Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của nó với trục tung.a. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøn soá (1), bieát tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm M[r]
Trang 1BÀI 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
***
I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ.
1 Tập xác định
2 Sự biến thiên
a Chiếu biến thiên:
Tính y’
Tìm các nghiệm của phương trình y’=0 và các điểm tại đó y’ không xác định
Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số
b Tìm cực trị
c Tìm các giới hạn vô cực; các giới hạn tại +, - và tại các điểm mà hàm số không xác định Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang (nếu có)
d Lập bảng biến thiên
3 Đồ thị:
+ Tính thêm toạ độ một số điểm đặc biệt (giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ)
dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị
II KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC
1 Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0)
y’= 0 có 2
nghiệm
phân biệt
y’ = 0 có
nghiệm kép
y’ = 0 vô
nghiệm
Trang 22 Dạng của đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)
y’= 0 có 3
nghiệm
phân biệt
y’ = 0 có 1
nghiệm
3 Dạng của đồ thị hàm số y cx ax d b
(c 0 ,ad bc 0 )
ad – bc > 0
ad – bc < 0
III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG :
1 Giao điểm của hai đồ thị :
Các đồ thị của hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2) cắt nhau tại điểm M0(x0;y0) khi và chỉ khi y0=f(x0) và y0=g(x0)
Tức là (x0;y0) là nghiệm của hệ phương trình ( )
( )
y g x
Như vậy hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (1)
Trang 3Phương trình (1) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C1) và (C2)
2 Điều kiện để 2 đường tiếp xúc nhau :
Hai đường cong (C1) và (C2) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi ( ) ( )
'( ) '( )
(2) có nghiệm Nghiệm của hệ phương trình (2) là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó
IV Dùng phép chuyển hệ trục để chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng – trục đối xứng :
Phương pháp :
1 Để chứng minh I(x0;y0) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) (C) :
+ Dùng phép chuyển trục từ Oxy sang IXY bằng công thức : 0
0
y Y y
+ Biến đổi phương trình của (C) : y = f(x) (trong Oxy) trở thành phương trình Y=F(X) (trong IXY)
+ Chứng minh : Y=F(X) là hàm số lẻ
2 Để chứng minh đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) (C): + Dùng công thức chuyển hệ trục từ Oxy sang IXY : x X x0
y Y
(với I(x0;0)) + Biến đổi phương trình của (C) : y = f(x) (trong Oxy) trở thành phương trình Y=F(X) (trong IXY)
+ Chứng minh : Y=F(X) là hàm số chẵn
Chú ý :
+ Nếu f(x) là hàm số lẻ thì đồ thị của nó nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng
+ Nếu f(x) là hàm số chẵn thì đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng
V CÁC DẠNG BÀI TẬP :
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a y= x3 – 3x2 - 9x + 11 b y = -x3 – 3 x2 + 4
c y = x3 – 3x2 +3x – 7 d y = -x3 + 3x2 – 4x + 3
e y = x3– 3x – 2 f y = 2x3 +3x2 – 36x – 10
g y = (1- x)(x+2)2 h y = x3 + 3x2 + 3x +5
i y =
3
2 3
2 3
x x
x
2 6
2 3
x x x y
k y = - x3 + 3x2 – 5x +2 l y = x3 + 4x2 + 4x
2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a y = -x4 + 8x2 – 1 b y = x4 – 2x2 + 2
c y= 21 4 2 23
x
e y = - x4 + 2x2 f y = x4 + 4x2 – 5
g y = - x4 – 2x2 + 3 h y =
2
3 2
2 4
x x
3
10 2
4
x
3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a 12
x
x
x
x
x x y
Trang 4d 2 11
x
x
x
x
x y
g
2
4
3
x
x
1 2
2
x
x
1
1 1
x
x y
2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm M 0(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số:
Phương pháp chung:
+ Xác định:- hoành độ tiếp điểm x0
- tung độ tiếp điểm y0
- Hệ số góc: k = f/ (x0)
+ Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y=f / (x 0 )(x – x 0 ) +y 0
Các dạng thường gặp :
1) Biết hoành độ tiếp điểm x0 =>y0=f(x0) và f’(x0)
2)Biết tung độ tiếp điểm y0, giải pt f(x0)=y0 tìm được x0 => Hệ số góc: f/ (x0)
3) Biết hệ số góc f/ (x0); giải pt f/ (x0)=0 tìm x0 => y0
4) Tiếp tuyến song song y =ax + b
=>Hệ số góc f/ (x0)=a giải pt tìm x0; y0
5) Tiếp tuyến vuông góc y =ax + b
=>Hệ số góc f/ (x0)= 1
a
, giải pt tìm x0; y0 6) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b một góc cho trước => Hệ số góc k = f / (x 0 )
=> 1k a tg
D
ạ ng 2: Ti ế p tuy ế n qua đ i ể m M 0(x0;y0) ( khơng thuộc đths)
+ Lập pt đường thẳng d qua M0(x0;y0) có hệ số góc k=f/(x0)
y=f/(x0)(x – x0) +y0
+ d tiếp tuyến (C): y= f(x)
<=>hệ phương trình sau cĩ nghiệm
/
/ 0
( ) (2)
+ Thế (2) vào (1) pt tìm được x suy ra hệ số góc k =>PTTT
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số y= 1
1
x x
(C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của nĩ với trục tung (ĐS: y= -2x-1)
Bài 2: Cho hàm số y= -x3+3x2+9x+2
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm cĩ hồnh độ x0, biết rằng
f//(x0) =-6 (ĐS: y= 9x+6)
Bài 3: Cho hàm số y=1 4 2 3
3
2x x 2 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
Trang 52 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f//(x) =0 (ĐS: y= 4x+6 và y=-4x+3)
Bài 4: Cho hàm số y=1 3 1 2
3x 2x x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f//(x) =0
4 x 24
Bài 5: Cho hàm số y= x3-3x+1 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f//(x) =0 (ĐS: y= -3x+1)
Bài 6: Cho hàm số y= x3-3x+1 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) qua điểm A 2; 1
3
(ĐS: y= -3x+1 và y=-1)
Bài 7: Cho hàm số y= x3-3x2 +4
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 (ĐS: y= -3x+5)
Bài 8: Cho hàm số y= 1
3x3-x2 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) qua điểm A (3;0)
(ĐS: y= 3x-9 và y=0)
Bài 7: Cho hàm số y= 2 1
1
x x
(C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến qua điểm A (-1;3) (ĐS: y= 1 13
4x 4 ) Bài 8: Cho hàm số y= x3- 6x2 + 9x (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f//(x) =0 (ĐS: y= -3x+8)
Bài 9: Cho hàm số y= 1 2
x
x
(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), tại điểm A (0;3) (ĐS: y= 5x+3)
Bài 10: Cho hàm số y= -x3-+3x2 -2 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f//(x) =0 (ĐS: y= 3x-3)
Bài 11: Cho hàm số y= 3 4
x x
(C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm A (1;-7)
(ĐS: y= 1 13
4x 4 ) Bài 12: Cho hàm số y= x3- 3x+2 (C)
Trang 61 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm A (2;4)
(ĐS: y= 9x- 14)
Bài 13: Cho hàm số y= x4-2x2
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm cĩ hồnh độ bằng -2 (ĐS: y= -24x-40)
Bài 14: Cho hàm số y= x3-3x2 +1
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 3 (ĐS: y= 9x-26)
Bài 15: Cho hàm số y = 1
2
x x
(C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của (C) với trục tung (ĐS: y= 3 1
4x 2) Bài 16: Cho hàm số y= x4-2x2 +1 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm cực đại của (C) (ĐS: y= 1)
Bài 17: Cho hàm số y= x3 +3x2 -1
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y=9x+2009 (ĐS: y= 9x -6 và y=9x +26 )
Bài 18: Cho hàm số y = 2x3+3x2-5
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A(1; -4)
Bài 19: Cho hàm số y = 4x3-6x2+1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàn số (1), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9) (ĐS: y=24x+15 và y=15 21
4 x 4 ) Bài 21: Cho hàm số y = 13x3-12x2-2x-33 có đồ thị (C )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d; y=4x+2 (ĐS:y=4x-26
3 và y=4x+73
6 )
Bài 22: (Dự bị Khối B- 2003)
Cho hàm số y =2 1
1
x x
có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C)tại M vuông góc với đường thẳng IM
Bài 23: (Dự bị 2 Khối A- 2004)
Trang 7Cho hàm số y = x+1
x có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1;7)
Bài 24: (Dự bị Khối D- 2004)
Cho hàm số y = 2 4
1
x
(1) có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
x-3y+3=0
Bài 25: (Dự bị 1 Khối D- 2008)
Cho hàm số y = 1
x x
(C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox
Bài 26: (Dự bị 2 Khối D- 2008)
Cho hàm số y = x x13
(C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b) Cho điểm M0(x0;y0) thuộc (C) Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B Chứng minh M0 là truntg điểm của đoạn AB
Bài 27: (Dự bị1 Khối B- 2007)
Cho hàm số y = –2x3 + 6x2 – 5
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(–1, –13)
Bài 28: (Dự bị 2 Khối B- 2007)
Cho hàm số y x 1 2mx
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
2 Tìm m để đồ thị (Cm) cĩ cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với (Cm) tại A cắt trục oy tại B mà OBA vuơng cân
Bài 29: (Dự bị Khối D - 2007)
Cho hàm số y xx1
(C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân
Bài 30: (Cao đẳng khối A-B-D 2007)
Cho hàm số y = x3 -3x2 +2 (C)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : -x-9y+18=0