Chứng minh rằng dãy số u xác định như trên là một dãy số bị chặn.. Đẳng thức xảy ra khi nào?[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11
TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019
Môn thi: Toán lớp 11
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (5,0 điểm).
1 Giải phương trình: sin 3 cos 22 x xsin2x 0
2 Cho x1 và x2là hai nghiệm của phương trình: x2 3x a , 0 x và 3 x là hai nghiệm của4
phương trình: x2 12x b Biết rằng 0 x x x x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân Hãy1, , ,2 3 4
tìm ,a b
Câu II (3,0 điểm).
1 Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014
5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k
2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
m 1x2 1 x2 2 2 1 x4 1x2 1 x2
Câu III (3,0 điểm)
Cho dãy số u được xác định bởi: n 1 1 2
sin
n
, với n ,n2
Chứng minh rằng dãy số u xác định như trên là một dãy số bị chặn n
Câu IV (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân
tại D với 5
2
a
1 Chứng minh rằng: ADBC
2 Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết
góc giữa hai mặt phẳng (ABC và () BCD bằng ) 30 0
Câu V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với (2;1) A , (1; 2)B , trọng
tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng x y 2 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 27
2
Câu VI (3,0 điểm) Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn: a2b2c2 Chứng minh rằng:3
2
-HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề có 01 trang)
Trang 2Huớng dẫn chấm – Toán 11
Câu I.
(5đ) Giải phương trình:
sin 3 cos 2x xsin x0
1 (3đ) sin 3 cos 22 x xsin2 x0 (1)
Ta có: sin 3x (1 2cos 2 )sinx.x
1.0đ 1.0đ 1.0đ
2 (2đ) Cho x1 và x2là hai nghiệm của phương trình: x2 3x a 0, x3 và x4là hai
nghiệm của phương trình: x212x b 0 Biết rằng x x x x1, , ,2 3 4 theo thứ tự lập
thành một cấp số nhân Hãy tìm a b,
x x q x x q x x q
Theo viet ta có:
1
1 2
1 2
2
3
x x
x x a
x x a
Suy ra q 2 4
+ q = 2 x11 , giải ra được a = 2, b = 32
+q = -2 x1 3, giải ra được a = -18, b = -288
1.0đ
1.0đ
Câu II.
(3đ)
1 (1.5đ) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014
5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k
Ta có: (1x) (15 x)2014 (1 x)2019
k k
k k
Ta có hệ số của xk trong P là 2019
k
C , P = M.N
Mà số hạng chứa xk trong M.N là :
C C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x
5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k
C C C C C C C
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2 (1.5đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
m 1x2 1 x2 2 2 1 x4 1x2 1 x2
ĐK: 1 x 1 , Đặt t 1x2 1 x2 , t liên tục trên 1;1 và t 0
2
t t
t
Xét ( ) 2 2; 0; 2
2
t t
t
, f t( ) liên tục trên 0; 2
2 2
4
t t
t
0.5đ
0.5đ
Trang 3( )
f t
nghịch biến trên 0; 2
Vậy pt đã cho có nghiệm thực khi f( 2) 2 1 m 1 f(0)
0.5đ
Câu III.
(3đ) Cho dãy số u n được xác định bởi: 1 1 2
sin
n
n n Chứng minh rằng dãy số u n xác định như trên là một dãy số bị
chặn
1 2 n n N , vì
Bằng qui nạp ta CM được: sin1 sin 22 2 sin2
n
n u
n
Vậy dãy số u n xác định như trên là một dãy số bị chặn
1.0đ
1.0đ
1.0đ
Câu IV.
(3đ)
Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân tại
2
a
DC
1 (1đ) Chứng minh rằng: ADBC
Gọi M là trung điểm BC, ta có:ABCđều nên AM BC, DBCcân nên
DM BC BC AMD BCAD
1.0đ
2 (2đ) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và
CD, biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300
Theo gt ta có góc giữa MA và MD bằng 30
0 Kẻ GN//CD, nối AN +TH1: góc DAM bằng 300, ta có: ,
3
a
MD a MG ABCđều nên 3
2
a
Áp dụng định lí cosin cho AMG
3
a
AN Trong ANG
65
.Gọi góc (AG CD; )thì cos = 5
65
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Trang 4+TH2: Góc AMD bằng 1500 Tính tương tự ta có: thì cos = 13
7 5
0.5đ Câu V.
(3đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2; 1), B(1;-2), trọng tâmG của tam giác nằm trên đường thẳng x + y – 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện
tích tam giác ABC bằng 27
2 Gọi M là trung điểm AB, ta có : 3; 1
2 2
M
Gọi C(a ; b),
G d a b
10
a b
AB x y d C AB ,
a b
Từ (1) và (2) ta có hệ:
9
9; 5
;
2
a
C
a b
a
a b
C
a b
b
1.0đ
1.0đ
1.0đ
Câu VI.
(3đ) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn: a2 b2c2 3 Chứng minh rằng:
Từ giả thiết ta có 0a b c2, ,2 2 3 Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
3 b b 3 c c
Áp dụng BĐT Bun… ta có:
2
a b a b a b a b a b
3
Từ (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
1.0đ
1.0đ
1.0đ