Lý thuyết và bài tập về Phương trình elip Toán 10

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELIP

TOÁN 10

I Lý thuyết

1 Định nghĩa

Elip là tập hợp tất cả những điểm thuộc mặt phẳng và tổng khoảng cách tới hai điểm cố định luôn là một

số dương không đổi 2a

Khi đó:

+ F , F1 2 gọi là tiêu điểm của elip

+ F F1 2 2c 0  c a gọi là tiêu cự của elip

+ Tỉ số e c 1

a

  gọi là tâm sai

Ví dụ 1: Cho 2 đường tròn  C và 1  C2 thỏa mãn  C2 qua tâm  C Tập hợp tâm các đường tròn 1

tiếp xúc ngoài với  C2 và tiếp xúc trong với  C là 1

A một đường thẳng B một đường tròn

C một đường parabol D một đường elip

Lời giải

+ Gọi đường tròn tiếp xúc ngoài với  C2 và tiếp xúc trong với  C là 1  Cm có tâm M và bán kính là

R

 C có tâm 1 I1 và bán kính R1

 C2 có tâm I và bán kính 2 R 2

+ Do  Cm tiếp xúc trong với  C1 MI1R1R

 Cm tiếp xúc ngoài với  C2 MI2 R2R

 

Do    C , C cố định nên 1 2 I , I cố định và 1 2 R1R2 2a0 là số không đổi nên  *  Tổng khoảng

cách từ M đến 2 điểm cố định I , I là một số dương không đổi 1 2 2aR1R2

 Tập hợp M là một đường elip (tiêu điểm I , I ) 1 2

Đáp án D

2 Phương trình elip

+ Trong mặt phẳng Oxy, cho F1c;0 , F c;0  2 và độ dài không đổi 2a với a  c 0 M x; y  thỏa

mãn MF1MF2 2a ta được

  1

2

cx

MF a

a 1 cx

MF a

a







gọi lá bán kính qua tiêu điểm của M

1

           

a b

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip có:

+ Tiêu điểm F1c;0 ; F c;0  2

+ Tiêu cự F F1 2c c1 2

+ Tâm sai e c

a



Lưu ý: (1) được chứng minh trong sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao

Ví dụ 2: Cho   x2 y2

2516  Một tiêu điểm của (E) có tọa độ là

A F 3;0 1  B F 0; 31   C F13;0 D F 0;5 1 

Lời giải

1

c a b 25 16    9 c 3 F 3;0

Đáp án C

Ví dụ 3: Cho   x2 y2

2516  Có bao nhiêu điểm M E sao cho MF1 2MF2

Lời giải

Gọi M x; y    E

Ta có a 5; b 4; c 3 MF1 a cx 5 3x; MF2 a cx 5 3x

           

2

2

25

 

 

             

 

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn

Đáp án C

3 Dạng của elip

- Tính đối xứng:

1 0 0

M x ; y , M x ; y và M4x ; y0 0 cũng thuộc (E)

(E) đối xứng qua hai trục tọa độ và gốc tọa độ bởi vậy để chứng minh một tính chất bất kì của (E) ta có

quyền giả sử x, y là các số không âm

- Giao điểm với các trục:

a b  cắt Ox tại A1a;0 , A 2 a;0 và cắt Oy tại B 0; b , B 0; b1   2 

1 2

A A 2a

  là trục lớn của (E)

1 2

B B 2b là trục nhỏ của (E)

- Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật ABCD với Aa; b , B a; b , C a; b , D       a; b

 Diện tích hình chữ nhật cơ sở là SABCD2a.2b4ab

Ví dụ 4: (E) có một tiêu điểm là F2;0 và một đỉnh A 5;0 có phương trình là  

A

x y

1

25 4  B

1

2521 C

1

4 25 D

1

2125

Lời giải

Gọi elip cần tìm là   x22 y22

a b  với a, b, c2 2 0 2







Tiêu điểm F2;0 c 2

Đỉnh A 5;0  a 5

25 21

Đáp án B Lưu ý: Với bài này bạn có thể giải bằng cách thử từng phương án tìm tiêu điểm và đỉnh rồi kiểm tra lại

với giả thiết và kết luận

Ví dụ 5: Elip có phương trình   22 22

a b  biết (E) có tâm sai là 5

3 ; hình chữ nhật cơ sở có chu vi

là 20 Khi đó giá trị a 2b là

Lời giải

Ta có   x22 y22

a b  với

 

a, b, c 0





  



Tâm sai của (E) là 5 c 5 5  

3  a 3   3 Chu vi hình chữ nhật cơ sở là 20 2 2a 2b20     a b 5 b 5 a 3 

Thế (2), (3) vào (1)  2 2 5 2 a 3

a 15 9





- Với a  3 b 2 thỏa mãn  a 2b27 (đáp án C)

- Với a15  b 10 (loại) do a, b, c0

Đáp án C

II Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, elip (E) có tiêu cự bằng 12 và tâm sai e 3

5

 Cho các mệnh đề sau:

(1) (E) có tiêu điểm F18;0 và F 8;0 2 

(2) (E) có độ dài trục nhỏ bằng 16

(3) (E) có đỉnh A210;0

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai?

A (1) và (2) B (2) và (3) C (1), (2) và (3) D (1) và (3)

Lời giải

(E) có tiêu cự bằng 12 2c 12  c 6

Tâm sai e c 3 a 10 b 8

a 5

     

Vậy mệnh đề (1), (3) là mệnh đề sai

Đáp án D

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, elip   x2 y2

8149 Tìm khẳng định đúng?

A (E) có đỉnh A 9;0 và 1  B 0; 71  

B (E) có dộ dài trục bé bằng 4 2

C (E) có dộ dài trục lớn bằng 18

D (E) có diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 63

Lời giải

Độ dài trục lớn là 2a 18

Đáp án C

Bài 3: Tìm phương trình chính tắc của elip có tâm sai e 5

3

 và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20

A

x y

1

9  5  B

0

9  4  C

1

9  4  D

1

4  5 

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của elip   22 22  

Tâm sai 5 c 5  

  

Hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20 2 2a 2b20 2 

Có 2 2 2  

c a b 3

a 3

 



    

 



Đáp án C

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ bằng 8, tâm sai e 3

5

 Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:

A 20 (đvdt) B 80 (đvdt) C 18 (đvdt) D 36 (đvdt)

Lời giải

Độ dài trục nhỏ bằng 8 2b  8 b 4

Tâm sai e 3 c 3 c 3a

    

Có

2

a 5 loai 5





 

         

  

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là: S2a.2b2.5.2.480(đvdt)

Đáp án B Bài 5: Tìm phương trình elip đi qua hai điểm M  3;3 , N 3 3;1

1

3010 

C

x y

1

0

3010 

Lời giải

Giả sử   22 22  

a b  

Vì M, N E nên ta có hệ   2 2 2   2 2

2

3 9

1

a b

1

a b







Đáp án B

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip   x2 y2

16 8  Điểm M E thỏa mãn bán kính qua tiêu điểm trái bằng 4 lần bán kính qua tiêu điểm phải Điểm M thuộc cung phần tư thứ mấy?

A I và III B I và II C I và IV D II và III

Lời giải

(E) có a4; b2 2; c2 2

 E

 có hai tiêu điểm F12 2; 0 và F 2 2;0 2 

Giả sử M x; y    E là điểm cần tìm

3a 3a 3.4 12 2

MF 4MF a ex 4 a ex

5e 5c 5.2 2 5

Vậy có 3 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

1 2

Đáp án C

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip   x2 y2

10025  Tìm M E sao cho F MF1 2 1200 (F , F1 2 là hai tiêu điểm của elip)?

A M 0;5   B M 0; 5  

C M 5;0 hoặc 1  M25;0 D Cả A và B đều đúng

Lời giải

(E) có a10; b  5 c 5 3

 E

 có hai tiêu điểm F15 3;0 ; F 5 3;0 2 

Giả sử M x; y    E

Có MF1 10 3x; MF2 10 3x

   

Có F F1 22 MF12MF222.MF MF cos F MF1 2 1 2

0

            

300 100 x 10 3x 100 x 10 3x 2 100 x



  

           

  

    

M 0;5 ; M 0; 5

Đáp án D Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh

của hình thoi có phương trình 2 2

x y 4 Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A,

B, C, D của hình thoi Biết AOx

A x2 4y2 20 B

1

2025 C

1

20 5  D

1

20 5 

Lời giải

Giả sử   22 22  

a b   

Hình thoi ABCD có

 

AC 2BD

OA 2OB

A, B, C, D E



Giả sử A a;0 và   B 0;a

2

 

 

 

H là hình chiếu vuông góc của O trên AB

 OH là bán kính của đường tròn   2 2

C : x y  4 OH2

Ta có: 1 2 12 12 12 12 1 a2 20

OH OA OB a a  4 

Có

2

4

Vậy phương trình chính tắc của   x2 y2

20 5 

Đáp án C

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí