Lý thuyết và bài tập về Góc giữa hai đường thẳng Toán 10

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh , nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo vi[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

TOÁN 10

1 Lý thuyết

a Cho 1 và 2 cắt nhau tạo thành 4 góc:

+ Nếu 1 không vuông góc với 2 thì góc nhọn trong 4 góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng

  0

1, 2 1, 2 90

     

+ Nếu   1 2 thì góc giữa chúng là 90 0

+ Nếu 1/ /2 (hoặc   1 2 ) góc giữa chúng là 0 0

b Cho 2 đường thẳng 1:AxBy C 0 có VTPT n1A B; 

2:A x B y C  0

Gọi  là góc giữa 1và2

1 2

n n

 

 

Chú ý:

1 2

       

 

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho d1:x2y 5 0 và d2: 3x  y 1 0 , góc giữa d1

và d2 là:

A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0

Lời giải:

+ VTPT của d1 và d2 lần lượt là: n11; 2 ;  n23; 1 

+ Gọi  là góc giữa  1, 2 Khi đó:

 

1 2

2

n n

  

2 Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai vectơ a và b biết a1; 2 , b 1; 3 Tính góc giữa hai vectơ

a và b

A 45 B 60 C 30 D 135

Lời giải Chọn A

a b

5 10

 

2

 Vậy  a b, 45

Bài 2: Cho hai đường thẳng d1: 2x4y 3 0

và d2: 3x y 170

Số đo góc giữa d1

và d2

là

A 4



2



4



4





Lời giải Chọn A

2.3 4 1 cos ,



2

10 2

Suy ra số đo góc giữa d và 1 d là 2

4



Bài 3: Cho hai đường thẳng d1:x  y 2 0 và d2: 2x3y 3 0 Góc tạo bởi đường thẳng d1 và d2

là ( chọn kết quả gần đúng nhất )

A 11 19  B 78 41  C 101 19  D 78 31 

Lời giải Chọn B

d x  y có 1 vectơ pháp tuyến làn11; 1 

d x y  có 1 vectơ pháp tuyến làn2  2;3

Gọi góc tạo bởi đường thẳng d1 và d2 là 

Ta có 1 2

cos

n n

n n

 

 2

2 3





26 26

    78 41

Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A 1;3 , B 2; 2, C 3;1 Tính cosin góc

A của tam giác ABC

A

1 cos

17

17

17

17

BAC  

Lời giải Chọn A

Ta có: AB   3; 5, AC2; 2 

AB AC

AB AC

 3.2    5 2

34 8

17



Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng  qua M 1;1 và tạo với đường thẳng   d : 2x 3y 1 0   một

45 có dạng ax 5y 4  0 và a ' x  y 6 0 Khi đó giá trị a a ' là

Lời giải

Gọi VTPT của  là n1 a; b 0, VTPT của d là n2  2;3

Mà góc giữa d và  là góc 450

 

2



1

a

5

5



  



+ Với a = 5b chọn b 1 n1 5;1  : 5x  y 6 0

5

  chọn b  5 n2 1; 5   : x 5y 4  0

a 1; a ' 5 a a ' 6

     

Đáp án B Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng đi qua A(0;1) và tạo với đường thẳng :x2y 3 0 một

góc 450 có dạng 3x by c  0b c, Z Khi đó b + 3c là:

A 0 B 1 C 2 D -2

Lời giải:

Cách 1:

+ Gọi VTPT của d qua A và tạo với  một góc 450 là n1 a b; 0

+  có VTPT n2  1; 2

+ Góc giữa d và  bằng 450

1 2

1 2

2



TH1: b  0 a 0 (loại)

1

3 3

a

b

a

b



  



- Với a = 3b chọn b   1 a 3 n1 3;1

3

a  b chọn b    3 a 1 n11; 3 

Từ phương trình (1)d: 3x    y 1 0 b 3c  2 chọn đáp án D

Cách 2:

+ Đường thẳng d đi qua A(0;1) có dạng:

0

0 1

x





Với d x:  0 góc tạo với :x2y 3 0 không phải 450 (loại)

Với d y: kx 1 kx  y 1 0 có VTPT n1k; 1 

+ Đường thẳng :x2y 3 0 có VTPT n2 1; 2 mà được tạo với  một góc 45 độ

2

3 2

k k

k k

 



 

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn đề bài trên:

- Với k  3 d: 3x  y 1 0

3

k  d x y  Suy ra, phương trình thỏa mãn bài toán: 3x  y 1 0

       

Lưu ý:

+ Với cách 2 thông thường ta sẽ giải đồng hợp đường thẳng d có dạng yk x  0 1 trước, nếu đủ

trường hợp cảy ra là thôi, nếu thiếu trường hợp thì mới kiểm tra đến đường thẳng x =0

+ ở bài toán trên chỉ có 2 đường thẳng đi qua A thỏa mãn nên không cần xét đường thẳng x= 0 nữa, khi

đó bài toán sẽ giải nhanh hơn

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí