Nếu lấy được những vé có ghi số không chia hết cho 5 thì phải trả một số tiền tương ứng với số ghi trên tấm vé nhân với 1000 đồng.. 0,25[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
(Đề thi có 02 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 09 tháng 02 năm 2018
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số 1 3 1 2 2
tham số thực) Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị x x sao cho 1, 2
1, 2
x x lần lượt là độ dài hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật có đường chéo nhỏ nhất
Câu 2 (3,0 điểm) Tìm các điểm M thuộc đồ thị hàm số 2 1
1
x y
x để tiếp tuyến của đồ
thị tại M cắt hai trục tọa độ tại hai điểm , A B sao cho diện tích của tam giác OAB bằng 2,
với O là gốc tọa độ
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Công ty kinh doanh địa ốc X có 4 nhân viên Phòng Marketing, 5 nhân viên Phòng Tài vụ và 6 nhân viên Phòng Kinh doanh hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ năm 2017 Lãnh đạo Công ty chọn ngẫu nhiên 4 người trong những nhân viên trên để sang Trung Quốc xem Đội tuyển U23 Việt Nam thi đấu trận chung kết giải Bóng đá U23 Châu Á Tính xác suất để trong những người được chọn có đủ nhân viên của cả 3 phòng
b) Giải phương trình log (2x x 1)2 log log (2x 2 x2 x) 2 0
Câu 4 (2,0 điểm) Trong một cuộc thi, vận động viên xuất phát từ điểm A trên biển, chèo
thuyền đến một điểm M bất kỳ trên bờ biển sau đó chạy bộ về đích đặt tại điểm C Biết rằng
điểm xuất phát cách bờ một khoảng AB 5 km; BC 9 km (như hình vẽ); vận tốc chèo thuyền và chạy bộ của vận động viên lần lượt là 6 km/h và 10 km/h Hỏi vận động viên đó
phải chọn điểm M cách điểm đích C một khoảng bao nhiêu km sao cho tổng thời gian thi
đấu nhỏ nhất?
Câu 5 (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng
o , D 60 ,
a BA SA SB a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD biết , 6
3
a SG
a) Tính thể tích của khối chóp S ABCD
b) Gọi E là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2
3
a
SE Chứng minh GE vuông góc
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Câu 6 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó trực tâm H(3; 0) và
trung điểm của BC là (6;1) I Đường thẳng AH có phương trình là x 2y 3 0 Gọi ,
D E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng DE có phương trình x 2 0 và điểm D có tung độ dương
Câu 7 (2,0 điểm) Tại một Hội chợ triển lãm quốc tế, Ban tổ chức sắp xếp cho khách tham
quan xem một buổi biểu diễn văn nghệ bằng hình thức bán vé khuyến mãi Ban tổ chức có
100 tấm vé được ghi số liên tiếp từ 1 đến 100 Người mua vé lấy vé ngẫu nhiên từ thùng đựng vé Nếu lấy được những tấm vé có ghi số chia hết cho 5 thì được miễn phí tiền mua
vé Nếu lấy được những vé có ghi số không chia hết cho 5 thì phải trả một số tiền tương ứng với số ghi trên tấm vé nhân với 1000 đồng Hỏi nếu bán hết 100 vé thì Ban tổ chức sẽ thu được tổng số tiền bán vé là bao nhiêu?
Câu 8 (1,0 điểm) Xét các số thực a b c thay đổi thuộc đoạn , , 1;2 và thỏa mãn
4
a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4 4 5 2 6 1
-HẾT -
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ ký của CBCT 1 Chữ ký của CBCT 2
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 09 tháng 02 năm 2018
MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
(3,0
điểm)
thực) Tìm các tất cả giá trị của m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị x x1, 2 sao cho x x1, 2
lần lượt là độ dài hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật có đường chéo nhỏ nhất
3,0 điểm
TXĐ: D
2 ( 4) 2 2 5 3
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt
2 2
2 3
m m
0,25
Theo giả thiết x x1, 2 lần lượt là độ dài hai cạnh liên tiếp của một hình chữ nhật
3
m
m m
0,25
Đường chéo của hình chữ nhật là p x12 x22 5m2 2m 10 0,5
2
5
7 min
5
5
So với điều kiện, 1
5
Câu 2
(3,0
điểm)
Tìm các điểm M thuộc đồ thị hàm số 2 1
1
x y
x để tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt hai
trục tọa độ tại hai điểm A B, sao cho diện tích của tam giác OAB bằng 2, với O là gốc
tọa độ
3,0 điểm
1
m
1
y
CHÍNH THỨC
Trang 4Phương trình tiếp tuyến tại M là 1 2 2 1
( )
1 1
m
m
2
2
2
( 1)
Ta thấy 2m2 2m 1 0, m nên A khác B
Khi đó
OAB
S
0,25
2
2 2
;
Vậy các điểm cần tìm là 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 3
(4,0
điểm)
a) Công ty kinh doanh địa ốc X có 4 nhân viên Phòng Marketing, 5 nhân viên Phòng Tài vụ
và 6 nhân viên Phòng Kinh doanh hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ năm 2017 Lãnh đạo Công
ty chọn ngẫu nhiên 4 người trong những nhân viên trên để sang Trung Quốc xem Đội tuyển
U23 Việt Nam thi đấu trận chung kết giải Bóng đá U23 Châu Á Tính xác suất để trong
những người được chọn có đủ nhân viên của cả 3 phòng
2,0 điểm
Công ty có 15 nhân viên hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ năm 2017 0,25 Chọn ngẫu nhiên 4 nhân viên có C154 cách chọn hay n( ) C154 1365 0,5
Gọi A là biến cố trong những người được chọn có đủ nhân viên của cả 3 phòng Khi đó ta
có:
* Trường hợp 1: 2 Marketing, 1 Tài vụ, 1 Kinh doanh
Có C C C42 .51 61 180 cách chọn
0,25
* Trường hợp 2: 1 Marketing, 2 Tài vụ, 1 Kinh doanh
* Trường hợp 3: 1 Marketing, 1 Tài vụ, 2 Kinh doanh
Suy ra n A( ) C C C42 .51 61 C C C41 .52 61 C C C41 .51 62 720 0,25 Vậy xác suất cần tính
2 1 1 1 2 1 1 1 2
4 5 6 4 5 6 4 5 6
4 15
( )
n A
p A
0,25
b) Giải phương trình log (2x x 1)2 log log (2x 2 x2 x) 2 0 (*) 2,0
điểm
ĐK: 2 0
1
0
x
x
Trang 52 2
2
2 log ( ) log log log ( ) 2 0
x
0,25
2
2 2 2
2 2
2 2
1; 2 1
4
Câu
4
(2,0
điểm)
2,0 điểm
Đặt x BM (0 x 9), ta có:
Thời gian khi chèo thuyền là
2 1
25 6
x
Thời gian khi chạy bộ là 1 9
10
x
Tổng thời gian thi đấu của vận động viên là
2 25 9 ( )
f x
2
1 ( )
10
x
f x
x
0,5
( ) 0 16 9.25
4
BBT:
0,25
Ta thấy ( )f x nhỏ nhất khi 15
3, 75 4
Trang 6Câu 5
(3,0
điểm)
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a BA, D 60 ,o
SA SB a Gọi G là trọng tâm của tam giác 6
3
a ABD SG
3,0 điểm
điểm
0,25
Tam giácABD có AB AD a BA, D 60o nên đều
0,25
Xét tam giác SGA có SG2 GA2 a2 SA2 nên tam giác SGA vuông tại G
Mặt khác
2 3 4
ABD
a
Suy ra
.
S ABCD
b) Gọi E là điểm thuộc cạnh SD sao cho 2
3
a
SE Chứng minh GE vuông góc với mặt phẳng (SCD) và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
1,5 điểm
Xét hai tam giác vuông SGA và SGD có cạnh SG chung và GA GD nên chúng bằng
Trong tam giác vuông SGD, có E thuộc cạnh SD và
2
2 2
3
a
Suy ra GE SD (1)
0,25
Mặt khác AB/ /CD
0,25
Từ (1) và (2) suy ra GE (SCD)
GS GD
G
C
D
B
A
O S
E
Trang 72 2
d A SCD
Câu 6
(2,0
điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABCcó trực tâm H(3; 0)và trung điểm của
BC là (6;1) I Đường thẳng AH có phương trình là x 2y 3 0 Gọi ,D E lần lượt
là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC biết đường thẳng DE có phương trình là x 2 0 và điểm D có tung độ dương
2,0 điểm
0,25
Gọi K là trung điểm của AH Khi đó K, I lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp AEHD và
Đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với DE nên có phương trình là y 1 0
K AH KInên tọa độ của K là nghiệm của hệ phương trình
1;1
y
K
0,25
Do D thuộc đường thẳng DE nên gọi D2;d
1 ( )
Đường thẳng AC đi qua A và D nên có phương trình là x3y 7 0
Đường thẳng BC đi qua I và vuông góc với AH nên có phương trình là
2x y 11 0
0,25
C AC BC Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình
8;5
C
0,25
Vì I là trung điểm của BC nên suy ra B 4; 3 0,25 Tại một Hội chợ triển lãm quốc tế, Ban tổ chức sắp xếp cho khách tham quan xem một buổi
biểu diễn văn nghệ bằng hình thức bán vé khuyến mãi Ban tổ chức có 100 tấm vé được ghi
số liên tiếp từ 1 đến 100 Người mua vé lấy vé ngẫu nhiên từ thùng đựng vé Nếu lấy được
những tấm vé có ghi số chia hết cho 5 thì được miễn phí tiền mua vé Nếu lấy được những vé
có ghi số không chia hết cho 5 thì phải trả một số tiền tương ứng với số ghi trên tấm vé nhân
với 1000 đồng Hỏi nếu bán hết 100 vé thì Ban tổ chức sẽ thu được tổng số tiền bán vé là bao
nhiêu?
2,0 điểm
Đặt u u u1, , , ,2 3 u100 lần lượt là số tiền tương ứng với tấm vé có số 1, 2, …, 100 Đây là
một cấp số cộng có 100 số hạng với số hạng đầu bằng 1, số hạng cuối bằng 100, công sai 0,5
I
E H A
Ta có
Suy ra AEHD, BEDC nội tiếp
Trang 8Câu 7
(2,0
điểm)
100
100(1 100)
5050 2
S
0,25 Tổng số tiền bán hết 100 vé, chưa kể 20 vé miễn phí là 5 050 000 đồng 0,25
Các tấm vé có ghi số chia hết cho 5 tương ứng với u u u5, 10, 15, ,u100 Đây là một cấp số
cộng có 20 số hạng với số hạng đầu bằng 5, số hạng cuối bằng 100 và công sai d 5 0,25
20
20(5 100)
1050 2
Tổng số tiền bán hết 20 vé miễn phí đã tính vào 100 vé là 1050 000 đồng 0,25 Vậy tổng số tiền bán vé thực tế là (5050 1050) 1000 4 000 000 đồng 0,25
Câu 8
(1,0
điểm)
Xét các số thực , ,a b c thay đổi thuộc đoạn 1;2 và thỏa mãn a b c 4 Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức
4 4 5 2 6 1
1,0 điểm
Vì a b c, , 1;2 nên ta có a4 4 5 ,a 2 b4 4 5 b 2
a b c ab bc ca (1)
* (a 2)(b 2)(c 2) 0
abc ab bc ca (2)
Từ (1) và (2) suy ra a4 b4 5c2 6abc 1 25 2(ab bc ca (4) )
0,25
Mặt khác, ta có (a 1)(b 1)(c 1) 0
abc ab bc ca (5)
Từ (2) và (5) suy ra
5
Từ (4) và (5) ta suy ra
0,25
Đặt t ab bc ca, ta có
2
16 5;
3
t
Ta có 25
5 ( )
25
t
16 5;
3
t
f t
t
16 5;
3
t
0,25
Trang 9Suy ra ( )f t nghịch biến suy ra P f t( ) f(5) 5.
Vậy maxP 5 khi a b 1, c 2 hoặc a c 1,b 2 hoặc a 2,b c 1 0,25
Các cách giải đúng khác đều đạt điểm tối đa