Nếu ABCD không phải là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn thì không tồn tại điểm M... Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một điểm có tọa độ nguyên.[r]
Trang 1KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4
LẦN THỨ XIII TẠI THÀNH PHỐ HUẾ
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài: 180 phút
Chú ý: Mỗi câu hỏi thí sinh làm trên 01 tờ giấy riêng biệt
=+++
y x y x
y x
xy y
x
2
2 2
168
3sin2
MC
MB+ + =4 ; MC +MD+MA=4MQ;
MR MB
Trang 2= + + +
) 2 ( y
x y x
) 1 ( 16 y x
xy 8 y x
2
2 2
Trang 3Đáp án Toán 10
Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện ax − by= 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F =a2 +b2 +x2 +y2 +bx+ay
2 2
4
3 2
a y
b x
y
b x
b a
; A d MA
3
2 2 2
2 2
+
≥ + +
+
b a b
a b
6 0
2; ; ; y
; x
; b
;
1
Trang 4Đáp án Toán 10
Cho tam giác ABC có các góc A, B thỏa điều kiện :
B A
3 A + B ) cos(
4
) (
3 A − B )
1≥ sin(
4
) (
4 ) (
3A + B )cos(
4 ) (
3A − B ) >0 Hay cos(
3A + B )≤1, ta có sin(
4 ) (
3A + B )cos(
4 ) (
3A − B )≤cos(
4 ) (
3 A − B )
Do đó: 2 sin(
4 ) (
3A + B )cos(
4 ) (
3 A − B ) ≤ 2cos(
4 ) (
−
=
−
1 ) 4
) ( 3 sin(
4
3 2
B A
B A B A
3
π
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
1
Trang 5Đáp án Toán 10
Cho tứ giác lồi ABCD Xét M là điểm tùy ý Gọi P, Q, R, S là các
điểm sao cho
MP MD
MC
MR MB
MA
Tìm vị trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD
Giả sử có điểm M thỏa bài toán Gọi G là điểm sao cho
MD MC MB MA
Nếu ABCD là tứ giác nội tiếp được trong đường tròn tâm O thì G
Trang 6Đáp án Toán 10
Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những
điểm có tọa độ nguyên
Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một
điểm có tọa độ nguyên
Coi đỉnh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5
(xi; yi) có thể rơi vào những trường hợp sau:
(2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) với k, k’ ∈ Z
1,5
Do đa giác có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất 2 đỉnh
có tọa độ thuộc một trong bốn kiểu trên
1,5
Câu 5:
Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh ấy sẽ có tọa độ nguyên
Do ngũ giác là lồi nên điểm này ở miền trong hoặc trên cạnh của
ngũ giác đó
1
Trang 7KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4
LẦN THỨ XIII TẠI THÀNH PHỐ HUẾ
ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Chú ý: Mỗi câu hỏi thí sinh làm trên 01 tờ giấy riêng biệt
=+++
+
=
−
1)2yx(log2)6y2x(log3
1y
1xe
2 3
2
2 x
y2 2
Câu 2 (4 điểm)
Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng d và số đo của nhị diện [B,SC,D]
Câu 3 (4 điểm)
a Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k :
++
k 3
2
3 2
2 1
k
k 2
k
1k
a3
4a2
3a2)1k(k
1a
a.a
=
∞
→ a alim
n
1 i i
n 2 1 3
3 2 1 2
Trang 8ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 11 NỘI DUNG ĐIỂM
u u
x x
+ =
+ =
Trang 9N Ộ I DUNG Đ I Ể M Cho hình chĩp đề u S.ABCD cĩ c ạ nh đ áy b ằ ng d và s ố đ o c ủ a nh ị di ệ n
[B,SC,D] b ằ ng 1500 Tính th ể tích c ủ a hình chĩp đều S.ABCD theo d.
Ta cĩ: BD ⊥SC D ựng mặt phẳng qua BD vuông góc với SC tại P
2 2
2 2
BP2
BD1
BP2
BDBP
)dh4(d
2 2
2 2 2
d2
VS.ABCD =
6
ddtABCD
h3
=
3
33
Trang 10N Ộ I DUNG ĐIỂM
Cho dãy s ố d ươ ng (a n )
a Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i m ọ i s ố nguyên d ươ ng k:
+ +
1 k
k 3
2
3 2 2 1 k
k 2
k
1 k
a 3
4 a 2
3 a 2 ) 1 k ( k
1 a
a a
=
∞
→ a alim
n
1 i i
n 2 1 3
3 2 1 2
1 1 1 n
1 n
1
3
1 2
1 2
1 1 ) 1 n ( n
1
3 2
1 2 1
− + +
− +
−
= + + + +
Trang 11thì h(x + 4 π ) = h(x) v ớ i m ọ i s ố th ự c x 0.5
Trang 12T ừ (1) và (x,y)=1 suy ra : y2-1 chia h ế t cho x và 2(x2-1) chia h ế t cho y Do đ ó
2(x2-1).(y2-1) chia h ế t cho xy Nh ư ng: 2(x2-1)(y2-1) = 2[x2y2-2xy-((x-y)2-1)]
nên c ũ ng có: 2((x-y)2-1) chia h ế t cho xy (2)
0.5
Chú ý: v ớ i x >1 thì t ừ (1) ta có x3 < y3 < 2x3
Th ậ t v ậ y : (1) ⇔ (y-x)(y2+xy+y2-1) = x3-x
V ớ i x>1 ta có x3-x>0.Lúc này y>0 và y2+xy+y2-1>0,nên y>x
Ngoài ra: (x2-1)(2x3-y3) = x2[2(x3-x)] – (x2-1)y3 = x2(y3-y)-(x2-1)y3