Tài liệu luận văn Giải tích; Hệ động lực và lý thuyết hỗn độn; Hệ động lực rời rạc

Sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu hay sự không ổn định làmột phần quan trọng trong lí thuyết trên, do vậy, việc tìm hiểu các tính chấtcho tính không ổn định của quỹ đạo là quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ HUY TIỄN

HÀ NỘI−2016

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, người đã tận tình hướng dẫn để em cóthể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học QuốcGia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thành viên trongnhóm seminar hệ động lực trường KHTN đã có những góp ý quý báu để emhoàn hiện luận văn tốt nghiệp này Nói riêng, em xin gửi lời cảm ơn chânthành tới bạn Lê Đức Nhiên, người đã giúp đỡ rất nhiều và hướng dẫn emtrong việc sử dụng Latex và Maple

Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Thời

Mục lục

Lời nói đầu 2

1 Một số khái niệm của hệ động lực rời rạc 3 1.1 Số mũ Lyapunov và số mũ Lyapunov mạnh 4

1.2 Tập bất biến hỗn độn và sự nhạy cảm của quỹ đạo 8

1.3 Sự ổn định Lyapunov của quỹ đạo 13

1.4 Bổ đề Gronwall rời rạc 15

2 Số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm 18 2.1 Sự nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov dương 19

2.2 Sự nhạy cảm của lớp các hệ hỗn độn 23

2.3 Sự không nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov âm 34

2.4 Sự nhạy cảm đối với hệ không ô tô nôm 38

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

LỜI NÓI ĐẦU

Năm 1975, Li và Yorke là hai nhà toán học đầu tiên sử dụng khái niệm

sự hỗn độn trong lí thuyết hệ động lực để chứng minh một số tính chất củađiểm tuần hoàn đối với ánh xạ trên đường thẳng thực Sau đó, đã có nhiều

nỗ lực để làm rõ khái niệm của sự hỗn độn cho hệ động lực rời rạc Tiêu biểu,năm 1989, Devaney đưa ra định nghĩa tường minh cho tập bất biến hỗn độn

và các kết quả sau này của Banks, Brooks, Cairns, Davis, Stacey (1992)

Sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu hay sự không ổn định làmột phần quan trọng trong lí thuyết trên, do vậy, việc tìm hiểu các tính chấtcho tính không ổn định của quỹ đạo là quan trọng và cần thiết Năm 2010,Palmer và cộng sự đưa ra một số các kết quả về đặc trưng của sự phụ thuộcnhạy cảm theo số mũ Lyapunov nhằm đưa thêm một vài điều kiện đủ choviệc kiểm tra tập bất biến hỗn độn Trong luận văn này, em tập trung trìnhbày lại các kết quả gần đây nhất về số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danhmục tài liệu tham khảo

Chương 1 dành để trình bày một vài khái niệm trong hệ động lực rời rạc.Chương 2 đề cập tới kết quả chính của Palmer về số mũ Lyapunov và sựnhạy cảm

Luận văn là chi tiết hóa chứng minh của Palmer trong bài báo [3] đượcviết năm 2010

Hà Nội, ngày 05 tháng 09 năm 2016

Nguyễn Thị Thời

1.1 Số mũ Lyapunov và số mũ Lyapunov mạnh

Trước tiên, ta đưa ra định nghĩa số mỹ Lyapunov, là số biểu diễn tốc

độ tăng trưởng mũ của đạo hàm của hàm số f : I ⊂ R → R theo sự biếnthiên của số phép lặp n Tức là, nếu |(fn)0(x0)| ∼ Ln thì log(|(fn)0(x0)|) ∼log(Ln) = n log(L) hay (1/n)(log(|(fn)0(x0)|)) ∼ log(L) (n → ∞) Trongluận văn này, ta xét trường hợp tốt nhất là giới hạn này tồn tại khi n tiến ra

vô cùng Cụ thể, ta có định nghĩa dưới đây

Định nghĩa 1.1.1 Cho f : R → R là hàm thuộc lớp C1 Với mỗi điểm x0,

ta định nghĩa số mũ Lyapunov của quỹ đạo {xn}∞

nếu giới hạn tồn tại

Nhận xét 1.1.1 Ta thấy rằng, vế phải của đẳng thức trên là giá trị trungbình dọc theo quỹ đạo của logarithm các đạo hàm Định nghĩa của số mũnày tương tự trong luận án của Lyapunov năm 1892 Năm 1968, công trìnhcủa Oseledec [7] chỉ ra rằng giới hạn trên tồn tại với hầu hết các điểm

Nếu x0 là điểm sao cho xn = gn(x0) = 0, 5 với n nào đó, thì λ(x0) khôngxác định bởi vì đạo hàm của g tại điểm 0, 5 là không tồn tại Những điểm x0như thế là tập không quá đếm được Còn lại là những điểm x0 ∈ [0, 1] mà

g0(xn) = 2 với mọi n thì số mũ Lyapunov của chúng đều bằng ln 2

Đối với những hàm f phức tạp, việc đưa ra công thức xn là khó khăn nên

ý tưởng ước lượng mũ Lyapunov đối với quỹ đạo sinh bởi hàm f thông qua

một hàm g đơn giản hơn là cần thiết Khái niệm liên hợp tô pô trong hệ độnglực là một trong những công cụ hữu ích để làm điều đó Ta nói hai hàm f và g

là liên hợp tô pô nếu tồn tại một đồng phôi h thỏa mãn g(x) = h ◦ f ◦ h−1(x)

Ví dụ dưới đây là minh họa cho việc ước lượng số mũ Lyapunov thông quahàm liên hợp tô pô

Ví dụ 1.1.2 Cho hàm f (x) = 4x(1 − x) Ta sẽ nghiên cứu số mũ Lyapunovcủa các quỹ đạo sinh bởi f trong một số trường hợp cụ thể sau

Trường hợp 1 Xét x0 là điểm sao cho xn = fn(x0) = 0, 5 với n nào đó,thì

Ta hạn chế các quỹ đạo chỉ nằm trong miền [δ, 1 − δ], khi đó

Nhận xét 1.1.2 Số mũ Lyapunov là đặc trưng cho dáng điệu tiệm cận đốivới quỹ đạo {xn}∞n=0 do nếu lim

n→∞

1 n+1

Pn k=0ln |f0(xk)| tồn tại thì với m > 0

cố định, giới hạn lim

n→∞

1 n+1

Pn k=0ln |f0(xk+m)| cũng tồn tại và chúng bằngnhau

Trong Nhận xét 1.1.2, nếu ta thay điều kiện m cố định thành điều kiệnlim

số mũ Lyapunov mạnh tương tự khái niệm số mũ Bohl của phương trình viphân Cụ thể, ta có định nghĩa dưới đây

Định nghĩa 1.1.2 Số mũ Lyapunov mạnh, kí hiệu Λ(x0) của quỹ đạo{xn}∞n=0 của ánh xạ f : I ⊂ R → R được xác định bởi

Λ(x0) = lim

n→∞

1n

i+n−1

X

k=i

ln |f0(xk)|,

nếu giới hạn này tồn tại đều tương ứng với i ≥ 0

Do điều kiện hội tụ đều theo chỉ số i ≥ 0 nên nếu sỗ mũ Lyapunovmạnh tồn tại thì số mũ Lyapunov tồn tại và hai giá trị đó là bằng nhau.Nhưng trường hợp ngược lại không đúng Dưới đây là một số ví dụ cho số

mũ Lyapunov mạnh

Ví dụ 1.1.3 Xét hàm f : [0, 1] → R, xác định bởi f (x) = √x Chọn điềukiện ban đầu x0 = 18 Khi đó, ta có quỹ đạo

xn = fn(x0) = 1

81/2 n.Theo định nghĩa, ta thu được số mũ Lyapunov mạnh của quỹ đạo trên như

Λ 18

Với mọi n ≥ 0

|f0(xn)| ≥ M−N exp(N + 1)Λ(x0)

2inf

Định nghĩa 1.2.1 Cho ánh xạ f : I ⊂ R → R Quỹ đạo {xn}∞n=0 sinh bởi fđược gọi là phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu nếu tồn tại số ε0 > 0sao cho với bất kì số δ > 0 thì luôn có y0 ∈ I thỏa mãn

(i) |y0− x0| < δ

(ii) |fN(y0) − fN(x0)| ≥ ε0 với số tự nhiên N nào đó

Nếu các quỹ đạo với điều kiện ban đầu nằm trong tập A ⊂ I đều phụ thuộcnhạy cảm vào điều kiện ban đầu thì ta nói f nhạy cảm trên A

Ví dụ 1.2.1 Xét ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = x2 Xét điều kiệnban đầu x0 = 1, khi đó ta có quỹ đạo xn = fn(x0) = 1 với mọi n Lấy ε0 = 12.Với mọi số δ > 0 đủ nhỏ, chọn y0 = 1 − 2δ Khi đó, quỹ đạo qua điểm y0 là

yn = fn(y0) =



1 − δ2

2n

Rõ ràng yn tiến về 0 khi n → ∞ Do đó, tồn tại N đủ lớn sao cho

|yN − xN| > ε0

Do đó, quỹ đạo qua điểm x0phụ thuộc vào điền kiện ban đầu Dưới đây là hìnhminh họa trong Maple đối với quỹ đạo của y0 = 0.9999999 và y0 = 0.9999.Quan sát Hình 1.1 ta thấy tuy điều kiện ban đầu y0 khá gần x0 nhưng với n

Hình 1.1: Dáng điệu quỹ đạo với x0 =, y0 = 0.9999999 và y0 = 0.9999

đủ lớn, hai quỹ đạo vẫn rời xa nhau

Với những f phức tạp hơn thì việc tìm công thức tổng quát của fn là rấtphức tạp Trong trường hợp đó, việc sử dụng công cụ máy tính là rất cầnthiết Ta có ví dụ khác dưới đây

Ví dụ 1.2.2 Cho hàm f (x) = x3− x Với điều kiện ban đầu là x0 = 0, ta

có quỹ đạo {xn = 0}∞n=0 Xét y0 6= 0, ta có

y1 = f (y0) = y30 − y0

y2 = f2(y0) = (y03− y0)3− (y03− y0) = y90− 3y07+ 3y05− 2y03+ y0

Dựa vào công thức trên, ta nhận thấy, việc ước lượng cho |yn − xn| là khókhăn Dưới đây, ta đưa ra thuật toán trong Maple để dự đoán sự phụ thuộcnhạy cảm vào điều kiện ban đầu của quỹ đạo {xn = 0}∞n=0

> restart;

seq1 := seq([i, x[i]], i = 0 n);

seq2 := seq([i, y[i]], i = 0 n);

seq3 := seq([i, z[i]], i = 0 n);

day := seq1unionseq2unionseq3;

pointplot(day, color = blue);

end;

> Draw(0, 0.1, 0.1, 50)

Lúc đó, ta thu được kết quả như Hình 1.2

Dựa vào đồ thị ta thấy khi y0 gần x0 tại thời điểm ban đầu thì yn cũnggần với xn Điều này có thể cho ta dự đoán là quỹ đạo xn = 0 không phụthuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu

Trước khi chuyển sang định nghĩa tập bất biến hỗn độn, ta đưa ra kháiniệm tính transitive của ánh xạ

Hình 1.2:

Định nghĩa 1.2.2 Ánh xạ f : I ⊂ R → R được gọi là transitive trên tậpbất biến A ⊂ I nếu tồn tại điểm x0 ∈ I sao cho quỹ đạo xuất phát từ x0 làtrù mật trong A

Dưới đây là định nghĩa tập bất biến hỗn độn được đưa ra năm 1999 bởiClark Robinson [1]

Định nghĩa 1.2.3 Cho ánh xạ f : I ⊂ R → R Khi đó f được gọi là hỗnđộn trên tập bất biến A ⊂ I nếu những điều sau được thỏa mãn

(i) f là ánh xạ transitive trên tập A

(ii) f nhạy cảm trên A

Khái niệm "hỗn độn" trong lí thuyết hệ động lực được đưa ra đầu tiênbởi Li và Yorke năm 1975 [5] Trong bài báo đó, các tác giả chỉ ra rằng: Nếuánh xạ trên đường thẳng thực có điểm tuần hoàn chu kì 3 thì với mọi n, luôntồn tại quỹ đạo có chu kì n Ngoài ra họ cũng chứng minh được rằng nếu ánh

xạ f trên đường thẳng có điểm tuần hoàn với chu kì 3 thì tồn tại tập bấtbiến S sao cho

lim sup

n→∞

|fn(p) − fn(q)| > 0 và lim inf

n→∞ |fn(p) − fn(q)| = 0 (1.1)với mọi p, q ∈ S mà p 6= q Li và Yorke gọi tính chất trên là "hỗn độn" Có thểthấy, tính chất (1.1) khá gần với điều kiện sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều

kiện ban đầu Sau đó, Devaney (1989, [6]) đưa ra định nghĩa tường minh chotập bất biến hỗn độn Ngoài hai điều kiện trong Định nghĩa 1.2.3, Devaney

có đưa thêm giả thiết các điểm tuần hoàn là trù mật trong A Mặc dù tínhchất này chỉ thỏa mãn với các ánh xạ hyperbolic đều, tuy nhiên nó không

là vấn đề trọng tâm trong ý tưởng xây dựng hệ động lực hỗn độn (điều nàyđược nêu trong bài báo đầu tiên của Li và Yorke (1975)) Cho nên trong [1],Robinson chỉ dùng hai điều kiện như trong Định nghĩa 1.2.3 để định nghĩacho tập bất biến hỗn độn

Trong bài báo của Banks, Brooks, Cairns, Davis và Stacey (1992) [4], tácgiả chứng minh rằng nếu f có tính bắc cầu trên tập A và các điểm tuần hoàn

là trù mật trên A thì có phụ thuộc nhạy cảm vào quỹ đạo và đo đó A là tậpbất biến hỗn độn

Mệnh đề dưới đây khẳng định, sự phụ thuộc nhạy cảm (sự nhạy cảm) củaquỹ đạo được bảo toàn qua phép liên hợp tô pô đối với các ánh xạ trên tậpcompact

Mệnh đề 1.2.1 Cho f : I ⊂ R → I là liên hợp tô pô với g : J ⊂ R → J.Nếu I, J là compact và g nhạy cảm trên J thì f cũng nhạy cảm trên X.Chứng minh Xét quỹ đạo {yn}∞n=0 Do g nhạy cảm trên J nên tồn tại r > 0sao cho với mọi ε0 ta luôn có q0 ∈ J thỏa mãn

(i) |q0− y0| ≤ ε0

(ii) Tồn tại số nguyên k để |yk − qk| ≥ r

Do f, g là liên hợp tô pô, nên tồn tại đồng phôi h : I → J thỏa mãn g =

h ◦ f ◦ h−1 Lấy {xn}∞n=0 là quỹ đạo mà x0 = h−1(y0), ta sẽ chứng minh{xn}∞

n=0 là nhạy cảm Thật vậy, từ giả thiết I là compact ta dẫn đến h làliên tục đều trên I Tức là, với r > 0 ở trên, tồn tại số δ > 0 sao cho nếu

x, p ∈ I mà |x − p| < δ thì |h(x) − h(p)| < r Do đó, nếu |h(x) − h(p)| > r thì

|x − p| > δ Chọn p0 = h−1(q0), theo (ii), ta có |yk − qk| ≥ r nên

|h−1(yk) − h−1(qk)| > δ

⇔ |h−1(gk(y0)) − h−1(gk(q0))| > δ

Do

h−1(gk(y0)) = fk(h−1(y0)) = fk(x0)và

h−1(gk(q0)) = fk(h−1(q0)) = fk(p0)nên

|fk(x0) − fk(p0)| > δ

Do h là đồng phôi nên chọn ε0 đủ bé để p0 gần x0 nhưng

|fk(x0) − fk(p0)| > δ

Mệnh đề được chứng minh

Mục đích phần này dùng để trình bày khái niệm về sự ổn định theo nghĩaLyapunov của quỹ đạo trong trường hợp một chiều

Định nghĩa 1.3.1 Cho f : [0; 1] → [0; 1], quỹ đạo {xn}∞n=0 được gọi là ổnđịnh Lyapunov nếu với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y : |y0−x0| < δthì |yn− xn| < , n ≥ 0

Ví dụ 1.3.1 Cho f : [0; 1] → [0; 1] xác định bởi f (x) = 1 − x Ta xét quỹđạo x0 = 0, xn = fn(xn−1) Khi đó x2k = 0 và x2k+1 = 1 (k = 0, 1, ).Lấy y0 thoả mãn |y0 − x0| ≤ ε Do định nghĩa ánh xạ f nên y2k = y0 và

y2k+1 = 1 − y0 Do đó |yn − xn| ≤ ε với mọi n = 0, 1, 2, Cho nên, quỹđạo {xn}∞n=0 là ổn định

Hình 1.3: Quỹ đạo màu đỏ là của {xn}∞n=0, quỹ đạo màu xanh là của {yn}∞n=0với y0 tương ứng là 0.05 và 0.03.

Nhận xét 1.3.1 Đối với lớp ánh xạ đẳng tự (tức là |f (x) − f (y)| = |x − y|)thì mọi quỹ đạo đều ổn định do |xn− yn| = |fn(x) − fn(y)| = |x − y| Do đó,luôn chọn được số δ = ε để |x0− y0| < δ thì |xn− yn| < ε

Ví dụ 1.3.2 Xét ánh xạ f : [0; 1] → [0; 1] xác định bởi f (x) = 1

4x(1 − x).Khi đó, hệ động lực sinh bởi ánh xạ này có dạng xn+1 = 1

4xn(1 − xn), làphương trình Logistic ô - tô - nôm rời rạc với hệ số 1

4 (một trong các mô hìnhdân số nổi tiếng được đưa ra vào năm 1837 bởi Verhulst) Do

|f0(x)| =

1

4 − 2x1

4

≤ 34Cho nên, theo định lí giá trị trung bình Lagrange thì với |x0− y0| < ε ta thuđược

|x1−y1| = |f (x0)−f (y0)| = |f0(c)||x0−y0| ≤ |x0−y0| < 3

4ε (với c ∈ [x0, y0]).Bằng quy nạp, ta chứng minh được

|xn− yn| <  3

4

n

ε với mọi n = 0, 1, 2, (1.2)Khi đó, mọi quỹ đạo của phương trình là ổn định Hơn nữa, theo ước lượng(1.2) thì mọi quỹ đạo đều bị hút về quỹ đạo {xn = 0}∞n=0

Hình 1.4: Các quỹ đạo của phương trình Logistic hệ số 1/4 ứng với điều kiệnban đầu x0 = 0.9, x0 = 0.5, x0 = 0.3.

Chứng minh Ta chứng minh bổ đề này bằng quy nạp Với n = 1 ta có

1 + µ1 ≤ exp(µ1)

là đúng Giả sử quy nạp, bất đẳng thức (1.3) đúng với n, ta sẽ chứng minh

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.4.1 (Bổ đề Gronwall rời rạc) Cho zn là các số không âm saocho

Chứng minh Tương tự bổ đề trên ta chứng minh mệnh đề này bằng phươngpháp quy nạp theo n Rõ ràng bất đẳng thức (1.4) đúng với n = 0 Giả sử(1.4) đúng với mọi số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n − 1 Ta chứng minh

(1.4) đúng với n Thật vậy, ta có ước lượng

Do đó, ta có điều phải chứng minh

Số mũ Lyapunov là một trong những khái niệm như thế Trong bài báo củaPalmer [3], tác giả chỉ ra rằng, số mũ Lyapunov của quỹ đạo cần xét chưa đủđặc trưng cho tính nhạy cảm của quỹ đạo Cụ thể, ngoài điều kiện dương của

số mũ Lyapunov, ta cần giả thiết thêm điều kiện bị chặn dưới bởi A > 0 củacác đạo hàm tại các điểm quỹ đạo thì quỹ đạo mới có tính nhạy cảm Khi đó,theo Mệnh đề 1.1.1 trong Chương 1, ta có hệ quả là số mũ Lyapunov mạnhdương thì dẫn đến sự phụ thuộc nhạy cảm Trong phần 2.2, ta trình bày lạimột điều kiện đủ khác cho sự nhạy cảm quỹ đạo Phần cuối của chương dànhcho việc nêu lại chứng minh các quỹ đạo có số mũ Lyapunov âm thì khôngnhạy cảm và nêu lại các kết quả trong trường hợp không ô - tô - nôm Trongchương này, ta chỉ xét các ánh xạ khoảng từ [0, 1] vào [0, 1] và các chứng minh

là chi tiết hóa các kết quả trong [3].

wn+1 = f0(xn)wn+ f (xn+ wn) − f (xn) − f0(xn)wn

wn = f0(xn)wn+ (f0(cn) − f0(xn))wn, (với cn ∈ [xn; xn+ wn]).Cho w0 6= 0 và giả sử phản chứng với mọi  dương đủ bé và n ≥ 0 thì

|wn| ≤ ,ω() = sup |f0(x) − f0(y)| : x, y ∈ [0; 1], |x − y| < 

Do f0 liên tục đều nên chọn được  đủ bé sao cho

= 1

n + 1(n + 1)

ω()A

= ω()

A .Mặt khác, ta lại có

wn = f0(cn−1).f0(cn−2) f0(c0).w0

|wn| = |f0(cn−1).f0(cn−2) f0(c0)||w0| ≥ exp nλ(x0)

4 .|w0| → ∞ khi n → ∞Mâu thuẫn |wn| ≤  với mọi n ≥ 0

Ví dụ 2.1.2 Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm xác định bởi f (x) = x2 Vớiquỹ đạo {xn}∞

n=0 thỏa mãn x0 = 1, ta có xk = fk(x0) = 1 Khi đó, số mũLyapunov của quỹ đạo cho bởi

2.2 Sự nhạy cảm của lớp các hệ hỗn độn

Như đã trình bày trong mục trước việc, số mũ Lyapunov dương chưa đủ

để kết luận quỹ đạo là nhạy cảm Tính bị chặn dưới của đạo hàm quỹ đạo

là một trong những điều kiện đủ quan trọng để suy ra được sự nhạy cảm.Trong phần này, ta trình bày một một điều kiện đủ khác để quỹ đạo vẫn cònnhạy cảm là đưa ra một số điều kiện cho những quỹ đạo chứa điểm đạo hàmbằng 0 Dưới đây là bổ đề kĩ thuật

Bổ đề 2.2.1 Cho f : I → I thuộc lớp C2, I là tập compact và p thỏa mãn

f (p) = p, f0(p) = α,trong đó |α| < 1 Khi đó cho K > 1, tồn tại δ > 0 sao cho |x − p| ≤ δ thì với

n ≥ 0 ta có

K−1|α|n|x − p| ≤ |fn(x) − p| ≤ K|α|n|x − p|

Chứng minh Đặt

yn = xn− p = fn(x0) − fn(p)Khi đó

yn+1 = fn+1(x0) − fn+1(p)

= f0(p)yn+ fn+1(x0) − fn+1(p) − f0(p)yn

Ta có

yn+1 = αyn+ g(yn), (2.1)trong đó g(yn) = fn+1(x0) − fn+1(p) − f0(p)yn = f (yn+ p) − f (p) − f0(p)yn

Do f ∈ C2 và I là tập compact nên f00 liên tục trên tập I compact Tồn tại

số M dương sao cho với |x − p| ≤ δ0 thì

|f00(x)| ≤ M

2.2 Sự nhạy cảm lớp hệ hỗn độn

Như trình bày mục trước việc, số mũ Lyapunov dương chưa đủ

để kết luận quỹ đạo nhạy cảm Tính bị chặn đạo hàm quỹ đạo... class="page_container" data-page="18">

Do ta có điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.4.1 (Bổ đề Gronwall rời rạc) Cho zn số không âm saocho

Chứng minh Tương tự bổ đề ta chứng minh mệnh... củacác đạo hàm điểm quỹ đạo quỹ đạo có tính nhạy cảm Khi đó,theo Mệnh đề 1.1.1 Chương 1, ta có hệ số mũ Lyapunov mạnhdương dẫn đến phụ thuộc nhạy cảm Trong phần 2.2, ta trình bày lạimột điều