Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn và tiếp tuyến của đường tròn

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN

VÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1 Vị trí tương đối

Cho đường tròn     2 2 2

C : x a  y b R có tâm I a; b và đường thẳng   : AxBy C 0

Cách 1: Xét   Aa 2Bb C2

d I;

 

+ Nếu d I;    R và (C) không có điểm chung

+ Nếu d I;    R tiếp xúc với (C) tại H (H là hình chiếu của I lên ) Khi này ta nói  là tiếp

tuyến của (C) với H là tiếp điểm

+ Nếu d I;    R cắt (C) tại hai điểm phân biệt (AB là một dây cung của đường tròn)

Cách 2: Xét hệ

Ax By C 0

1

  





 

 

   

 

+ Nếu hệ (1) vô nghiệm   và (C) không có điểm chung

+ Nếu (1) có 1 nghiệm x ; y0 0  tiếp xúc với (C) tại H x ; y 0 0

+ Nếu (1) có 2 ngiệm   cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B

2 Tiếp tuyến của đường tròn     2 2 2

C : x - a + y - b = R tại điểm M x ;y 0 0   C

Tiếp tuyến  tại M x ; y 0 0 của (C) là đường thẳng qua M x ; y 0 0 và vuông góc với MI  có VTPT

nIM x a; y b

 phương trình : x 0axx0  y b yy00 3 

 3

 là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M

Lời giải

(C) có tâm I 1; 2  , bán kính R2

 

IM 2 0    2 R M C

Tiếp tuyến của (C) tại M là đường thẳng  qua M 3; 2   và có VTPT IM 2;0

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho     2 2

C : x 1  y 2 4 phương trình tiếp tuyến của (C) tại

M 3; 2 của (C) là d : xby c 0 Khi đó giá trị b c là

A b c  2 B b c  3 C b c  6 D b c  5

    b 0

c 3





               

Đáp án B Lưu ý: Bạn có thể áp dụng trực tiếp công thức (3) sẽ nhanh hơn:

C : x 1  y 2 4; M 3; 2

 Phương trình tiếp tuyến tại M của đường tròn (C) là:

3 1 x 3        2  2   y  2    0 x 3 0

3 Tiếp tuyến của đường tròn  C qua điểm M nằm ngoài đường tròn

Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và điểm M thỏa mãn IMR

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho   2 2

C : x y 2x 2y 2  0 và M 3;5  Khi đó khoảng cách từ điểm N 2;3 đến đường thẳng điq au M và tiếp xúc với (C) là  

A 1 B 1

3

3

Lời giải Cách 1:

+ (C) có tâm I 1;1 , bán kính   R 12  12 2 2

IM 3 1  5 1  20 2 5 R Qua M có 2 tiếp tuyến đến (C)

+ Gọi n a; b 0 là VTPT của đường thẳng  qua M 3;5  

: a x 3 b y 5 0 ax by 3a 5b 0

          

+  là tiếp tuyến của (C) d I;  R

a b 3a 5b

2 2a 4b 2 a b

a b

  

2

b 0

b 3







    

 



- Với b =0 chọn a = 1

n 1;0 :1 x 3 0 y 5 0 x 3 0

          

- Với b 4a

3



 chọn a = 3

  2

b 4 n 3; 4 : 3x 4y 11 0

          

Cách 2:

+  qua M 3;5 có hệ số góc k:  

yk x 3  5 kx  y 5 3k0

+  tiếp xúc với (C)   k 1 5 3k2 3

4

k 1

  

      

 Tiếp tuyến là

3

4

Tiếp tuyến còn lại là đường thẳng 2: x 3 0

1 3

1 0



      

Đáp án A Tổng quát: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn qua M x ; y 0 0

- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc k:

: y k x x y

- Bước 2: Buộc  tiếp xúc với (C) d I;   R f k 0

 2 giá trị k tương ứng với 2 tiếp tuyến 1 và 2

(Nếu từ phương trình trên chỉ tìm được 1 tiếp tuyến thì tiếp tuyến thứ 2 là đường thẳng 2: xx0 0)

4 Bài tập

Lời giải

Gọi hai tiếp điểm là A và B

(C) có tâm I 1; 2 và bán kính   R2

Md : y  x 3 M m; m 3

MA tạo với MB một góc 600 AMB600 hoặc AMB 120 0

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu điểm Md : x  y 3 0 mà từ M kẻ được đến

C : x y 2x 4y 1 0   hai tiếp tuyến mà hai tiếp tuyến đó tạo với nhau một góc 600

- TH1: AMB 600 AMI 300 sin 300 AI

IM

    

m 1

m 5





        có 2 điểm M thỏa mãn (1)

- TH2: AMB 1200 AMI 600 sin 600 AI

IM

2

Từ (1) và (2) có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án C

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I 3;3 , bán kính   R 32 32 142

Gọi H là trung điểm AB IH AB; HA AB 3

2

   

AIH

      

 đường thẳng d đi qua M 6; 2 và cách   I 3;3 một khoảng là 1  

Gọi VTPT của d là n a; b 0

d : a x 6 b y 2 0 ax by 6a 2b 0

         

a 0 3a 3b 6a 2b

4





 

- Với a = 0 chọn b 1 d : y 2 0  1

- Với a 3b

4

 chọn b   4 a 3 d : 3x4y 26 0  2

Từ (1) và (2) ta chọn đáp án A

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng qua M 6; 2 và cắt     2 2

C : x y 6x 6y 14  0 tại 2 điểm A và B sao cho AB 2 3 là:

A y2 và 3x4y 26 0 B x2 và 3x4y 26 0

C y2 và 3x4y 30 0 D x2 và 3x4y 30 0

Lời giải Cách 1: Đường tròn (C) có tâm I 2; 2, bán kính R 2

Giả sử d C tại 2 điểm A, B SIAB 1.IA.IB.sin AIB

2

IAB

0 AIH 45

  (H là trung điểm AB) IH AI.cos 450 2 2 1

2

m 0 tm

2 2m 2m 3

15







 có 1 giá trị m nguyên

Cách 2:

IAB

S AH.IH



2 IAB

R

2

     vuông cân tại H

R

2

   , làm tương tự như trên ta được kết quả

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   2 2

C : x y 4x 8y 5  0 Viết phương trình đường thẳng song song với d : 4x 3y 3  0 cắt đường tròn theo dây cung bằng 8

A 4x 3y 11 0; 4x 3y 19     0

B 4x 3y 11 0; 4x 3y 19     0

C 4x 3y 11 0; 4x 3y 19     0

D 4x 3y 11 0; 4x 3y 19     0

Lời giải Đáp án C

Đường thẳng d ' : 4x 3y m  0

Đường tròn (C) có bán kính R5 và tâm I2; 4

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   2 2

C : x y 4x4y 6 0 và đường thẳng

d : xmy 2m 3  0 Gọi I là tâm của (C) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (C) tại 2

điểm phân biệt A, B sao cho diện tích IAB là lớn nhất

   

4 2 3.4 m

d

4 3

  





2

2

m 11 4x 3y 11 0

m 19 4x 3y 19 0

    



       

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   2 2

C : x y 12x4y 27 0 và điểm A 4;9 Viết  

phương trình đường thẳng qua A cắt đường tròn (C) tại 2 điểm sao cho độ dài cạnh hình vuông ngoại tiếp đường tròn (C) bằng khoảng cách 2 điểm trên

A 2x 11y 10  0

B 2x 11y 34  0

C 2x 11y 10  0

D 11x2y 62 0

Lời giải Đáp án D

Cạnh của hình vuông ngoại tiếp (C) có độ dài bằng đường kính của (C)

Suy ra: Đường thẳng cần tìm d cắt tại 2 điểm sao cho khoảng cách bằng BK Như vậy ta có: d đi qua

 

A 4;9 và tâm của (C) là I 6; 2  

Vậy d :x 4 y 9 11x 2y 6 0

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn   2 2

C : x y 12x4y 15 0 và điểm A 9; 2 Lập  

phương trình đường thẳng qua A cắt đường tròn (C) tại 2 điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bằng

cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (C)

A 7x y 65 0

x 7y 5 0

  



   



B 7x y 63 0

x 7y 5 0

  



   



C 7x y 5 0

x 7y 63 0

  



   



D 7x y 63 0

x 7y 65 0

  



   



Lời giải

Đáp án A

Tâm I 6; 2 , R   5

Suy ra hình vuông nội tiếp (C) có đường chéo là 10

Cạnh hình vuông nội tiếp (C) là 5 2

Đường thẳng cần tìm cắt (C) tại 2 điểm M, N sao cho MN 5 2

Gọi H là trung điểm MN suy ra:

2

Giả sử d đi qua A 9; 2 có vtcp là   u a; b 0 có dạng:

a x 9 b y 2 0

 

a 6 9 b 2 2

a b

   

 



5 2 2



5 2

2

    

2

a 7b

7







    

  



- Với a7b Chọn b 1  a 7

7 x 9 y 2 0

    

7x y 65 0

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x  y 2 0 và đường tròn

C : x y 4x 2y 0 Gọi I là tâm (C), M là điểm thuộc  Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB

đến (C) (A và B là các tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

A M 2; 4 , M 3;1  

B M 2; 4 , M 3;1    

C M2; 4 , M 3;1  

D M 2; 4 , M   3;1

Lời giải

Đường tròn (C) có tâm I 2;1 , bán kính IA   5

MAIMBI90 và MAMB MAIB

MA 2 5

M, có tọa độ M t; t  2

IM  5 t 2  t 3 25

t t 6 0



     



Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho:   2 2

C : x y 2x 4y 1 0,   : x  y 7 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm) sao cho

diện tích tứ giác MAIB nhỏ nhất

A M 2; 5

B M 2; 5  

C M 2;5  

D M2;5

Lời giải Đáp án D

   C : I 1; 2

R 2





 H là trung điểm AB

Ta có: AHMI, N t; t 7

MI  t 1  t 5 2t  8t 26 2 2 2 2

MA MI R 2t  8t 22

S IA MA 2 2t  8t 11

min

S    t 2 M 2;5

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí