Nghiên cứu xây dựng mô hình ứng xử của kết cấu chịu tải trọng ngẫu nhiên dựa vào phương pháp kriging metamodels

Luận văn này giới thiệu phương pháp ứng dụng một mô hình xác suất dựa trên lý thuyết Kriging để mô phỏng ứng xử của kết cấu khi những yếu tố tác động lên kết cấu là ngẫu nhiên Kriging Metamodels cho phép tích hợp các thông số đầu vào của mô hình số với các tham số ngẫu nhiên và kết quả mô phỏng ứng xử từ phần mềm phần tử hữu hạn thông qua các biến Luận văn đã nêu được lý thuyết tính toán kiểm chứng với phương pháp Monte Carlo và phần tử hữu hạn Sau đó ứng dụng vào bài toán cụ thể nhằm phân tích được kết quả của bài toán khi các thông số đầu vào là ngẫu nhiên đánh giá được mức độ ảnh hưởng của các thông số Nghiên cứu này góp phần quan trọng trong việc giải bài toán phân tích độ tin cậy tiết kiệm được thời gian tính toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN DUY MỸ

NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG MÔ HÌNH ỨNG XỬ CỦA

KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN DỰA VÀO

PHƯƠNG PHÁP KRIGING METAMODELS

LUẬN VĂN THẠC SĨ

KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Đà Nẵng, Năm 2019

TRƯỜG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN DUY MỸ

NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG MÔ HÌNH ỨNG XỬ CỦA

KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN DỰA VÀO

PHƯƠNG PHÁP KRIGING METAMODELS

Chuyên ngành : Kỹ thuật xây dựng công trình CN và XD

Mã ngành : 85.80.201

LUẬN VĂN THẠC SĨ

KỸ THUẬT XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐẶNG CÔNG THUẬT

Đà Nẵng, Năm 2019

LỜI CẢM ƠN

Qua quá trình nỗ lực phấn đấu học tập và nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo Trường Đại học Bách Khoa Đà Nẵng và các bạn

bè đồng nghiệp, luận văn thạc sĩ ứng dụng “Nghiên cứu xây dựng mô hình ứng xử

của kết cấu chịu tải trọng ngẫu nhiên dựa vào phương pháp Kriging Metamodels”

đã được tác giả hoàn thành

Để có được thành quả này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS

Đặng Công Thuật đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo trong quá trình thực hiện luận văn

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể các Thầy, cô giáo của khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Bách Khoa, gia đình, bạn bè đã động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn này Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian, kiến thức khoa học và kinh nghiệm thực tế của bản thân tác giả còn ít nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp và trao đổi chân thành giúp tác giả hoàn thiện hơn đề tài của luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 01 tháng 10 năm 2019

Học viên thực hiện

Nguyễn Duy Mỹ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Duy Mỹ

NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG MÔ HÌNH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP KRIGING

METAMODELS

Học viên: NGUYỄN DUY MỸ Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng DD&CN

Mã số: 85.80.201 Khóa: K35 Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

Tóm tắt: Luận văn này giới thiệu phương pháp ứng dụng một mô hình xác suất

dựa trên lý thuyết Kriging để mô phỏng ứng xử của kết cấu khi những yếu tố tác động lên kết cấu là ngẫu nhiên Kriging Metamodels cho phép tích hợp các thông

số đầu vào của mô hình số với các tham số ngẫu nhiên và kết quả mô phỏng ứng

xử từ phần mềm phần tử hữu hạn thông qua các biến Luận văn đã nêu được lý thuyết tính toán, kiểm chứng với phương pháp Monte Carlo và phần tử hữu hạn Sau đó ứng dụng vào bài toán cụ thể, nhằm phân tích được kết quả của bài toán khi các thông số đầu vào là ngẫu nhiên, đánh giá được mức độ ảnh hưởng của các thông

số Nghiên cứu này góp phần quan trọng trong việc giải bài toán phân tích độ tin cậy, tiết kiệm được thời gian tính toán

Từ khóa: Kriging; Metamodels

RESEARCH ON CONSTRUCTION OF RESPONSE MODEL RANDOM VIBRATION STRUCTURE BASED ON KRIGING METAMODELS

METHOD Abstract – This thesis introduces the method of applying a probability model

based on Kriging theory to simulate the response of structures when the factors affecting the structure are random Kriging allows integration of numerical model input parameters with random values and response simulation results from finite element software through variables The thesis has stated the calculation theory and verified with Monte-Carlo method and finite element Then apply to two specific problems, in order to analyze the results of the problem when the input parameters are random, evaluate the influence of the parameters This study makes an important contribution to solving uncertain quantitative problems, estimating reliability, and saving calculation time

Keywords: Kriging; metamodels

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

LỜI CAM ĐOAN ii

MỤC LỤC iv

MỤC BẢNG vi

MỤC HÌNH vii

DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT ix

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Bố cục đề tài 2

6 Tổng quan tài liệu nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN 3

1.1 Tình hình nghiên cứu về bài toán dao động trong xây dựng 3

1.2 Cơ sở động lực học kết cấu và tính toán hệ đàn hồi chịu động đất 4

1.2.1 Khái niệm động lực học công trình 4

1.2.2 Bậc tự do 7

1.3 Nhận xét chương 30

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT KRIGING METAMODELS 31

2.1 Cơ sở về xác suất và biến ngẫu nhiên 31

2.1.1 Các dạng phân phối xác suất 31

2.1.2 Biến ngẫu nhiên 32

2.1.3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 32

2.2 Các mô hình ứng xử 32

2.2.2 Low-rank approximations (LRA) 33

2.2.3 Kriging (KRG) 33

2.2.4 Polynomial chaos expansions (PCE) 33

2.2.5 Polynomial chaos Kriging (PCK) 34

2.2.6 Stochastic Kriging SCR 34

2.2.7 Các khái niệm cơ bản 35

2.2.8 Các kiểu hàm dự báo hồi quy 36

2.2.9 Các hàm tương quan [26] 37

2.2.10 Phương pháp ước lượng hệ số  .39

2.2.11 Phương pháp tối ưu 40

2.2.12 Ước tính lỗi phát sinh 41

KẾT CẤU 42

3.1 Đặt vấn đề 42

3.2 Ví dụ 1: Dầm một đầu ngàm – bài toán đơn biến 43

3.2.1 Xây dựng mô hình 43

3.2.2 Lấy ngẫu nhiên giá trị biên độ lực tác động theo phân phối Gausian 44

3.2.3 Chương trình tính toán 46

3.2.4 Kiểm tra bài toán bằng phương pháp PTHH 47

3.2.5 Một cách tiếp cận khác của bài toán 49

3.2.6 Nhận xét 55

3.3 Ví dụ 2: Dầm một đầu ngàm – bài toán đa biến .56

3.3.1 Xây dựng mô hình 56

3.3.2 Chương trình tính toán 57

3.3.3 Kết quả bài toán .57

3.3.4 Xây dựng mô hình phân tích độ nhạy của các tham số 58

3.4 Ví dụ 3: Phân tích với công trình 10 Tầng 64

3.4.1 Dữ liệu ban đầu 65

3.4.2 Khảo sát với giả thiết tải trọng ngẫu nhiên 66

3.4.3 Khảo sát với giả thiết kích thước cột là BNN 72

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 79

KẾT LUẬN 79

KIẾN NGHỊ 79

HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 79

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

Phụ lục 1 - Chương trình “uq_Kriging_01_01_ViDu1.m” 1

Phụ lục 2 - Chương trình “uq_cantileverbeam_dabien.m” 3

Phụ lục 3.1 - Chương trình “uq_Kriging_01_02_HamDonBien.m” 4

Phụ lục 3.2 - Chương trình “uq_Kriging_02_01_HamDaBien.m” 6

Phụ lục 4 - Chương trình “uq_Kriging_03_02_HamDaBien_Sensitivity.m” 9

Phụ lục 5 – Chương trình “uq_Kriging_Vidu3.m” 12

Phụ lục 6 – Chương trình “uq_Kriging_10_Story” 14

MỤC BẢNG

Bảng 3.1 Các đại lượng và giá trị của dầm một đầu ngàm 44

Bảng 3.2 Kết quả chuyển vị theo phân phối Gaussian 45

Bảng 3.3 Tổng hợp kết quả chuyển vị (mm) 48

Bảng 3.4 Bảng so sánh kết quả của hai phương pháp 49

Bảng 3.5 Giá trị chuyển vị theo phương pháp LHS 49

Bảng 3.6 Độ lệch chuẩn theo phương pháp LHS 49

Bảng 3.7 Giá trị chuyển vị theo phương pháp MC 52

Bảng 3.8 Độ lệch chuẩn theo phương pháp MC 52

Bảng 3.9 Mô đun đàn hồi ban đầu của bê tông khi nén và kéo theo TCVN 5574-2018 [1] 56

Bảng 3.10 Giá trị các đại lượng và hệ số sai lệch 57

Bảng 3.11 Kết quả với bai toán đơn biến và đa biến 57

Bảng 3.12 Các thông số đầu vào 61

Bảng 3.13 Giá trị độ nhạy % của các tham số 61

Bảng 3.14 Các đại lượng khảo sát 62

Bảng 3.15 Kết quả của các tham số đầu vào 62

Bảng 3.16 Các giá trị với phương án thay đổi Cov của tải trọng 63

Bảng 3.17 Kết quả khảo sát 63

Bảng 3.18 Các thông số đầu vào của công trình 66

Bảng 3.19 Giá trị của phân phối các đại lượng ngẫu nhiên 66

Bảng 3.20 Các điểm quan sát 68

Bảng 3.21 Bộ cơ sở dữ liệu để dự đoán (Xval,Yval) 68

Bảng 3.22 Các điểm kiểm tra 71

Bảng 3.23 Các thông số đầu vào với tiết diện thay đổi 72

Bảng 3.24 Quy ước vị trí và kích thước cột 72

Bảng 3.25 Thống kê số lượng các loại cột trong mô hình 73

Bảng 3.26 Giá trị chuyển vị đỉnh công trình theo từng trường hợp 73

Bảng 3.27 Trọng số của từng loại cột theo từng trường hợp 76

Bảng 3.28 Các điểm quan sát A, B, C, D, E 77

MỤC HÌNH

Hình 1.1 Kết cấu dầm giản đơn và mô hình các khối lượng tập trung thay thế 4

Hình 1.2 Các loại tải trọng tác dụng lên hệ kết cấu 6

Hình 1.3 Dao động của con lắc đơn 7

Hình 1.4 Dao động tự do không cản 8

Hình 1.5 Dao động tự do có cản 8

Hình 1.6 Dao động của hệ một bậc tự do có xét ảnh hưởng của chuyển vị nền 9

Hình 1.7 Dao động của hệ một bậc tự do dưới tác dụng của lực cưỡng bức 10

Hình 1.8 Biểu đồ Nyquist của hàm độ dẫn cơ học M() 12

Hình 1.9 Tải trọng xung 13

Hình 1.10 Mô hình tính toán tương đương hệ một bậc tự do 18

Hình 1.11 Mô hình hệ một bậc tự do chịu tải trọng động đất 19

Hình 1.12 Chuyển động của hệ kết cấu có cản tới hạn 21

Hình 1.13 Phổ gia tốc nền và vận tốc nền thực và sau khi làm trơn 24

Hình 1.14 Phổ phản ứng băng gia tốc nền của trận động đất Imperial Valley (15/10/1979), đo tại trạm El Centro Array 25

Hình 1.15 Phổ mục tiêu MCE so với trung bình SRSS trong kết cấu cách chấn 26

Hình 1.16 Bậc tự do động của hệ kết cấu: a Hệ khi có xét đến biến dạng dọc trục của kết cấu gồm 18 bậc tự do và b Hệ khi không xét đến biến dạng dọc trục của kết cấu gồm 8 bậc tự do 27

Hình 1.17 Bậc tự do của sàn cứng trong mặt phẳng ngang 30

Hình 1.18 Mô hình tính toán hệ nhiều bậc tự do chịu tải trọng động đất 30

Hình 2.1 Các dạng phân phối 31

Hình 2.2 Phân loại các mô hình metamodels 33

Hình 3.1 Mô hình dầm một đầu ngàm 43

Hình 3.2 Mô tả thông số đầu vào bởi hàm phân phối Gaussian (N=1000) 45

Hình 3.3 Mô tả kết quả N=1000 bởi hàm phân phối Gaussian 45

Hình 3.4 Sơ đồ các bước thực hiện bài toán Kriging Metamodels 46

Hình 3.5 Mô tả kết quả bởi hàm phân phối Gaussian 47

Hình 3.6 Kết quả theo PTHH là (theo công thức (3.2)) 48

Hình 3.7 Chuyển vị theo phương pháp LHS – Xét trục Ns 50

Hình 3.8 Độ lệch chuẩn theo phương pháp LHS – Xét trục Ns 50

Hình 3.9 Chuyển vị theo phương pháp LHS - Xét trục N 51

Hình 3.10 Độ lệch chuẩn theo phương pháp LHS -Xét trục N 51

Hình 3.11 Chuyển vị theo phương pháp MC – Xét trục Ns 53

Hình 3.12 Độ lệch chuẩn theo phương pháp MC – Xét trục Ns 53

Hình 3.13 Chuyển vị theo phương pháp MC – Xét trục N 54

Hình 3.14 Độ lệch chuẩn theo phương pháp MC – Xét trục N 54

Hình 3.15 Sơ đồ phân tích độ nhạy theo phương pháp Sobol’ 61

Hình 3.16 Biểu đồ khảo sát độ nhạy của các tham số 62

Hình 3.17 Biểu đồ khảo sát độ nhạy theo 5 trường hợp 63

Hình 3.18 Biểu đồ khảo sát độ nhạy theo 5 trường hợp tải trọng 64

Hình 3.19 Xây dựng mô hình 3D 67

Hình 3.20 Các module phân tích trong Ansys 67

Hình 3.21 Biểu diễn các kết quả Yval ; YKRG 70

Hình 3.22 Kết quả dự đoán từ mô hình thực và mô hình Kriging 70

Hình 3.23 Chuyển vị lớn nhất (Mode1, t=2s), trường hợp 1 74

Hình 3.24 Chuyển vị lớn nhất (Mode1, t=2s), trường hợp 2 74

Hình 3.25 Chuyển vị lớn nhất (Mode1, t=2s), trường hợp 3 75

Hình 3.26 Chuyển vị lớn nhất (Mode1, t=2s), trường hợp 4 75

Hình 3.27 Chuyển vị lớn nhất (Mode1, t=2s), trường hợp 5 76

Hình 3.28 Mô hình Kriging cho 5 điểm A, B, C, D, E 77

Hình 3.29 Kết quả với trường hợp các cột đều là 500x500 78

DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt

MỞ ĐẦU

Trong xây dựng, mô phỏng ứng xử của kết cấu dưới tác động của những yếu tố ngẫu nhiên bằng các phương pháp số rất phức tạp Phương pháp số có thể giải quyết bài toán ứng xử của kết cấu khi những yếu tố tác động lên kết cấu là xác định Các thông số đầu vào theo lý thuyết là xác định, tuy nhiên trong thực tế, hầu như mọi thông số lại là không xác định do các yếu tố như sự sai khác trong sản xuất, điều kiện môi trường, điều kiện vận hành Chúng đều tuân theo một quy luật phân phối xác suất nào đó Trong các thông số đó, tải trọng tác dụng lên kết cấu cũng là một thông số không xác định, hay còn gọi là tải trọng ngẫu nhiên Luận văn này giới thiệu phương pháp ứng dụng một mô hình

xác suất dựa trên lý thuyết Kriging (KRG) để mô phỏng ứng xử của kết cấu khi những yếu tố tác động lên kết cấu là ngẫu nhiên KRG cho phép tích hợp các thông số đầu vào

của mô hình số với các tham số ngẫu nhiên và kết quả mô phỏng ứng xử từ phần mềm phần tử hữu hạn thông qua các biến [17]

Trong luận văn này, việc phân tích và đánh giá và ứng dụng mô hình ứng xử sẽ mang lại nhiều hiệu quả, góp phần kiểm chứng các lý thuyết tính toán, cũng như đánh giá được hiệu quả khi dùng mô hình ứng xử với các thông số đầu vào cùng với một số kết quả đầu ra đáng tin cậy để làm cơ sở cho việc dự đoán kết quả phân tích trên toàn

miền khảo sát Việc phân tích trên bằng mô hình KRG sẽ giúp giảm thiểu chi phí thí

nghiệm, dự đoán được giá trị mong muốn với một độ tin cậy nhất định, là tiền đề trong việc tiếp tục nghiên cứu với công trình thực tế Đây chính là lý do để học viên nghiên

cứu đề tài: “Nghiên cứu xây dựng mô hình ứng xử của kết cấu chịu tải trọng ngẫu nhiên dựa vào phương pháp Kriging Metamodels”

- Mục tiêu tổng quát:

 Xây dựng mô hình ứng xử của kết cấu bằng phương pháp Kriging Metamodels

 Đưa ra một số đề xuất về thay đổi các tham số trong mô hình: phương pháp chọn điểm

mô phỏng ngẫu nhiên, số lượng điểm, số vòng lặp, phương pháp ước lượng hệ số theta, phương pháp tối ưu

 Phân tích độ nhạy của kết cấu, đánh giá được vai trò của các tham số trong bài toán

- Mục tiêu cụ thể : Đưa ra mô hình ứng xử của kết cấu cụ thể dưới tác động của tải trọng ngẫu nhiên

- Đối tượng: Kết cấu công trình

- Phạm vi nghiên cứu: Mô hình tính toán kết cấu theo phương pháp Kriging Metamodels

và mô hình phần tử hữu hạn

- Phương pháp lý thuyết, phương pháp số

Chương 2 Lý thuyết Kriging Metamodels

Chương 3 Phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy của kết cấu

Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo và phụ lục tính toán

Luận văn được thực hiện dựa trên nghiên cứu, đánh giá nhiều tài liệu trong và nước Trong đó có sử dụng gói phần mềm UQLab, đây là một khung phần mềm dựa trên Matlab được thiết kế để đưa các kỹ thuật và thuật toán định lượng mức độ ngẫu nhiên Đây là một nền tảng ứng dụng mở, nó không chỉ cung cấp cho người dùng một loạt các phân tích và thuật toán tích hợp mà còn cung cấp các công cụ giúp các nhà nghiên cứu

có thể tùy biến theo từng bài toán cụ thể

UQ bắt nguồn từ năm 2013, khi Giáo sư Bruno Sudret thành lập và là chủ tịch Hội định lượng rủi ro, an toàn và không chắc chắn tại ETH Zurich Cho đến nay, UQLab cung cấp nền tảng cho nghiên cứu của các thành viên, ví dụ: metamodelling (polynomial chaos expansions, Gaussian process modelling, low-rank tensor approximations), ước lượng sự kiện hiếm gặp (độ tin cậy cấu trúc), phân tích độ nhạy tổng thể, kỹ thuật suy luận Bayes cho các vấn đề nghịch đảo, vv

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM

SỐ ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN

Một trong những nhiệm vụ quan trọng trong thiết kế kết cấu là phải đánh giá được

độ an toàn Nhiệm vụ này rất phức tạp vì có rất nhiều yếu tố có thể có ảnh hưởng đáng

kể đến khả năng làm việc của kết cấu mà khó xác định cụ thể Ví dụ, khi thiết kế nhà cao tầng, các yếu tố ảnh hưởng đến độ an toàn của kết cấu là địa chất, vật liệu, gió, và động đất, v.v Các yếu tố này có thể gây ra các đáp ứng có tính chất thay đổi bất thường, khó dự đoán, vì vậy trong giai đoạn thiết kế khó bao quát các yếu tố bất định này, thường

bị thiếu sót Nên trong quá trình làm việc khi các yếu tố bất định xuất hiệnlàm cho công trình nhanh xuống cấp, hư hỏng, thậm chí bị phá hủy đột ngột

Theo tác giả Nguyễn Lê Ninh, trong thiết kế các công trình chịu tải trọng ngẫu nhiên: ví dụ như động đất là một yếu tố có độ tin cậy rất thấp Sau một thời gian rất dài

nổ lực nghiên cứu, con người đã phải tạm thời chấp nhận thất bại trong việc dự báo động đất, đặc biệt trong các vấn đề dự báo thời điểm và độ lớn các trận động đất sẽ xảy ra [4] Chính vì không thể dự báo tác dụng của tải trọng ngẫu nhiên nên các kết quả đầu ra khi phân tích công trình cũng là yếu tố ngẫu nhiên như chu kỳ, tần số, chuyển vị đỉnh, chuyển vị giữa các tầng, lực cắt đáy

Nhiều mô hình ứng xử được đưa ra để giải quyết bài toán đó Các phương trình toán học được mô tả và giải quyết với nhiều cách tiếp cận khác nhau Việc thay thế mô hình tính toán với một loạt các đa thức trực giao trong các biến đầu vào trong đó đa thức được chọn kết hợp với phân phối xác suất của các biến đầu vào đó Hay giả thiết rằng

mô hình ứng xử hoạt động như một sự thực hiện của một quá trình ngẫu nhiên Gaussian

Ở trong nước, tác giả Nguyễn Thanh Hưng [3] có bài viết “Đánh giá khả năng chịu lực của kết cấu trong trường hợp thiếu số liệu quan sát đo đạc” bằng giải thuật mờ (fuzzy logic), bằng cách tính độ tin cậy theo phương pháp giao thoa mở rộng là bước đầu cho việc nghiên cứu các bài toán về

Ở nước ngoài, việc nghiên cứu bài toán dao động trong xây dựng đã phát triển từ rất sớm, nhiều công cụ hỗ trợ tính toán cho vấn đề này được đề ra Trong đó phải kể đến

công trình nghiên cứu về gói phần mềm hỗ trợ UQLab của Giáo sư Bruno Sudret và

cộng sự Sơ lược về biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất [8-13]

1.2 Cơ sở động lực học kết cấu và tính toán hệ đàn hồi chịu động đất

1.2.1 Khái niệm động lực học công trình

Quán tính là một thuộc tính của vật chất, có xu hướng bảo tồn trạng thái đang tồn tại, chống lại những tác động bên ngoài nhằm thay đổi trạng thái sẵn có của chúng Quán tính được đặc trưng bởi khối lượng và lực quán tính được tính bằng khối lượng nhân với gia tốc của vật thể trong chuyển động Như vậy, lực quán tính là đặc trưng cốt lõi của động lực học Nếu bỏ qua quán tính, tức là cho gia tốc bằng không, thì bài toán không còn là động lực học nữa mặc dù vẫn có chứa yếu tố thời gian

a/ Mô hình tập trung khối lượng

Mô hình được xây dựng bằng cách giả thiết một cách gần đúng sự phân bố khối lượng liên tục trong không gian của công trình được quy về tập trung tại một số điểm nào đó Khi đó công trình thực chất được thay bằng một hệ hữu hạn các chất điểm và bài toán động lực học công trình trở lên đơn giản hơn vì lực quán tính xác định tại các điểm khối lượng tập trung Lúc này bài toán động lực học công trình được mô tả bởi các

hệ phương trình vi phân thường Tuy nhiên, việc tập trung bao nhiêu khối lượng, việc quy đổi khối lượng tại từng điểm và liên kết giữa các chất điểm như thế nào để đảm bảo

độ chính xác của kết quả phân tích động lực học là vấn đề phụ thuộc vào kinh nghiệm

và sự hiểu biết của từng chuyên gia đối với từng loại công trình cụ thể Hình 1.1 giới thiệu việc mô hình hóa khối lượng tập trung một dầm giản đơn trong tính toán động lực học công trình

Hình 1.1 Kết cấu dầm giản đơn và mô hình các khối lượng tập trung thay thế

b/ Mô hình tọa độ suy rộng

Mô hình này được xây dựng dựa trên một tập hợp vô hạn đếm được các tham số phụ thuộc thời gian Cơ sở toán học của việc mô hình hóa này là sự tồn tại triển khai

m n

m 1 m i

trường chuyển vị của hệ dưới dạng tổng chuỗi vô hạn các hàm trực giao nx,y,z đã biết thỏa mãn các điều kiện biên hình học:

z y x u

1

, , ,

,

Khi đó b m (t) ứng với mỗi dạng chuyển vị cho trước nx,y,z được xem là các tọa

độ suy rộng của công trình Tuy nhiên, việc tính toán với tập vô hạn tham số là không thể tiến hành được Nên người ta phải ngắt đuôi, giữ lại một số hữu hạn các tọa độ suy rộng Và khi đó lời giải bài toán chỉ gần đúng Độ chính xác của phương pháp tọa độ suy rộng sẽ tăng lên nếu ta lấy nhiều số hạng của chuỗi xấp xỉ, khi đó khối lượng tính toán cũng tăng lên đáng kể

Sau khi tìm được các véc tơ chuyển vị nút, các đặc trưng và trạng thái ứng suất, biến dạng của công trình tại bất kỳ điểm nào trên công trình đều có thể xác định được Trong các phần mềm sử dụng để phân tích kết cấu thì ANSYS có khả năng phân tích các bài toán cơ học Có nhiều mô đun tính toán với công dụng khác nhau như: – Tính toán cấu trúc tĩnh (Structural Static Analysis)

– Tính toán dạng dao động (Modal Analysis)

– Tính toán đáp ứng điều hòa (Harmonic Response Analysis)

– Tính toán động lực học quá độ (Transient Dynamic Analysis)

– Phân tích phổ (Spectrum Analysis)

– Tính toán bất ổn định (Buckling Analysis)

– Tính toán cấu trúc phi tuyến (Nonlinear Structural Analysis)

Trong luận văn này, tác giả sử dụng phần mềm Ansys để thực hiện đề tài

1.2.1.3 Các dạng tải trọng tác động lên công trình

Trong quá trình sử dụng, các công trình chịu nhiều loại tải trọng khác nhau Tải trọng tĩnh là dạng tải trọng bản thân, trọng lượng của vật thể đã có sẵn trên công trình hoặc tải trọng được đặt lên hệ một cách từ từ trong khoảng thời gian dài nhưng gây ra gia tốc biến dạng bé có thể bỏ qua lực quán tính Tải trọng động là dạng tải trọng phụ thuộc thời gian và gây nên gia tốc không thể bỏ qua

Thực tế, hầu hết các tác động lên công trình là tải trọng động và mang tính ngẫu nhiên Tuy nhiên, cũng có những tác động có thể mô tả bằng các hàm tiền định như tải trọng tuần hoàn (Hình 1.2a) Tải trọng xung tức thời hay tải trọng dạng bất kỳ theo thời gian gây ra gia tốc biến dạng lớn (Hình 1.2b)

Tải trọng tuần hoàn là tải trọng lặp lại trong một khoảng thời gian nhất định như tải trọng phát sinh khi đặt mô tơ có độ lệch tâm lên công trình, tải trọng sóng Sử dụng khai triển chuỗi Fourier, việc tính toán công trình chịu tải trọng tuần hoàn bất kỳ dẫn về việc tính công trình chịu tải trọng điều hòa đơn giản dạng sin, cos

Tải trọng xung tức thời như: tải trọng nổ mìn, đóng cọc bằng búa, do va chạm, động đất xảy ra trong khoảng thời gian ngắn gây ra sự thay đổi vận tốc biến dạng tại các điểm vật chất của công trình

Hình 1.2 Các loại tải trọng tác dụng lên hệ kết cấu

1.2.2 Bậc tự do

a/ Khái niệm

Ta nghiên cứu chuyển động của một con lắc toán học đơn giản như trong Hình 1.3

Chất điểm có khối lượng m tập trung tại đầu dây không trọng lượng có chiều dài L được

cố định đầu kia của dây tại điểm A Vị trí của chất điểm trong mặt phẳng được xác định

bằng 2 tọa độ x và y Nhưng vì một đầu dây cố định và khoảng cách từ chất điểm đến A

không đổi nên hệ chỉ có 1 bậc tự do, đó là góc giữa đoạn dây tạo với phương thẳng đứng,

ký hiệu là φ

Chọn tọa độ như trong hình vẽ ta có: x = Lsinφ, y = L(1 – cosφ)

Hình 1.3 Dao động của con lắc đơn Khi đó động năng và thế năng của vật bằng:

2

1 2

Trong đó: g là gia tốc trọng trường Đây là phương trình vi phân bậc 2 tuyến tính,

sau khi khai triển Taylor hàm sin có dạng:

2 0 2

T ) và pha ban đầu θ, xem Hình 1.4

Trong trường hợp dao động tự do không cản của hệ một bậc tự do, biên độ và pha ban đầu được xác định bằng điều kiện đầu:  0 0, 0 0, tức:

0

2 0 2

Hình 1.4 Dao động tự do không cản Khi có kể đến lực cản nhớt tỷ lệ với vận tốc, dao động tự do của hệ một bậc tự do

có cản được mô tả bằng phương trình:

z z

Với ξ là một số dương và được gọi là hệ số tắt dần dao động, đặc trưng cho lực cản

nhớt, D là tần số dao động của hệ có cản, xem Hình 1.5

Hình 1.5 Dao động tự do có cản

Trong khuôn khổ dao động chúng ta chỉ xét hệ số tắt dần nhỏ hơn 1 (0 <ξ <1) Biên

độ a và pha ban đầu θ của hệ có cản được xác định bằng điều kiện ban đầu

0 2

2 0 0 0 2

z z

z tg c r a z

z z

4 1

b/ Dao động cưỡng bức-các đặc trưng tần số

Xét hệ cơ học như mô tả trong Hình 1.6 Giả sử nền đất bị dịch chuyển với gia tốc

 t

v

 và chuyển dịch tuyệt đối của vật là z(t) Chọn gốc tọa độ tương ứng với điểm cân

bằng tĩnh của lò xo, khi đó động năng và thế năng của hệ bằng:

 2 2

2

1

; 2

1

v z k V z m

Hình 1.6 Dao động của hệ một bậc tự do có xét ảnh hưởng của chuyển vị nền

Dựa vào tọa độ suy rộng x = z – v là chuyển vị tương đối của vật thể so với nền, ta

được phương trình:

 t v m x k x x

Như vậy, dao động của hệ một bậc tự do có nền bị dịch chuyển với gia tốc v t là một trường hợp riêng của bài toán dao động hệ một bậc tự do chịu tải trọng bất kỳ (1.8)được biểu diễn bằng phương trình:

 t P x k x c x

0 0

2  

trong đó:

m k

c m

2 0

P

A A

e A t

e a t x t x

trong đó: x T (t) là nghiệm tổng quát phụ thuộc vào điều kiện đầu x 0 x0 ,x 0  x 0,

là dao động điều hòa tắt dần được gọi là quá trình chuyển tiếp; x P (t) là nghiệm riêng

không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, vế phải phương trình thứ nhất của (1.19) là dao động điều hòa có tần số bằng tần số lực kích động  và biên độ phức A() là một hàm

của tần số kích động và được gọi là dao động cưỡng bức của hệ

Hình 1.7 Dao động của hệ một bậc tự do dưới tác dụng của lực cưỡng bức

Biên độ a P và pha đầu θ P của dao động cưỡng bức có dạng:

  2 2

0

0 2

2 0 2 2 2 2 0

0

2 arctan ,

Được gọi là độ cứng động (Dynamic Stiffness) của hệ một bậc tự do Hàm này là

tỷ số giữa biên độ phức của lực tác dụng và biên độ phức của dịch chuyển (ý nghĩa độ cứng) và phụ thuộc vào tần số lực kích động (ý nghĩa động lực học) Dễ dàng nhận thấy

Được gọi là độ mềm động hay hàm phản ứng tần số

Trở kháng cơ học (Mechanical Impedance) của hệ là đại lượng được xác định bằng

tỷ số giữa biên độ phức của lực tác dụng với biên độ phức của vận tốc và có dạng:

i I

Được gọi là độ dẫn cơ học (Mechanical Mobility) của hệ một bậc tự do M() là

một hàm phức có phần thực và phần ảo như sau:

2

2

Im

;Re

m k c

m k

Với mọi  Trên mặt phẳng phức trục hoành là phần thực và trục tung là phần ảo của hàm độ dẫn cơ học thì độ dẫn cơ học được biểu diễn bằng một đường tròn bán kính bằng 1/2c với tâm tại điểm có tọa độ (1/2c, 0), xem Hình 1.8

Hình 1.8 Biểu đồ Nyquist của hàm độ dẫn cơ học M(  )

Đường tròn này đi qua gốc tọa độ (ứng với  = 0) cắt trục hoành tại điểm ứng với

c/ Hàm phản ứng xung

Tải trọng xung thường được đặc trưng bởi lực có giá trị lớn xảy ra trong khoảng

thời gian ngắn Ta có biểu diễn xung P(t) ở dạng:

t

t P

0 2 ˆ 0

(1.26)

Trong Hình 1.9 với  > 0 là số đủ nhỏ

Khi  0 thì hàm P(t) được gọi là hàm Delta-Dirac với cường độ I  Pˆ

Trường hợp xung có cường độ bằng 1 ký hiệu δ(t) với tính chất:

t

t

00

0



Xét hệ một bậc tự do ở thời điểm ban đầu đứng yên x 0 0;x 0 0 chịu tải trọng

xung P(t), khi đó phương trình chuyển động của hệ là:

 t P x k x

P s

0sin

t

t t e

m t

Là chuyển vị của hệ dưới tác động của hàm xung Delta-Dirac δ(t) Hàm số h(t)

được gọi là hàm phản ứng xung của hệ ta dễ dàng nhận thấy tác động của tải trọng xung

δ(t) đối với hệ một bậc tự do tương tự với việc áp dụng điều kiện đầu x 0 0;x 0 1/m Biến đổi Fourier hai vế phương trình(1.30) ta được:

   

 i c i k m

dt e t h i

v 1,, Khi đó: động năng và thế năng của hệ có dạng:

j i ij T

v v k v

K v V v v m v

M v T

2

1 2

1

; 2

1 2

Trong đó: M và K tuần tự là ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của hệ, các ma

trận này đối xứng và xác định dương Với động năng và thế năng này, hệ được xét trong khuôn khổ các quy luật tuyến tính của cơ học Lực tác dụng lên hệ kết cấu gồm hai loại:

 Lực cản có dạng Q cC v Tuy nhiên, trong tính toán động lực học công trình nói chung

ta chỉ xét trường hợp cản Rayleigh, khi đó:

K M

Bài toán dao động riêng được mô tả bằng phương trình:

b/ Chu kỳ và dạng dao động của hệ nhiều bậc tự do

Phân tích dao động tự do, khi bỏ qua thành phần lực cản C, phương trình dao động

của hệ kết cấu có dạng như (1.36) Đối với hệ kết cấu chịu tải trọng động đất và do tính chất tuần hoàn nên ta có thể chọn nghiệm có dạng:

Vectơ tần số riêng xác định như sau:

c/ Phân tích hình dạng (mode) dao động của hệ nhiều bậc tự do

Từ phương trình (1.36), ứng với mỗi tần số n ta có một vectơ riêng  vˆ n Nhưng

định thức (1.38) triệt tiêu, nên hạng của ma trận chỉ còn N-1, do đó chỉ có N-1 thành

phần của  vˆ độc lập Thông thường ta chọn thành phần đầu tiên  vˆ1n  1, khi đó vectơ chuyển vị trở thành:

n N

n n

v

ˆ

ˆ 1

2 22 21

1 12 11

N n N

n N n

n

n N n

n

v

v

e e e

e e

e

e e

1

0 00 01

10 11

n n

n

n n

v E

E

E e

0 00 01

0 10 11

n n n

v E E

v E e

Dạng dao động (mode shape) thứ n được định nghĩa bởi vectơ không thứ nguyên

n n

n

v

v v

ˆ

ˆ1

ˆ

2 1

N

N N

2 22 21

1 12 11

Từ các phương trình (1.57) và (1.58) suy ra:  2  2  ˆ T   ˆm 0

n n

m T

n

m T

Mô hình đơn giản nhất của của hệ có một bậc tự do chịu tải trọng bất kỳ, xemHình

1.10 Hệ gồm các đặc trưng vật lý tập trung như sau: Khối lượng m; Độ cứng k; Hệ số cản c và Lực kích động P(t)

Hình 1.10 Mô hình tính toán tương đương hệ một bậc tự do

Trong quá trình chuyển động, khối lượng m của kết cấu chịu tác động của các lực

sau:

 Lực đàn hồi tỷ lệ thuận với chuyển vị: f S t k v t ;

 Lực cản tỷ lệ thuận với vận tốc: f D t c v t ;

 Lực quán tính tỷ lệ thuận với gia tốc: f I t m v t ;

 Lực kích thích thay đổi theo thời gian: P t

Thiết lập phương trình cân bằng lực, ta sẽ được phương trình chuyển động của hệ kết cấu dưới tác dụng của ngoại lực:

trong đó:

m- Khối lượng của kết cấu;

c- Hệ số cản nhớt của kết cấu, theo định nghĩa là lực tác động cần thiết để gây ra

vận tốc đơn vị Trong mô hình này, cản nhớt được dùng để biểu thị phần năng lượng được phân tán khi hệ dao động;

k- Độ cứng của hệ kết cấu, theo định nghĩa là lực cần thiết để gây ra chuyển vị đơn

vị Đối với các công trình xây dựng chịu tải trọng ngang, k biểu thị độ cứng ngang của

hệ kết cấu

Trong trường hợp xảy ra động đất, nền đất chuyển động với gia tốc vg t Lúc này tải trọng tác dụng lên hệ kết cấu sẽ là lực quán tính phát sinh do nền đất chuyển động Đối với hệ kết cấu một bậc tự do, để thiết lập phương trình chuyển động ta giả sử

chuyển vị tại chân công trình là v g (t) Hình 1.11 Khi đó lực quán tính được xác định

bằng biểu thức:

 t mv t v  t 

Hình 1.11 Mô hình hệ một bậc tự do chịu tải trọng động đất

Phương trình vi phân chuyển động hệ kết cấu chịu tải trọng động đất với giá tri gia tốc nền vg t có dạng:

 t c v t k v t m v  t v

Phương trình chuyển động (1.65) giống phương trình khi hệ chịu tải trọng bất kỳ

với vế phải là lực động đất hiệu dụng tương đương tác dụng lên hệ kết cấu ký hiệu P eff (t)

 t m v  t

Như vậy, bài toán hệ kết cấu chịu động đất với việc nền móng dịch chuyển có phương trình chuyển động giống bài toán hệ kết cấu nền móng cố định, chịu lực tương đương P eff t  m vg t tác dụng tại đỉnh công trình

1.2.2.5 Dao động tự do

Dao động tự do của hệ kết cấu là dao động sinh ra bởi một tác động bất kỳ trên hệ kết cấu rồi cất đi tức thời Nói cách khác, dao động xảy ra sau khi tác dụng tải trọng làm

cho hệ kết cấu ra khỏi trạng thái dừng rồi tải trọng biến mất tức P(t) = 0

Việc phân tích dao động tự do rất quan trọng trong việc xác định đặc tính cơ bản của hệ kết cấu, đó là chu kỳ dao động riêng

a/ Nghiệm của phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động của hệ kết cấu có một bậc tự do có dạng như phương

Thế (1.68) vào phương trình (1.67) ta được:

Ge k s c s

 và đem thế vào phương trình (1.69) ta sẽ được phương trình:

Phương trình Euler ta có: e it t i t

sin cos 





đem thế vào phương trình (2.42)

và viết lại dưới dạng số thực như sau:

Với nghiệm (1.78) ta nhận thấy dạng dao động phụ thuộc vào trị số của hệ số cản

c Tuy nhiên, có thể phân giá trị độ lớn của cản làm hai trường hợp đó là:

Trường hợp hệ kết cấu có cản tới hạn (Critical Damping c = ccr)

Nếu c cr = 2m thì số hạng thứ 2 của (1.78) sẽ là: 0

2

2 2

e t G G t



m

c c

Phương trình chuyển động của hệ kết cấu có lực cản nhỏ có dạng:

   i Dt  i Dt t i D t i D t

e G e

G e e

G e

G t

Hay:

            

t e

t B

t A

e t

Trong đó: Biên độ dao động

       2

2

00

0

v v

v

v v

t v

v e t

00

ln

2 2

!2

22

1

2 2

v n

v

v v



Đối với hệ cản nhỏ, để tính chính xác hơn tỷ số cản bằng cách khảo sát biên độ

cực đại với m chu kỳ ta có:

n

1

21

22

e e v

m n

!2

22

m n n

v m

v v

Việc xác định lịch sử phản ứng của hệ kết cấu trong khoảng thời gian kéo dài của động đất đòi hỏi các công thức phức tạp và khối lượng tính toán lớn, ngay cả khi hệ kết cấu có cấu tạo tương đối đơn giản

Trong thực tế thiết kế, ta không cần thiết phải biết toàn bộ lịch sử phản ứng của hệ kết cấu theo thời gian, mà chỉ cần biết: biên độ lớn nhất của chuyển vị tương đối, vận tốc tương đối và gia tốc tuyệt đối của phản ứng kết cấu trong quá trình động đất Chính

vì vậy khái niệm phổ phản ứng được đề xuất

Phổ phản ứng của một trận động đất là đồ thị mà tung độ của nó biểu thị biên độ lớn nhất của một trong các thông số phản ứng (chuyển vị tương đối, tốc độ tương đối, gia tốc tuyệt đối) của hệ kết cấu theo chu kỳ tự nhiên của nó và độc lập với lịch sử của

hệ kết cấu theo thời gian

Tiến hành tương tự với các băng gia tốc khác nhau và ta cũng thu được các đường phổ phản ứng của mỗi băng Các đường phổ phản ứng này rất gồ ghề, ta phải “làm trơn” các đường phổ này để có được đường phổ phản ứng của địa điểm đang xét, xem Hình 1.13

Hình 1.13 Phổ gia tốc nền và vận tốc nền thực và sau khi làm trơn

Mỗi đường cong phổ phản ứng được thiết lập với tỷ số cản ξ, phổ phản ứng cho trong các tiêu chuẩn thiết kế thường là phổ gia tốc tuyệt đối tương ứng với tỷ số cản bằng 5% Hiện nay, trong thiết kế công trình chịu động đất, phổ phản ứng là một phương tiện hữu hiệu để mô tả một cách tổng thể phản ứng lớn nhất của toàn bộ các kết cấu đàn hồi có một bậc tự do động đối với thành phần đặc thù của chuyển động nền đất

Tải trọng động đất thường phức tạp, dàn trải trên một miền tần số rộng Nội dung tần số mô tả cách thức phân bố biên độ chuyển động nền giữa các tần số khác nhau Nội dung tần số của một băng gia tốc thường được các nhà thiết kế thể hiện dưới dạng phổ phản ứng Hình 1.14 trình bày phổ phản ứng của băng gia tốc El Centro Trên phổ phản ứng, vùng chu kỳ trội của các trận động đất sẽ được nhìn thấy rõ ràng, điều này có ý nghĩa rất lớn trong thiết kế

Hình 1.14 Phổ phản ứng băng gia tốc nền của trận động đất Imperial Valley

(15/10/1979), đo tại trạm El Centro Array Trong tính toán công trình chịu động đất, người ta thường sử dụng các loại phổ phản ứng như sau, khi đặt vg t  x0 t là gia tốc nền động đất do địa chấn kế ghi nhận được:

Phổ chuyển vị tương đối:

S S S t

trong đó: S d - phổ chuyển vị tương đối động đất; S v- phổ vận tốc tương đối động

đất và S a- phổ gia tốc tuyệt đối động đất

Tải trọng động đất tác động lên hệ kết cấu được tính như sau:

   t x t m S a m S v x

m

max 0

Nếu Fmax được biểu diễn dưới dạng một hàm của trọng lượng kết cấu, ta có:

Q g

S Q C

Biểu thức (1.98) cho phép ta rút ra được kết luận quan trọng là: Để xác định ứng suất và biến dạng của một hệ kết cấu chịu tác động của một gia tốc nền x0 t ở chân

công trình do động đất gây ra, ta có thể thay thế tác động đó bằng một tĩnh lực F có giá trị bằng trọng lượng Q của hệ kết cấu nhân với hệ số địa chấn C theo phương ngang lên khối lượng m Hệ số địa chấn C là tỷ số giữa phổ gia tốc động đất Ns với gia tốc trọng

trường

Phổ phản ứng đàn hồi được xây dựng dựa trên một thành phần duy nhất của một trận động đất nào đó và chỉ thích hợp cho mục đích tính toán lý thuyết Các trận động đất khác nhau sẽ cho các phổ phản ứng khác nhau

Chính vì vậy, phổ phản ứng được dùng để thiết kế các công trình xây dựng phải được thiết lập trên cơ sở một tập hợp các chuyển động địa chấn có thể xảy ra tại địa điểm đang xét Các chuyển động địa chấn này cần phải có các đặc tính giống nhau về nguồn gốc phát sinh, độ lớn, điều kiện địa chất và khoảng cách chấn tiêu

Các phổ phản ứng của các trận động đất thực tế là đường cong hình răng cưa, lồi lõm không đều Vì vậy, để có thể áp dụng vào thực tế thiết kế, các phổ phản ứng thu được từ các trận động đất có các đặc tính giống nhau sẽ được lấy trung bình, sau đó được điều chỉnh và làm trơn, Hình 1.15

Hình 1.15 Phổ mục tiêu MCE so với trung bình SRSS trong kết cấu cách chấn

Việc điều chỉnh và làm trơn là cần thiết nhằm tăng mức độ an toàn của các tác động thiết kế hoặc làm giảm các hậu quả bất lợi do sai sót trong tính toán chu kỳ dao động của hệ kết cấu Phổ phản ứng được thiết kế theo cách này có tên gọi là phổ phản ứng thiết kế

1.2.2.8 Dao động của hệ kết cấu đàn hồi nhiều bậc tự do

a/ Thiết lập phương trình chuyển động của hệ nhiều bậc tự do

Khi tính toán phản ứng động ta không thể mô hình hóa tất cả các hệ kết cấu dưới dạng hệ có một bậc tự do động Thực tế, khối lượng của công trình hoặc kết cấu được phân bố khắp nơi trong kết cấu và chúng có thể chuyển động theo nhiều hướng khác nhau

Vì thế, để mô tả phản ứng động của hệ kết cấu làm việc sát với thực tế công trình,

ta phải dùng một số các chuyển vị độc lập khác nhau gọi là rời rạc thành hệ có nhiều bậc tự do động

Tùy theo mức độ cần chính xác và khả năng của công cụ tính toán chúng ta có thể tính toán cùng một hệ kết cấu nhưng có số bậc tự do khác nhau, xem Hình 2.18

Để thiết lập phương trình chuyển động của hệ kết cấu, ta dùng phương pháp chuyển

vị hay còn gọi là phương pháp ma trận độ cứng

Hình 1.16 Bậc tự do động của hệ kết cấu: a Hệ khi có xét đến biến dạng dọc

trục của kết cấu gồm 18 bậc tự do và b Hệ khi không xét đến biến dạng dọc trục

của kết cấu gồm 8 bậc tự do

Tại mỗi nút có các lực tác dụng: tải trọng p i (t), lực quán tính f Ii , lực cản f Di và lực

đàn hồi f Si Phương trình cân bằng nút thứ i có dạng:

p f f

Phương trình (1.99) viết dưới dạng ma trận:

     f I  f D  f S  p t (1.100)

trong đó:

I I

I

f

f f

f



2 1

D D

D

f

f f

f



2 1

S S

S

f

f f

f



2 1

t p

t p t p

N



2 1

(1.101)

b/ Lực đàn hồi

Dùng nguyên lý cộng tác dụng ta có:

N iN i

i

Với kij là lực tại nút i do chuyển vị v j = 1 gây ra

Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy trì đường đàn hồi (lực đàn hồi

có hướng ngược lại với lực nút) Viết lại phương trình (1.102) ở dạng ma trận ta có:

N

N N

SN

S S

v

v v

k k k

k k k

k k k

2 1

2 22 21

1 12 11

2 1

N

N N

DN

D D

v

v v

c c

c

c c

c

c c

2 1

2 22

21

1 12 11

2 1

Cũng giống như lực đàn hồi và lực cản Phương trình xác định lực quán tính của

hệ kết cấu có dạng như sau:

N N

IN

I I

v

v v

m m

m

m m

m

m m

m

f

f f

2 1

2 22

21

1 12

11

2 1

(1.107)

Với m ij là lực tại nút i do vj= 1 gây ra, gọi là hệ số ảnh hưởng khối lượng Phương trình (1.107) có thể viết dưới dạng:

Trong đó: [M] là ma trận khối lượng (Mass Matrix)

Thay các phương trình(1.104), (1.106) và (1.108) vào phương trình (1.100) ta thu

được hệ N phương trình vi phân chuyển động của kết cấu viết dưới dạng ma trận:

Đối với công trình xây dựng nhiều tầng Trong thực tế tính toán ta có thể mô hình hóa chúng một cách đơn giản bằng cách sử dụng các giả thiết sau:

 Bản sàn được coi là tuyệt đối cứng trong mặt phẳng của nó khi chịu tải trọng ngang Tuy

nhiên, bản sàn vẫn chịu uốn khi chịu tải trọng đứng;

 Hệ thống cột hoặc các bộ phận thẳng đứng chịu lực coi như không có khối lượng nhưng

có tổng độ cứng là k và biến dạng dọc trục của hệ thống cột là không đáng kể có thể bỏ

qua;

 Cơ cấu phân tán năng lượng được mô tả bằng bộ phận giảm chấn thủy lực có hệ số cản

c Xem Hình 1.18

Với các giả thiết trên đây, tất cả các nút nằm trong mặt phẳng sàn sẽ có các bậc tự

do chuyển vị xoay bằng 0, còn các bậc tự do chuyển vị thẳng theo phương ngang x và y

được biểu thị qua 3 bậc tự do chuyển vị vật thể rắn của bản sàn trong mặt phẳng của nó

Ví dụ đối với bản sàn thứ j, 3 bậc tự do này là các chuyển vị thẳng u jx , u jy theo các phương x và y, chuyển vị xoay u jθ quanh trục thẳng đứng ở tâm khối lượng sàn Hình 1.17