Thiết kế bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mô hình điều khiển con lắc ngược

Hệ thống con lắc ngược được gắn trên xe là một đối tượng nghiên cứu rất phổ biến Nó thường được sử dụng để kiểm tra và thực thi sự hiệu quả của các thuật toán điều khiển hiện đại Tuy nhiên với những thiết bị cần có thời gian đáp ứng nhanh độ chính xác độ tin cậy cao thì các thuật toán điều khiển chỉ đáp ứng được một phần nào đó Nghiên cứu này được đề xuất nhằm để hạn chế mức thấp nhất các sai số cũng như các vấn đề trên mà người điều khiển quan tâm Từ hệ thống con lắc ngược cơ bản sử dụng các biện pháp thiết kế thông thường tác giả đã xây dựng bộ điều khiển số kết hợp thêm khâu hiệu chỉnh mô hình cho đối tượng con lắc ngược để đạt được kết quả tốt hơn Phương pháp sử dụng khâu hiệu chỉnh mô hình được giới thiệu trong luận văn và được so sánh với kết quả khi chưa thực hiện khâu hiệu chỉnh Tác giả đã tóm tắt kết quả đạt được và đưa ra hướng phát triển tiếp theo của đề tài

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN THANH VÂN

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN SỐ KẾT HỢP KHÂU HIỆU CHỈNH MÔ HÌNH

ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ

KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

Đà Nẵng - Năm 2017

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN THANH VÂN

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN SỐ KẾT HỢP KHÂU HIỆU CHỈNH MÔ HÌNH

ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC

Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và Tự động hóa

Mã số: 60.52.02.16

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN MINH TRÍ

Đà Nẵng - Năm 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Nguyễn Văn Minh Trí Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn (ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thanh Vân

MỤC LỤC

Lời cam đoan

Mục lục

Tóm tắt luận văn

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Danh mục các hình

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài (Tính cấp thiết của đề tài) 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 2

6 Bố cục của đề tài 2

Chương 1 – TÌM HIỂU VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC 3

1.1 Cấu tạo con lắc ngược 3

1.2 Mô hình hóa con lắc ngược 4

1.2.1 Giới thiệu về bài toán điều khiển con lắc ngược 4

1.2.2 Mô hình toán học của đối tượng con lắc ngược 5

1.3 Các phương pháp điều khiển con lắc ngược 9

1.3.1 Bài toán điều khiển con lắc ngược 9

1.3.2 Các phương pháp điều khiển con lắc ngược đã được nghiên cứu trước đây 10

1.3.2.1 Sử dụng bộ điều khiển PID 10

1.3.2.2 Sử dụng bộ điều khiển toàn phương tuyến tính LQR 11

1.3.2.3 Các bộ điều khiển khác 12

1.3.3 Phương pháp điều khiển con lắc ngược của đề tài 13

1.4 Kết luận 14

Chương 2 – THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN THỜI GIAN GIÁN ĐOẠN

CHO CON LẮC NGƯỢC 15

2.1 Tổng quan về bộ điều khiển trong miền thời gian gián đoạn 15

2.2 Phân tích sự ổn định của hệ thống vòng kín trong mặt phẳng Z 15

2.2.1 Điều kiện ổn định của hệ thống 15

2.2.2 Phương pháp kiểm tra độ ổn định tuyệt đối 16

2.2.2.1 Phương pháp kiểm tra tính ổn định của Jury 16

2.2.2.2 Phương pháp chuyển đổi song tuyến cùng kết hợp với tiêu chuẩn ổn định Routh 18

2.2.3 Một vài ý kiến về sự ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín 19

2.3 Các phương pháp thiết kế bộ điều khiển số 19

2.3.1 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số 19

2.3.1.1 Điều kiện góc độ và cường độ 20

2.3.1.2 Quy tắc chung để xây dựng các quỹ đạo nghiệm số 21

2.3.1.3 Ảnh hưởng của thời gian lấy mẫu T về tính đáp ứng thoáng qua 22

2.3.2 Phương pháp đáp ứng tần số 23

2.3.3 Phương pháp thiết kế phân tích 30

2.3.4 Điều khiển bậc 2 của hệ thống serνo 34

2.3.5 Lựa chọn phhương pháp thiết kế bộ điều khiển số 37

2.4 Thiết kế bộ điều khiển số cho hệ thống con lắc ngược 37

2.5 Kết luận 42

Chương 3 – THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN SỐ KẾT HỢP KHÂU HIỆU CHỈNH MÔ HÌNH ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC 43

3.1 Giới thiệu 43

3.2 Phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh mô hình 45

3.3 Thiết kế bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mô hình điều khiển con lắc ngược 49

3.5 Kết luận 52

Chương 4 – MÔ PHỎNG VÀ KẾT LUẬN 55

4.1 Mô phỏng hệ thống con lắc ngược khi có bộ điều khiển số nhưng chưa có khâu hiệu chỉnh 55

4.2 Mô phỏng hệ thống con lắc ngược có bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu

chỉnh mô hình 57

4.3 Mô phỏng so sánh hệ thống con lắc ngược có bộ điều khiển số và hệ thống con lắc ngược có bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mô hình 59

4.4 Kết luận 62

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 63

1 Kết luận 63

2 Kiến nghị 63

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

PHỤ LỤC 65

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN SỐ KẾT HỢP KHÂU HIỆU CHỈNH MÔ HÌNH

ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC

Học viên: Nguyễn Thanh Vân Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và Tự động hóa

Mã số: 105150386 Khóa K31 Trường Đại học Bách khoa – ĐHĐN

Tóm tắt – Hệ thống con lắc ngược được gắn trên xe là một đối tượng nghiên

cứu rất phổ biến Nó thường được sử dụng để kiểm tra và thực thi sự hiệu quả của các thuật toán điều khiển hiện đại Tuy nhiên, với những thiết bị cần có thời gian đáp ứng nhanh, độ chính xác, độ tin cậy cao thì các thuật toán điều khiển chỉ đáp ứng được một phần nào đó Nghiên cứu này được đề xuất nhằm để hạn chế mức thấp nhất các sai số cũng như các vấn đề trên mà người điều khiển quan tâm Từ hệ thống con lắc ngược

cơ bản, sử dụng các biện pháp thiết kế thông thường tác giả đã xây dựng bộ điều khiển

số kết hợp thêm khâu hiệu chỉnh mô hình cho đối tượng con lắc ngược để đạt được kết quả tốt hơn Phương pháp sử dụng khâu hiệu chỉnh mô hình được giới thiệu trong luận văn và được so sánh với kết quả khi chưa thực hiện khâu hiệu chỉnh Tác giả đã tóm tắt kết quả đạt được và đưa ra hướng phát triển tiếp theo của đề tài

Từ khóa – Con lắc ngược; Hiệu chỉnh mô hình con lắc ngược; Kiểm soát hệ

thống kết hợp mô hình

Abstract – Inverted Pendulum on a cart is a very popular research object It is

often used for test and enforce the effectiveness of modern control algorithms However, for devices that require fast response time, accuracy and reliability control algorithms only meet a certain part This research is proposed to minimize the errors and other issues that the operators care about From the inverted Pendulum on a cart , using conventional design method the author built a digital controller that incorporateds the corrected model for the pendulum object to achieve better results The method used to correct the model was introduced in the thesis and was compared with the results without having corrected model The author summarized the achieved results and set out the direction of the future development of the topic

Key word – Inverted Pendulum; Model correction Inverted Pendulum; Model

Matching Control System

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CÁC KÝ HIỆU:

l Chiều dài từ khớp đến trọng tâm G con lắc ngược (m)

G Trọng tâm của con lắc

DANH MỤC CÁC BẢNG

Số hiệu

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Số hiệu

hợp khâu hiệu chỉnh mô hình

13

4.1 Sơ đồ khối mô phỏng hệ thống dùng bộ điều khiển số 55

khâu hiệu chỉnh mô hình

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài (Tính cấp thiết của đề tài)

Hệ thống con lắc ngược gắn trên xe là một đối tượng nghiên cứu rất phổ biến

từ những năm 50 Nó vốn là một hệ thống không ổn định thường được sử dụng để kiểm tra sự thực thi và hiệu quả của các thuật toán điều khiển Trong thực tế ứng dụng ( hệ thống cân bằng trên xe ôtô, tàu thủy, tháp vô tuyến ) các kết cấu cơ học tự nó phát sinh và chịu tác động có hại từ những dao động và mô hình con lắc ngược được

sử dụng rất nhiều để giảm các dao động này Về mặt điều khiển học, mô hình con lắc ngược rất hay được xem xét áp dụng

Trong những năm gần đây ngành tự động hóa có những bước phát triển vượt bậc, việc ứng dụng các sản phẩm tự động hóa vào sản xuất ngày càng phổ biến giúp nâng cao năng suất lao động và hạ giá thành sản phẩm Song song với quá trình phát triển

đó là yêu cầu ngày càng cao về độ chính xác, độ tin cậy, khả năng làm việc trong môi trường khắc nghiệt với thời gian dài của các hệ thống tự động Vì vậy việc nghiên cứu

và phát triển các hệ thống điều khiển hiện đại cho ngành tự động hóa nhằm đáp ứng cho các yêu cầu trên là việc làm cần thiết

Mô hình điều khiển con lắc ngược là một mô hình thí nghiệm hệ thống lý tưởng cho việc ứng dụng các thuật toán điều khiển hiện đại và kỹ thuật điều khiển máy tính Trong những năm gần đây lý thuyết điều khiển kỹ thuật số có những bước phát triển vượt bậc và ngày càng được ứng dụng nhiều vào thực tiễn Việc ứng dụng lý thuyết điều khiển kỹ thuật số vào điều khiển mô hình con lắc ngược sẽ mang đến nhiều kiến thức mới và kinh nghiệm bổ ích

Xác định từ các yêu cầu trên, tác giả đã áp dụng các lý thuyết điều khiển hiện đại để hiệu chỉnh các thông số mô hình.Với hướng nghiên cứu đó, tác giả chọn đề tài

“Thiết kế bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mô hình điều khiển con lắc ngược ” để làm đề tài nghiên cứu

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu về con lắc ngược, các phương pháp điều khiển cân bằng và lý thuyết hệ thống điều khiển thời gian rời rạc

- Thiết kế bộ điều khiển số cho con lắc ngược, bộ hiệu chỉnh với hệ thống chương trình điều khiển cho con lắc ngược theo yêu cầu đặt ra

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Mô hình con lắc ngược, bộ hiệu chỉnh con lắc ngược

- Phạm vi nghiên cứu:

+ Xây dựng mô hình toán học con lắc ngược

+ Điều khiển cân bằng hệ thống bằng bộ điều khiển số

+ Điều khiển cân bằng hệ thống bằng bộ điều khiển số kết hợp với khâu hiệu chỉnh

+ Mô phỏng hệ thống bằng phần mềm Matlab - Simulink, đánh giá kết quả

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết: xây dựng mô hình con lắc ngược, xây dựng thuật toán điều khiển

- Mô phỏng để kiểm tra các thuật toán và kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu trên phần mềm Matlab – Simulink

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Con lắc ngược là cơ sở để tạo ra các hệ thống tự cân bằng như: xe hai bánh tự cân bằng, điều khiển cân bằng khi phóng tàu vũ trụ, cân bằng giàn khoan trên biển…Khi

lý thuyết về các bộ điều khiển hiện đại ngày càng hoàn thiện hơn thì con lắc ngược là một trong những đối tượng được áp dụng để kiểm tra độ chính xác của các lý thuyết

đó

6 Bố cục của đề tài

Đề tài được bố cục như sau:

+ Chương 1: Tìm hiểu về hệ thống điều khiển con lắc ngược

+ Chương 2: Thiết kế hệ thống điều khiển thời gian gián đoạn cho con lắc ngược

+ Chương 3: Thiết kế bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mô hình điều khiển con lắc ngược

+ Chương 4 : Mô phỏng và kết luận

+ Kết luận và kiến nghị

+ Tài liệutham khảo

Chương 1 – TÌM HIỂU VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC 1.1 Cấu tạo con lắc ngược

Cấu trúc động học chung của mô hình con lắc ngược được trình bày trên hình 1.1 có kết cấu các bộ phận cơ khí gồm một xe goòng nhỏ, trên xe goòng có các bộ phận chính là tay đòn gắn con lắc có thể chuyển động theo trục ngang x Xe goòng di chuyển dọc trục ngang và được kéo di chuyển dọc trục bởi một động cơ điện một chiều thông qua hệ thống Puly và dây đai có thể di chuyển trên đường ray phẳng trong phạm vi chuyển động giới hạn Vị trí của xe goòng được điều khiển bởi hệ thống điều khiển số thông minh đảm bảo con lắc di chuyển và được giữ cân bằng Đường ray có

độ dài cố định là điều kiện ràng buộc của thuật toán điều khiển Máy phát tốc gắn cùng trục Puly của cơ cấu chuyển động được sử dụng cho xác định vị trí tức thời xe goòng Góc quay của con lắc được đo bằng một chiết áp xoay gắn trên trục quay của con lắc ngược

1-Khối cấp nguồn cho động cơ

9- Tay đòn của con lắc

Hình 1.1: Cấu trúc động học của mô hình con lắc ngược

1.2 Mô hình hóa con lắc ngược

1.2.1 Giới thiệu về bài toán điều khiển con lắc ngược

Xét hệ thống con lắc ngược như hình (1.2) Con lắc ngược (Pendulum) được gắn vào xe kéo(Cart), xe kéo(Cart) được điều khiển bởi một tín hiệu u Chúng ta chỉ xét bài toán hai chiều, nghĩa là con lắc chỉ di chuyển trong mặt phẳng Con lắc ngược không thể ổn định vì nó luôn ngã xuống trừ khi có lực tác động thích hợp Ta xét con lắc là thanh thẳng được làm từ vật liệu đồng chất nên khối lượng của con lắc tập trung

ở trọng tâm của con lắc như hình vẽ Yêu cầu của bài toán là điều khiển vị trí xe sao cho con lắc ngược luôn thẳng đứng (con lắc luôn cân bằng)

Hình 1.2: Mô hình xe và con lắc ngược

 Chú thích:

+ l: chiều dài từ khớp đến trọng tâm G của con lắc ngược (m)

+ G: trọng tâm của con lắc

+ θ: góc giữa con lắc ngược và phương thẳng đứng (rad)

- Bài toán của đề tài: Giả sử con lắc ngược đang ổn định tại một vị trí cân bằng, tác

động một lực vào hệ thì con lắc ngược sẽ dao động Bài toán đặt ra là điều khiển con

lắc cân bằng tại vị trí xác định mới Vì vậy cần thiết kế một bộ điều khiển thích hợp để

giữ ổn định con lắc

1.2.2 Mô hình toán học của đối tượng con lắc ngược

Xét mô hình con lắc ngược như hình (1.2):

Mô hình xe và con lắc ngược (Pendulumand Cart) (Hình 1.2)

Từ hình (1.2) ta phân tích các lực tác động lên hệ xe ( hình 1.3) :

Hình 1.3: Mô hình của xe (Cart)

Từ hình (1.2) ta phân tích các lực và góc θ tác động lên con lắc (hình 1.4) :

Hình 1.4: Mô hình con lắc (Pendulum)

Gọi x G,y là tọa độ trọng tâm của con lắc thì: G

Gọi: V là lực tác dụng theo phương dọc (thẳng đứng)

H là lực tác dụng theo phương ngang

Theo định luật 2 Neωton ta có:

Thay vào phương trình (1.13) ta có:

Thay vào (1.15a)

03(𝑀 + 𝑚)

0000

0010][

0

−34𝑀𝑙 + 𝑚𝑙044𝑀 + 𝑚 ]

0000

0010]

[

0

−3 4𝑀𝑙+𝑚𝑙

0

4

; 𝐶 = [0 0 1 0]; 𝐷 = [0]

Chọn các thông số của mô hình hệ thống con lắc ngược:[6,Tr626]

Bảng 1.1: Thông số mô hình hệ thống con lắc ngược

thay các giá trị của con lắc ta được:

015.260

−0.3633

1000

0000

0010]; 𝐵 = [

0

−0.740700.4938

]; 𝐶 = [0 0 1 0];𝐷 = [0]

1.3 Các phương pháp điều khiển con lắc ngược

1.3.1 Bài toán điều khiển con lắc ngược

Nhiệm vụ quan trọng đầu tiên của việc điều khiển con lắc ngược là đảm bảo cho vị trí của xe goòng bám theo giá trị đặt trước và góc của con lắc so với trục thẳng đứng gần như bằng không Tuy nhiên việc giải bài toán này chưa xét đến điều kiện thực tế khi con lắc làm việc, như các tác động của momen lực, ma sát…Tùy theo yêu cầu nâng cao chất lượng điều khiển (độ chính xác) mà ta cần tính đến ảnh hưởng của các yếu tố trên và theo đó, phương pháp điều khiển cũng trở nên đa dạng và phong phú hơn

1.3.2 Các phương pháp điều khiển con lắc ngược đã được nghiên cứu trước đây

1.3.2.1 Sử dụng bộ điều khiển PID [7]

Bộ điều khiển PID chỉ có thể điều khiển đồng thời một thông số của hệ thống,

để điều khiển được góc con lắc và vị trí của xe con lắc tại cùng một thời điểm thì chúng ta cần hai bộ điều khiển PID Trong đó một thông số được xem như là thông số chính và được điều khiển trực tiếp momen của động cơ trong khi đó thông số còn lại được được áp vào tác động của điểm tham chiếu của thông số chính Từ đó ta có một

là góc của con lắc, hai là vị trí xe của con lắc được dùng làm thông số chính của con lắc Hai tín hiệu đầu vào được đưa vào bộ điều khiển PID và đầu ra là tín hiệu lực tác động vào xe

Hình 1.5: Cấu trúc bộ điều khiển PID con lắc ngược

Ưu điểm của bộ điều khiển PID là dễ dàng thiết kế không phụ thuộc nhiều vào

mô hình toán của đối tượng Bộ điều khiển sẽ thực hiện giảm tối đa sai số bằng cách điều chỉnh giá trị điều khiển đầu vào Trong trường hợp không có kiến thức cơ bản về quá trình thì bộ điều khiển PID là tốt nhất Tuy nhiên để đạt được kết tốt nhất, các thông số PID sử dụng trong tính toán phải điều chỉnh theo tính chất của hệ thống trong

khi kiểu điều chỉnh là giống nhau các thông số phải phụ thuộc vào đạc thù của hệ thống

Hạn chế các bộ điều khiển PID có thể dùng nhiều cho bài toán điều khiển và thường đạt được kết quả như ý mà không dùng bất kỳ cải tiến hay điều chỉnh nào và thường không cho ta điều khiển tối ưu Khó khăn cơ bản của bộ điều khiển PID là phản hồi với hệ số không đổi

1.3.2.2 Sử dụng bộ điều khiển toàn phương tuyến tính LQR [7]

Lý thuyết điều khiển điều khiển LQR là một phương pháp điều khiển mạnh để điều khiển hệ thống tuyến tính được mô tả bằng phương trình trạng thái Kỹ thuật LQR tạo ra bộ điều khiển vòng kín ổn định với năng lượng cung cấp cho hệ thống là nhỏ nhất

Thông thường nếu hệ ổn định thì khi không bị kích thích hệ luôn có xu hướng tiến về điểm trạng thái cân bằng, tức là điểm mà khi không có tác động từ bên ngoài ( u = 0)

nghiệm của phương trình trạng thái : Ax = 0 Và nếu có giả thiết A là ma trận không

độ

Hình 1.6: Thiết kế bằng phản hồi trạng thái R

𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 Phương pháp thiết kế khác sao cho sau khi bị nhiễu tác động đưa ra khỏi vị

sự tổn hao năng lượng theo phương trình:

Hình 1.7: Cấu trúc bộ điều khiển LQR con lắc ngược

Điều khiển con lắc ngược bằng LQR đòi hỏi ta phải xác định tương đối thông số của

mô hình nó quyết định đến giữ thăng bằng cho con lắc vì vậy cần thực nghiệm nhiều

để tìm ra quy luật tối ưu trong điều khiển con lắc

1.3.3 Phương pháp điều khiển con lắc ngược của đề tài

Như tên đề tài đã trình bày, phương pháp điều khiển con lắc ngược được đưa ra trong đề tài tập trung nghiên cứu thiết kế bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mô hình điều khiển con lắc ngược

Sơ đồ khối của hệ thống như hình (1.9):

Trong đó:

+ Bộ điều khiển số điều khiển con lắc ngược được thiết kế ở chương 2

+ Khâu hiệu chỉnh mô hình được trình bày ở chương 3

+ Chương 4 mô phỏng mô hình hệ thống

1.4 Kết luận

Như vậy trong chương 1 này tác giả đã thực hiện được những công việc sau:

+ Tìm hiểu được cấu tạo, các phương pháp điều khiển con lắc ngược đã được sử dụng

+ Xây dựng mô hình toán học cho con lắc ngược

+ Chuyển mô hình toán học con lắc ngược về dạng phương trình không gian trạng thái để chuẩn bị cho việc thiết kế

Hình 1.9a: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển dùng bộ điều khiển số

Bộ điều khiển số

Con lắc ngược

Yra Yđặt

Hình 1.9b: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển dùng bộ điều

khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mô hình

Bộ điều khiển số kết hợp khâu hiệu chỉnh mô hình

Hệ thống con lắc ngược

Việc nắm rõ được cấu trúc cơ bản, các đặc tính của con lắc ngược và các phương pháp điều khiển con lắc ngược là cơ sở kiến thức vững chắc và hết sức quan trọng trong quá trình nghiên cứu thiết kế Các phương trình toán học, mô hình con lắc nguợc

là cơ sở cho việc xây dựng bộ điều khiển ở các chương sau

Chương 2 – THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN THỜI GIAN GIÁN ĐOẠN

CHO CON LẮC NGƯỢC 2.1 Tổng quan về bộ điều khiển trong miền thời gian gián đoạn

Trong chương này, đầu tiên tác giả xin trình bày cách biến đổi từ mặt phẳng s tới mặt phẳng z và thảo luận về sự ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín trong mặt phẳng z Tiếp theo, tác giả trình bày các phương pháp thiết kế khác nhau cho các hệ thống điều khiển gián đoạn một đầu ra hoặc nhiều đầu ra

Phương pháp đầu tiên là dựa trên kỹ thuật quỹ đạo nghiệm số sử dụng các cấu hình điểm cực và số không trong mặt phẳng z Phương pháp thứ hai dựa trên phương pháp đáp ứng tần số trong mặt phẳng ω Phương pháp thứ ba là phương pháp phân tích thiết kế của bộ điều khiển số Phương pháp thứ tư là điều khiển bậc hai của hệ thống servo

Các kỹ thuật thiết kế cho các hệ thống điều khiển liên tục theo thời gian gián đoạn dựa trên các phương pháp biến đổi thông thường (phương pháp quỹ đạo nghiệm

số và đáp ứng tần số ) đã được thiết lập tốt kể từ những năm 1950 Các phương pháp biến đổi thông thường đặc biệt hữu ích cho việc thiết kế hệ thống kiểm soát công nghiệp Trên thực tế, trong quá khứ nhiều hệ thống điều khiển số công nghiệp đã được thiết kế thành công trên cơ sở các phương pháp biến đổi thông thường Việc thành thạo

cả hai phương pháp thiết kế quỹ đạo nghiệm số, phương pháp đáp ứng tần số và kinh nghiệm thu được trong việc thiết kế bộ điều khiển tương tự là vô cùng có giá trị trong việc thiết kế các hệ thống điều khiển thời gian gián đoạn

2.2 Phân tích sự ổn định của hệ thống vòng kín trong mặt phẳng Z

2.2.1 Điều kiện ổn định của hệ thống

Xét các hệ thống chức năng vòng kín truyền xung sau đây:

𝐶(𝑧)

Sự ổn định của hệ thống được xác định bởi phương trình (2.1), cũng như các loại khác của hệ thống điều khiển thời gian gián đoạn, có thể được xác định từ các vị trí của các cực vòng kín trong mặt phẳng z, hoặc gốc của phương trình đặc trưng:

như sau:

1 Đối với các hệ thống được ổn định, các điểm cực vòng kín hoặc quỹ đạo nghiệm số của phương trình đặc trưng phải nằm trong vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z Bất kỳ điểm cực vòng kín nằm bên ngoài vòng tròn đơn vị làm cho hệ thống không ổn định

2 Nếu một điểm cực đơn giản nằm tại z = 1, sau đó hệ thống sẽ trở nên cực

kỳ ổn định Ngoài ra, hệ thống trở nên cực kỳ ổn định nếu một cặp cực phức liên hợp nằm trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z Bất kỳ điểm cực vòng kín nằm trên vòng tròn đơn vị sẽ làm cho hệ thống không ổn định

3 Số không vòng kín không ảnh hưởng đến sự ổn định tuyệt đối và do đó có thể được đặt bất cứ nơi nào trong mặt phẳng z

Do đó, một hệ thống một đầu vào một đầu ra thời gian gián đoạn điều khiển vòng kín đổi sang thời gian tuyến tính trở nên không ổn định nếu bất kỳ các điểm cực của vòng kín nằm bên ngoài vòng tròn đơn vị và hoặc bất kỳ điểm cực vòng kín nằm trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z

2.2.2 Phương pháp kiểm tra độ ổn định tuyệt đối

Có ba dạng kiểm tra sự ổn định có thể được áp dụng trực tiếp vào phương trình đặc trưng P(z) = 0 Đó là:

+ Phương pháp thử nghiệm ổn định Schur-Cohn

+ Kiểm tra sự ổn định của Jury

+ Phương pháp thứ ba là dựa trên sự biến đổi song tuyến kết hợp với các tiêu chuẩn ổn định Routh

Cả hai phương pháp kiểm tra sự ổn định Chur-Cohn và kiểm tra sự ổn định của Jury có thể được áp dụng cho các phương trình đa thức với hệ số thực hoặc phức Các tính toán cần thiết trong các thử nghiệm của Jury, khi phương trình đa thức liên quan đến việc chỉ đọc các hệ số, là đơn giản hơn nhiều so với những yêu cầu trong kiểm tra Shur-Cohn

2.2.2.1 Phương pháp kiểm tra tính ổn định của Jury

Khi áp dụng các bài kiểm tra sự ổn định của Jury cho một phương trình đặc trưng cho P(z) = 0, chúng ta xây dựng một bảng mà các thành phần được dựa trên hệ

số P(z) Giả sử rằng phương trình đặc trưng P(z) là một đa thức trong z như sau:

Trường hợp a0> 0 Sau đó bảng Jury được đưa ra như trong bảng (2-1) Chú ý rằng các yếu tố trong hàng đầu tiên bao gồm các hệ số P(z) được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của z Các yếu tố ở hàng thứ hai bao gồm các hệ số của P(z) được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của z Các yếu tố cho hàng 3 đến 2n-3 được đưa ra bởi các yếu tố quyết định sau đây:

Bảng 2.1: Dạng tổng quát tính ổn định của Jury

2.2.2.2 Phương pháp chuyển đổi song tuyến kết hợp với tiêu chuẩn ổn định Routh

Một phương pháp thường được sử dụng trong phân tích ổn định của hệ thống điều khiển gián đoạn thời gian là sử dụng sự chuyển đổi song tuyến cùng với các tiêu chuẩn ổn định Routh Phương pháp này đòi hỏi phải chuyển đổi từ mặt phẳng z sang mặt phẳng ω Những người đã quen thuộc với các tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurωitz

sẽ tìm ra phương thức đơn giản và dễ hiểu Tuy nhiên, số lượng tính toán cần thiết nhiều hơn so với yêu cầu trong tiêu chuẩn ổn định của Jury

Trong phân tích sự ổn định bằng cách sử dụng chuyển đổi song tuyến cùng với các tiêu chuẩn ổn định Routh, trước tiên chúng ta thay thế (ω + 1)/(ω-1) cho z trong phương trình đặc trưng

Sau đó, tính toán bù trừ các phân số bằng cách nhân cả hai vế của phương trình cuối

Một khi chúng ta chuyển đổi P(z) = 0 thành Q(ω) = 0, ta có thể áp dụng các tiêu chuẩn

ổn định Routh theo cách tương tự như trong các hệ thống liên tục theo thời gian

2.2.3 Một vài ý kiến về sự ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín

1 Nếu chúng ta quan tâm đến hiệu quả của một số hệ thống về sự ổn định của một hệ thống điều khiển vòng kín, một sơ đồ quỹ đạo nghiệm số có thể chứng minh là hữu ích Matlab có thể được sử dụng để tính toán và vẽ một sơ đồ quỹ đạo nghiệm số

2 Cần lưu ý rằng việc thử nghiệm độ ổn định của phương trình đặc trưng có thể được đơn giản, trong một số trường hợp để tìm ra nguồn gốc của phương trình đặc trưng trực tiếp bằng cách sử dụng Matlab

3 Điều quan trọng là sự ổn định của hệ thống có khả năng không theo một đầu vào cụ thể Các tín hiệu lỗi trong một hệ thống điều khiển vòng kín có thể ở nếp gấp

mà không bị ràng buộc, ngay cả khi hệ thống ổn định

2.3 Các phương pháp thiết kế bộ điều khiển số

2.3.1 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

Sự ổn định tương đối của các hệ thống điều khiển thời gian gián đoạn có thể được thực hiện đối với các vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z Ví dụ, nếu các điểm cực vòng kín là hệ thống phức và nằm bên trong vòng tròn đơn vị thì đáp ứng đơn vị bước sẽ dao động

Ngoài các tính đáp ứng thoáng qua của một hệ thống nhất định, nó thường là cần thiết để tìm hiểu ảnh hưởng của độ lợi hệ thống hoặc thời gian lấy mẫu về sự ổn định tuyệt đối và tương đối của các hệ thống khép kín Đối với mục đích như vậy phương pháp quỹ đạo nghiệm số chứng minh là rất hữu ích

Các phương pháp quỹ đạo nghiệm số được phát triển cho các hệ thống thời gian liên tục có thể được mở rộng cho các hệ thống thời gian gián đoạn mà không sửa đổi, ngoại trừ ranh giới ổn định được thay đổi từ trục jω trong mặt phẳng s vào vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z

Lý do phương pháp quỹ đạo nghiệm số có thể được mở rộng cho hệ thống thời gian gián đoạn có dạng tương tự như đối với các hệ thống liên tục theo thời gian trong mặt phẳng s Ví dụ, đối với các hệ thống thể hiện trong hình (2.1) phương trình đặc trưng là 1+ G(z)H(z) = 0

Đó là các hình thức tương tự như phương trình để phân tích chính xác quỹ đạo nghiệm số trong mặt phẳng s Tuy nhiên, các điểm cực cho các hệ thống vòng kín trong mặt phẳng z phải được giải thích khác nhau từ trong mặt phẳng s Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh việc áp dụng các phương pháp quỹ đạo nghiệm số để thiết

kế hệ thống điều khiển kỹ thuật số của thời gian gián đoạn

2.3.1.1 Điều kiện góc độ và cường độ

Trong nhiều hệ thống điều khiển thời gian gián đoạn, hệ bất biến theo thời gian, phương trình đặc trưng có thể có một trong hai hình thức sau đây:

+ Điều kiện góc: ∠𝐹(𝑧) = ±1800(2𝑘 + 1) 𝑘 = 0,1,2 …

Các giá trị của z mà thỏa mãn cả về điều kiện góc và điều kiện cường độ thì là những điểm cực gốc của phương trình đặc trưng hoặc các điểm cực vòng kín

2.3.1.2 Quy tắc chung để xây dựng các quỹ đạo nghiệm số

1 Có được phương trình tính 1 + F(z) = 0 và sau đó sắp xếp lại phương trình này để có các tham số quan tâm, chẳng hạn như K

Chúng ta giả định rằng các tham số quan tâm là K, với K> 0 Từ các yếu tố của chức năng chuyển mạch vòng lặp mở , xác định vị trí các điểm cực vòng hở và số không trong mặt phẳng z

2 Tìm thấy những điểm khởi đầu và các điểm kết thúc của quỹ đạo nghiệm số Thấy cũng có số lượng các nhánh riêng biệt của quỹ đạo nghiệm số Các điểm trên quỹ đạo nghiệm số tương ứng với K = 0 là điểm cực vòng hở và những tương ứng với k =

∞ là số không vòng hở Do đó, khi K được tăng lên từ số không đến ∞, một quỹ đạo nghiệm số bắt đầu từ một điểm cực vòng hở và kết thúc tại một hữu hạn vòng hở hay ở

Góc của tiệm cận = ±1800(2𝑁+1)

𝑛−𝑚 𝑁 = 1,2, ….

Trong đó: n = số điểm cực hữu hạn của F (z)

m = các số không xác định của F (z)

Ở đây, n = 0 tương ứng với tiệm cận của góc nhỏ nhất với trục thực Giả sử n là một

số giá trị hữu hạn, thì góc quay trở lại là chính nó, khi đó n được tăng lên và số lượng các tiệm cận khác biệt là n - m

Tất cả các tiệm cận giao nhau trên trục thực Các điểm giao nhau đó ta thu được như sau:

và trục thực được tìm thấy, tiệm cận có thể dễ dàng rút ra trong mặt phẳng phức z

2.3.1.3 Ảnh hưởng của thời gian lấy mẫu T về tính đáp ứng thoáng qua

Các đặc điểm đáp ứng quá độ của hệ thống điều khiển gián đoạn thời gian phụ thuộc vào thời gian lấy mẫu T Có thể lấy mẫu từ 8 đến 10 lần trong một chu kỳ của dao động hình sin để suy giảm độ lớn đầu ra của hệ thống khép kín

Như đã thấy từ các phân tích trước đó, cho một giá trị duy nhất của K tăng, tăng thời gian lấy mẫu T sẽ làm cho hệ thống điều khiển gián đoạn thời gian ít ổn định và cuối cùng sẽ làm cho nó không ổn định Ngược lại, làm cho thời gian lấy mẫu T ngắn hơn cho phép các giá trị quan trọng của tăng K cho sự ổn định là lớn hơn.Trong thực

tế, làm cho thời gian lấy mẫu ngắn hơn và ngắn hơn 10 làm cho hệ thống hoạt động giống như các hệ thống liên tục theo thời gian

Nếu tỷ lệ dao động của một cực vòng kín là ζ, sau đó trong mặt phẳng vị trí cực vòng kín (ở phía trên nửa mặt phẳng) có thể được đưa ra bởi:

Dùng cho hệ bất biến theo thời gian gián đoạn có một đầu vào là hình sin Các

xem xét hệ bất biến theo thời gian gián đoạn có tính ổn định thể hiện trong hình (2.2)

Các đầu vào cho hệ thống G(z) trước khi lấy mẫu là u(t) = sinωt

Hình 2.2 :Ổn định tuyến tính hệ bất biến theo thời gian gián đoạn

Các tín hiệu được lấy mẫu u(kT) là:

Nghiệm thứ hai ở phía bên tay phải của phương trình (2.19) này cách tiếp cận không

Chúng tôi đã chỉ ra rằng G(ejωT) mang lại giá trị cường độ và góc pha của đáp ứng tần

số của G(z) Do đó, để có được những đáp ứng tần số của G(z), chúng ta chỉ cần thay

xung hình sin Cần lưu ý rằng

2𝜋

khoảng thời gian bằng T

+ Chuyển đổi song phương và mặt phẳng ω Trước khi chúng ta có thể áp dụng

tốt các phương pháp đáp ứng tần số phát triển tốt của chúng ta đối với việc phân tích

và thiết kế các hệ thống điều khiển gián đoạn thời gian, cần phải sửa đổi một số sửa đổi trong phương pháp mặt phẳng z

tần số trong mặt phẳng z, sự đơn giản của lôgarít sẽ bị mất hoàn toàn Do đó, việc áp dụng trực tiếp các phương pháp phản hồi tần số là không đáng xem xét Trong thực tế,

kể từ khi chuyển đổi z mô tả các dải chính và bổ sung của nửa bên trái của mặt phẳng s vào vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z, các phương pháp phản hồi tần số truyền thống không áp dụng cho mặt phẳng z

Tuy nhiên khó khăn có thể được khắc phục bằng cách chuyển đổi chức năng chuyển giao xung trong mặt phẳng z vào trong mặt phẳng ω Sự chuyển đổi thường được gọi là chuyển đổi ω, một sự biến đổi song phương được định nghĩa bởi:

Một khi chức năng truyền xung G(z) chuyển thành G(ω) bằng phương pháp chuyển đổi ω, nó có thể được coi như là một hàm chuyển truyền thống trong ω Các kỹ thuật phản hồi tần số thông thường sau đó có thể được sử dụng trong mặt phẳng ω, và

do đó các kỹ thuật thiết kế đáp ứng tần số được thiết lập tốt có thể được áp dụng cho việc thiết kế các hệ thống điều khiển gián đoạn theo thời gian Như đã nói, ν đại diện cho tần số giả định Bằng cách thay thế ω bằng jν, các kỹ thuật đáp ứng tần số truyền thống có thể được sử dụng để vẽ giản đồ Bode cho chức năng truyền tải bằng ω Mặc dù mặt phẳng ω giống νới mặt phẳng của hình học, trục tần số trong mặt phẳng ω

bị méo Vùng tần số giả định ν và tần số thực tế ω liên quan như sau:

Phương trình (2.29) cho mối quan hệ giữa tần số thực và tần số giả định ν Lưu ý rằng

dịch thành tần số giả định ν

Để tóm tắt chuyển đổi ω, một biến đổi song phương nằm bên trong của đơn vị tròn của mặt phẳng z vào nửa trái của mặt phẳng ω Kết quả cuối cùng do sự chuyển đổi từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z và từ mặt phẳng z vào mặt phẳng ω là mặt phẳng

ω và mặt phẳng s tương tự trên vùng quan tâm trong mặt phẳng s Điều này là do một

số biến dạng gây ra bởi sự chuyển đổi từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z được bù đắp một phần bởi sự chuyển đổi từ mặt phẳng z sang mặt phẳng ω

+ Giản đồ Bode: Thiết kế bằng các giản đồ Bode đã được sử dụng rộng rãi trong việc xử lý các hệ thống điều khiển thời gian liên tục đầu ra duy nhất và đơn đầu vào Đặc biệt, nếu chức năng chuyển dạng nằm trong một dạng đơn giản thì giản đồ Bode được vẽ dễ dàng

Như đã nêu ở trên, các phương pháp phản hồi tần số truyền thống áp dụng cho chức năng truyền trong mặt phẳng ω Nhớ lại rằng giản đồ Bode bao gồm hai ô tách biệt, cường độ lôgarít |G(jν)| so νới logν và góc pha G(jν) so với logν

Ưu điểm của phương pháp tiếp cận thiết kế giản đồ Bode là phân tích và thiết

kế các hệ thống điều khiển đặc biệt hữu ích vì những lý do sau:

1 Trong giản đồ Bode, tính toán tần số thấp của đường cong cường độ biểu thị một trong các hằng số lỗi tĩnh Kp, Kν, hoặc Ka

2 Các thông số kỹ thuật của đáp ứng thoáng qua có thể được chuyển thành các đáp ứng tần số về biên giai đoạn, băng thông ν Các thông số kỹ thuật này có thể dễ dàng được xử lý trong giản đồ Bode Đặc biệt, có thể được đọc trực tiếp từ giản đồ Bode

3 Thiết kế của bộ bù kỹ thuật số (hoặc bộ điều khiển kỹ thuật số) để đáp ứng các đặc điểm kỹ thuật nhất định (về biên giai đoạn và biên lợi) có thể được thực hiện trong giản đồ Bode một cách đơn giản và dễ hiểu

Hình 2.3: Hệ thống điều khiển kỹ thuật số

G(z)

C(z) R(z)

Hệ thống điều khiển kỹ thuật số như trong hình (2.3) thủ tục thiết kế trong mặt phẳng

ω có thể được nêu như sau:

1 Trước tiên lấy G(z), z biến đổi của hệ thống trước khi giữ một Sau đó biến đổi G(z) thành một hàm truyền G(ω) thông qua phép biến đổi song phương được biểu diễn bằng công thức:

𝑇2) 𝑤

kỹ thuật số, lấy mẫu tần suất sử dụng nói chung là thấp Độ chênh lệch về tần số lấy mẫu chủ yếu là do các động thái khác nhau liên quan và những sự đánh đổi khác nhau trong hai lĩnh vực này)

2 Thay thế ω = jν thành G(ω) và vẽ sơ đồ khối cho G(jν)

3 Đọc từ giản đồ Bode các hằng số lỗi tĩnh, lề pha, và lề đạt được

4 Giả sử rằng tần số thu được của bộ điều khiển gián đoạn (hay bộ điều khiển

cầu cho một lỗi cố định tĩnh nhất định Sau đó, bằng cách sử dụng các kỹ thuật thiết kế thông thường cho các hệ thống điều khiển thời gian liên tục, hãy xác định cực và số

trong ω.] Sau đó, chức năng chuyển khép kín của hệ thống được thiết kế được cho bởi

đổi song phương được cho bởi phương trình:

6 Thực hiện chức năng truyền xung GD(z) bằng một thuật toán tính toán

Ưu điểm của phương pháp biến đổi ω là phương pháp đáp ứng tần số thông thường sử dụng giản đồ Bode có thể được sử dụng cho việc thiết kế các hệ thống điều khiển gián đoạn thời gian Khi áp dụng phương pháp này, chúng ta phải cẩn thận chọn một tần số lấy mẫu hợp lý

Chúng ta tóm tắt các sự kiện quan trọng về thiết kế trong mặt phẳng ω:

1 Độ lớn và góc pha của G(jν) là cường độ và góc pha của G(z) khi z di chuyển

Tần số giả định ν thay đổi từ 0 đến ∞, vì ν = (2/T)tan(ωT/2) Do đó, đáp ứng tần số của

điều khiển analog tương ứng νới 0 < ν <∞

2 Vì G(jν) là một hàm hợp lý của ν, về cơ bản nó giống như G(jω) Để xác định các số không xác định có thể có của phương trình đặc tính, có thể áp dụng tiêu chí ổn định Nyquist Do đó, cả đường xấp xỉ đường thẳng thông thường với đường cong cường độ trong giản đồ Bode và khái niệm lề pha và lề đạt được áp dụng cho G(jν)

3 So sánh các chức năng truyền G(ω) và G(s) Như chúng ta đã đề cập trước

đó, vì sự có mặt của các yếu tố 2/T trong chuyển đổi ω, các hằng số lỗi tĩnh tương ứng cho G(ω) và G(z) trở nên giống hệt nhau (Không có yếu tố tỷ lệ 2/T, điều này sẽ không đúng.)

4 Sự chuyển đổi ω có thể tạo ra một hoặc nhiều số không nửa bên phải trong G(ω) Nếu tồn tại một hoặc nhiều số không nửa bên phải, thì G(ω) là một hàm truyền pha không nhỏ nhất Bởi vì số không ở nửa mặt phẳng được tạo ra bởi hoạt động lấy

và giữ mẫu, các vị trí của các số không này phụ thuộc vào khoảng thời gian lấy mẫu T Ảnh hưởng của các số không trong nửa mặt phẳng phải đối với phản hồi trở nên nhỏ hơn khi giai đoạn lấy mẫu T trở nên nhỏ hơn

nghĩa là một nửa tần số cao nhất được xem xét nằm trong dải tần số quan tâm Do đó,

số không tại ω = 2/T nằm ở nửa bên phải của mặt phẳng ω sẽ ảnh hưởng nghiêm trọng đến đáp ứng