Tìm m để đồ thị các hàm số trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau.. Trên đường tròn có bán kín[r]
Trang 1ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI OLYMPIC 24–3
LẦN THỨ NHẤT Môn thi: TOÁN 10
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (5,0 điểm)
a) Giải phương trình 3x 4 x 2 x 3
b) Giải hệ phương trình
2 2
3x 2y 1 x 20.
Câu 2 (3,0 điểm)
a) Tìm tập xác định của hàm số : y x3 3x2 4
b) Cho hai hàm số y x2 2x 3 và y 4x m (m là tham số) Tìm m để đồ thị các hàm số
trên cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng
AB đến các trục tọa độ bằng nhau
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x + y + z =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3 2 2 3 2 2 3 2 2
Câu 4 (2,0 điểm)
Trên đường tròn có bán kính bằng 1 ta lấy 17 điểm bất kỳ Chứng minh rằng trong 17 điểm
đó có ít nhất ba điểm tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1
20
Câu 5 (4,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC vuông tại B có A 600 Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm thỏa mãn AN 2AC
5
Chứng minh AM BN
b) Cho hai đường tròn (O1; r) và (O2; R) tiếp xúc trong tại A ( r < R ) Qua điểm A vẽ cát tuyến cắt (O1) tại B và cắt (O2) tại C (B; C khác A) Một đường tròn (T) thay đổi luôn qua B
và C cắt (O2) ở D (D khác C) và cắt (O1) ở E (E khác B) Gọi M là giao điểm của CD và BE Chứng minh điểm M luôn di động trên một đường thẳng cố định
Câu 6 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) có đường chéo
AC là đường kính và C(4; –2), đường chéo BD có trung điểm là M(3 ; –1) Một đường thẳng qua D và điểm E(–1; –3) sao cho DE song song BC Biết đường thẳng AB đi qua F(1 ; 3) Tìm tọa độ các điểm A; B; D
-Hết -
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT
Môn thi: TOÁN 10 HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
5,0
Giải phương trình: 3x 4 x 2 x 3 (1) 2,0
ĐK: x 4/3 (*)
Khi đó: (1) 2x 6 x 3
3x 4 x 2
x 3 (thoa (*))
3x 4 x 2 2 (2)
(2) (3x 4)(x 2) 3 2x
x2 – 14x + 17 = 0 và x ≤ 3/2
x 7 4 2 (thỏa (*)) Vậy (1) có 2 nghiệm: x = 3 và x 7 4 2
0,25 0,5 0,5 0.25 0,25
0,25
b) Giải hệ phương trình
2 2
3x 2y 1 x 20.
2 2
2 2
2 2
Đặt t = 2y – 1 thì hệ (I) trở thành:
2 2
2 2
3x t t 20 (1)
Nếu (x ; t) là nghiệm của hệ trên thì x > 0 và t > 0
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
2 2 3xt(x t) t x (x t)(3xt x t) 0 (1) x t (vì x > 0, t > 0 nên 3xt + x+t > 0) Thay t = x vào (1) ta được: 3x3 = x2 + 20
3x3 x2 20 0 (x 2)(3x2 5x 10) 0 x = 2
khi đó x = 2 2y – 1 = 2 y 3
2
Vậy, hệ đã cho có nghiệm 3
x; y 2;
2
0.5
0.25 0.25 0.5 0,25 0,25
0.25 0,25 0.25 0.25
Trang 3Câu Nội dung Điểm Câu 2
3,0 a) Tìm tập xác định của hàm số :
3 2
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi : x3 3x2 4 0
2 (x 2) (x 1) 0
x 2 x 2
x 1 0 x 1
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = {–2} [1 ; +)
0,25 0,25 0,25
0,25
Gọi (P) là parabol y x2 2x 3 và d là đường thẳng y 4x m
PT hoành độ g/đ của (P) và d là: x2 2x 3 4x m x 2 2x m 3 0 (1)
(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
PT (1) có hai nghiệm phân biệt ' 0 m 4
Gọi x ; xA B là 2 nghiệm của (1), I là trung điểm AB nên:
A B I
2
; yI 4xI m m 4
I I d(I; Ox) d(I; Oy) y x
Kết hợp với m > – 4 ta được m = –3
0.25 0.5
0.5 0.25 0.25 0.25
Câu 3
3,0
Tìm GTLN
2x 3y z x 2y 3 x 1 y 1 y 1 3 x 1 y 1
Khi đó 3 2
2x 3y z 27 x 1 y 1 Tương tự cho hai hạng tử còn lại
0,5
0,25 0.25
Do xz x z 3 x z3 2 2 , x 0, z 0 (bất đẳng thức Côsi) nên:
3 2 2
27
3 z x 1
Tương tự cho hai hạng tử còn lại
0,5
0.25
2
P
x y z 3
x y z 3
0,25 0.5
Suy ra P 27.6 162 Vậy Pmin = 162 khi x = y =z =1 0,5
Câu 4
2,0 Chia hình tròn thành 8 hình quạt bằng nhau Mỗi hình quạt có diện tích là 8
Khi đó đường tròn được chia thành 8 cung tròn
Do 17 = 2.8 + 1 nên theo nguyên lý Dirichlet có 1 cung, (giả sử cung AB) chứa
ít nhất 3 điểm, giả sử 3 điểm đó là M,N, P ( với (O)
AB
1 CV 8
0,5
0,5
Trang 4Ta có S MNP Svp ( Svp diện tích viên phân)
Mà Svp Sq S OAB 2 2 2
Vậy có ít nhất 3 điểm trong 17 điểm đã cho lập thành 1 tam giác có diện tích
nhỏ hơn 2 2 3, 2 2.1, 4 1
0,25 0.25
0,5
Câu 5
40
M
C
B
A N
Giả sử AB = 1 thì BC 3
2
5
=>BN BA 2(BC BA)
5
=>5BN 3BA 2BC
AM AB BM =AB 1BC
2
2AM 2AB BC
6AB 2BC (do BA BC)
= –6 + 6 = 0
Vậy: AM BN
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 Chứng minh M di động trên đường cố định 2,0
M
E
B A
O 1
O 2
C D
Ta có: PM/(T) =MD.MC= MB.ME
2
M/(O )
P = MD.MC
1
M/(O )
P = MB.ME Suy ra:
2
M/(O )
P = PM/(O )1
=> M nằm trên trục đẳng phương của (O1),
và (O2) nên MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1)(O2)
M di động trên đường thẳng cố định là tiếp tuyến tại A
0.25 0.25 0.25 0.25
0.5 0.5
Câu 6
3,0
a)
H
M(3;1)
C(4;-2)
A
B D
E(-1;-3)
F(1;3)
0,25
Trang 5+ Gọi H là trực tâm tam giác ABD, ta có AB BC DH qua E + Chứng minh được tứ giác BHDC là hình bình hành
+ C và H đối xứng qua M, tìm được H(2;0)
+ Viết được PT đường thẳng DH: x –y –2=0
+ Viết được PT đường thẳng AB : x + y – 4 = 0
+Gọi B(b; 4 – b ) thuộc AB Vì M là trung điểm BD, suy ra D(6 – b; b – 6 )
D nằm trên DH nên ta có (6 – b ) – (b – 6 ) – 2 = 0 hay b = 5
Suy ra : D(1 ; – 1 ) và B(5 ; – 1 )
+Đường cao (AH) đi qua H(2; 0) và vuông góc BD nên có PT : x – 2 =0
+ A là giao điểm của AH và AB nên A(2;2)
0,5 0,25 0.5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25