là 7 và 12 Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.

Bài tập 9:

Cho tam giác PRK vuông tại R, kẻ đờng cao RH Biết đờng cao RH là 5 và một hình chiếu

là 7 Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.

Bài tập 10: Tính giá trị biểu thức:

a, A cos 52 sin 452 0 0 sin 52 cos 452 0 0

b, B sin 45 cos 470 2 0 sin 47 cos 452 0 0

Bài tập 11: Tìm sin ,cot  g tg ,  biết 1

cos

5

 

Bài tập 12 : Cho tam giác ABC vuông ở A, góc C bằng 30 0 , BC = 10 cm.

a, Tính AB, AC.

b, Kẻ từ A các đờng thẳng AM, AN lần lợt vuông góc với các đờng phân giác trong

và ngoài của góc B CMR:

MN // BC; MN = BC

c, Tam giác MAB đồng dạng với tam giác ABC Tìm tỉ số đồng dạng.

Tân Việt , ngày … tháng … năm 2009