TICH PHAN HAY LOP 12ON THI DAI HOC

muốn giới thiệu ñến các em học sinh những kỹ thuật ñơn giản nhất nhưng vô cùng hiệu quả trong quá trình tính toán, thông qua ñó hy vọng các em học sinh sẽ rèn luyện tính ñược tính linh[r]

PHƯƠNG PHÁP TÍNH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

TÍCH PHÂN

Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088

PHẦN MỘT: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CẦN NẮM CHẮC:

Bài toán 1: Tính I 2 1 2 dx

x a

=+

∫

Phương pháp: Đặt

2 2

2 0

2

4π

2 2

1ax

31

arctan31

Ta có

4

2 0

dx I

1

22

PHẦN HAI: TÍNH CÁC TÍCH PHÂN DẠNG PHÂN THỨC

muốn giới thiệu ñến các em học sinh những kỹ thuật ñơn giản nhất nhưng vô cùng

hiệu quả trong quá trình tính toán, thông qua ñó hy vọng các em học sinh sẽ rèn luyện

tính ñược tính linh hoạt trong giải toán

P(x) nhỏ hơn bậc cao nhất của ẩn trong ña thức Q(x) thì ta tiến hành:

*) Phân tích tử số P(x) thành ña thức R(x) + H(x) trong ñó R(x) là ñạo hàm của Q(x) sau

ñó tách tích phân ban ñầu thành hai tích phân ñơn giản hơn ñể tính

*) Việc tách R(x) là một nghệ thuật chủ yếu dựa trên kỹ năng thêm bớt số hạng

*) Ngoài ra ta có thể dùng kỹ thuật cộng hoặc trừ biểu thức phụ

∫

Từ ñó tìm ñược a,b,c,d thay vào ta tính 2 tích phân mới ñơn giản hơn, việc tính K hoàn

toàn ñơn giản

Ví dụ 4) Tính tích phân 2 4

1

11

P(x) lớn hơn bậc cao nhất của ẩn trong ña thức Q(x) thì ta tiến hành:

Thực hiện phép chia ña thức ñưa về dạng

x

x

=+

11

X 0

2π

21-t

2 1

0 2

Dạng 5) Tính tích phân bằng cách cộng trừ biểu thức liên kết

Biểu thức liên kết là biểu thức mà khi ta cộng hoặc trừ vào biểu thức cần tính ta sẽ

ñượ c biểu thức tích phân ñơn giản hơn

Ví dụ như: Khi tính

2

2 0

s inxsinx+cosx

Từ (1) và (2) giải hệ ta sẽ tính ñược I;J

Lấy I-J ta sẽ tính ñược tích phân mới là 6

0

os2xsinx- 3 osx

Sau ñó thay vào tính tích phân theo t

Ví dụ: Tính tích phân sau 1 inx

−

Phần ba: Tính tích phân hàm siêu việt

Ví dụ; Tính tích phân I=

3 1

ln 2 ln 3

dx x

e e

Dạng 2) ∫ f x c( ) osxdx hoặc ∫ f x( ) s inxdx

Đặt f(x)=u;cosxdx=dv hoặc sinxdx=dv

os2x 1 os2x sin 4

Dạng 4) ∫s inxe dxx hoặc ∫cosxe dxx có thể ñặt sinx=u, cosx=u hoặc e x =u

Ví dụ 1) Tính tích phân sau I =∫sin 2 ex xdx

sin 2x=u⇒du=2 os2xdx;ec dx=dv⇒v=e x

Ta có I =∫sin 2 ex xdx=sin 2x.ex−2∫cos2x.exdx=sin 2x.ex −2J Với J =∫cos2x.exdx

Xét J =∫cos2x.exdx Đặt os2x=uc ⇒du=-2sin2xdx e dx; x =dv⇒v=e x

Ta có J =∫cos2x.exdx=cos2x.ex +2 sin 2 ∫ x e dx x =cos2x.ex +2I

ππ

ππ

ππ

+ ++

3 ln1

x dx x

++

0sin2 21 sin cos

4sin

dx x x

x

x

Khối D: Tính tích phân ∫2

1 3

ln

dx x x

Thi Chung Năm 2007:

Khối A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường

( )e x

y= +1 ; y=( )1+e x x

Khối B: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các ñường

e x y

I

1

2 3ln

Thi Chung năm 2006:

Khối A: ∫

+

= 20

2 2

sin4cos

2sin

π

dx x x

x I

Khối B: = ∫ + − −

5 ln

3

ln e x 2e x 3

dx I

Khối D: =∫ ( − )

1 0

2

2e dx x

π

dx x

x x

I

Khối B: =∫2 +

0 1 cos

cos.2sin

π

dx x

x x I

Khối D: =∫2( + )

0

sin

coscos

π

xdx x

Khối B: =∫ +

e

dx x

x x I

1

lnln31

Khối D: =∫3 ( − )

2

2

ln x x dx I

Thi chung năm 2003:

Khối A: ∫

+

=

3 2 5 24

x x

dx I

Khối B: =∫4 −+

0

22sin1

sin21

π

dx x x I

Khối D: =∫ −

0

2

dx x x I

Thi chung năm 2002:

Khối A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường

34

2

x

24

1332

2 3

++

−++

=

x x

x x x x f

sin

dx x

x x

0

3 3

sincos

π

dx x x

I

[2001-A] =∫ + dx

x

x I

π

xdx x

cossin

2cos

π

dx x x

x I

[1999-A] Tìm họ nguyên hàm g( )x =sinxsin2xcos5x

[2000-A]

1.Tìm họ nguyên hàm ( )

x x

x g

cossin

2

1

−+

21

dx e

e I

x x

[2001-A] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường có phương trình y=− 4−x2 và x2 +3y =0

4 Phân viện báo chí và tuyên truyền

[1998-A] =∫ ( )

e

dx x x I

x x

I

1

ln2ln

31cos

cos

dx x

x I

[1998-D] =∫3 ++

0

21

1

dx x

x

0

4 4

cossin

4sin

π

dx x x

x I

7 Học viện công nghệ bưu chính viễn Thông

[1998-A] =∫2 +

0

2 3cos1

cos.sin

π

dx x

x x

− +

=1 1

42

2

lg xdx x

I

8 Đà Lạt

[2000-D] =∫

x x xdx e

I

0sin

0e x 2

dx I

[1997-D] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường cong có phương trình

π

dx x

x I

[1998-B] =∫2 +

0 1

sin1cos

π

dx x x I

= 91

0

5 2

3

14

11

2sin

x x

13

1

dx x

4

2 10 sin x dx I

1

4

5 x dx

x I

[2000-A] ∫

− −

+

= 22

2sin4cos

π

π

dx x

x x

3sincos

sin4cos5

π

dx x x

x x

I

12 Học viện hành chính quốc gia

[2001-A] =∫ −

1 0

2 3

1 x dx x

I

14 Huế

[1998-D] =∫

2 1 2

ln

dx x

x I

[2000-A] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường

6 3 5

1 x dx x

1

−+++

=

x x

tgx x f

cossin2

π

xdx x

e

π

dx x I

16 Học viện kỹ thuật quân sự

sinsin

π

π

gxdx x

x x I

[2000-A] Tính diện tích hình phẳng ñược giới hạn bởi các ñường

x a I

0

2 2 2

17 Luật HN

[1998-A]Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường y= x ; y=2−x2

11

1

cot 1

2

+

++

x x

dx dx

x

x I

3 5

1 x dx x

2cot

π π

dx x g x

tg I

[2001-A ] ∫

+

= 44

6 6

16

cossin

π π

dx x x

I

x x

x I

cos3sin

cos2

21 Học viện ngân hàng TPHCM

[1998-D] = ∫2

0

2 2

2cos.cos

π

xdx x

0

2 2

2cossin

π

xdx x

x I

1

21ln

[1998-D] Tính = ∫2

0

24coscos

π

xdx x

I

[1999-D] =∫3 ++

7

0 313

1

dx x

x I

[2001-D] =∫1( − − )

0

2 2

x x f

=1 0

2 2

2

3x

x

dx I

[2000-A]

= 40

32cossin

2cos

π

dx x

cossin

4sin

π

dx x x

x I

24 Ngoại thương TPHCM

[2001-A] ( )

x

gx x

sin1

cot+

coscos

sinsin

2cos2

sin1

π π

dx x x

x x

+

+

=1 0 2 21

1

dx e

x x

4 Tính thể tích hình tròn xoay khi quay phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các ñường cong 2

x

y= và y= x quanh trục Ox

[1999-A] Cho D là một miền bị giới hạn bởi các ñường cong 2

x x

dx I

[2001-A] = ∫2

4 4 6sincos

π π

dx x

x I

26 Nông Lâm TPHCM

[2001-A] = ∫2

0

22sincos

π

xdx x

I

0 5 2

0

6

6sinsincos6

coscos

π π

xdx x

x xdx

π

xdx x

I

27 Học viện quan hệ quốc Tế

[1997-A] Tính nguyên hàm f( )x =(sin4 x+cos4 x)(.sin6 x+cos6 x)

[1998-A] Tính nguyên hàm f( )x =sin3 x.cos3x+cos3xsin3x

[2000-A] Tính nguyên hàm ( )

x

x x

f

sin

3cos

π

dx x

x

dx I

[1997-D] =∫1 −

0 2 2

[1998-B] Tìm các hằng số A và B ñể các hàm số f( )x = Asinπx+B Thoả mãn ñồn thời các ñiều kiện f′( )1 =2 và ( ) 4

2 0

=

∫ f x dx

[1998-D] =∫ +

1 0

2

1dx

x

x I

[1999-B] Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo thành do quay quanh trục Ox hình phẳng hữu hạn bởi các parabol y=x2 −4x+6; y=−x2−2x+6

[1999-D] Tìm họ nguyên hàm =∫ x − −x

e e

dx I

4[2000-A] Tìm họ nguyên hàm ( ) ( x)

x x

f

2sin1

sin+

1π

x x

x f

[2001-A] Tìm họ nguyên hàm ∫ ( + + )( − + )

−

x x x x

x I

13.15

12 2

I

6

cot3

ππ

30 Quốc gia TPHCM

[1997-A] = ∫2 −

0 2 4

1dx

x

x I

π

xdx x

J

[1999-A] Cho 2 số nguyên dương p và q Tính =2∫π

0

coscospx qxdx

π

dx x x

x

0

2cos3sincos

π

dx x x

x J

π

xdx K

[2001-B] =∫ −

0

2 3

1 x dx x

I

32 Sư Phạm II Hà Nội

[1999-A] Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ trực chuẩn Oxy, cho hình giới hạn bởi ñường thẳng y= x;y= x;x=5 Tính thể tích khối tròn tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục Ox

0

4 4 10

10

sincossin

cos

π

dx x x x

x I

[2001-A] Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo thành do quay xung quanh trục

Oy hình phẳng giới hạn bởi nửa ñường tròn ( )2 2 2

b y a

π

dx tgx I

34 Sư Phạm Quy nhơn

35 Sư Phạm TPHCM

[2000-A] =∫4 ++ +

0 2

65

114

π

dx x x

[2001-D]

= 40

2cos2sin

π

x x

dx I

42

1 x3dx Tính =∫ + +

3 0 2 31

2t dt t

t I

[1999-A] = ∫1 ++

2 4 21

1

dx x

x

1 0

2

1dx x I

[2000-D] =∫2 + +

0 2 212

3

dx x x

x I

sin1ln

π

dx x

x I

2 3

sinos

π

dx x I

37.Học viện tài chính kế toán

x I

38 Thái Nguyên

[1997-D] =∫ +−

2 1 4 21

1

dx x

2sin

2

dx x e x e

31

dx x

0 e x 5

dx I

x x

dx

2 tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường x=1; x=2; y=0 và

x x

3cossin

sin4

π

dx x x

x I

40 Thuỷ Lợi

[1997-A]

1 =∫π +0

2cos

I

2 Vẽ và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=4−x2 và y =x2 −2x

[1998-A] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñường cong

π

dx x x

x x I

42 Xây dựng

[2001-A] ∫

− − −

= 11

2 4

12dx

x x

x I

43 Y HN

[1999-B]

dx I

[2000-B] Tính tích phân sau bằng cách thêm bớt vào tử số

=∫2 − +

1

2 212

7x x

dx x I

2 =∫3

4 4

π

π

xdx tg I

[2001-B]

3 2

2

1dx

x I

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường

0

2

1dx x I

x x

dx

0

2cos2

π

x

dx I

45 Y - Dược TPHCM

[1997-B] =∫ −

1 0

1 x dx x

43

π π

dx x x

[2001-B] Gọi (D) là miền ñược giới hạn bởi các ñường y=−3x+10; y=1; 2

ln 26

Đại học kinh tế quốc

9 9