Tức là điều giả sử là sai.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học 2017 - 2018
Môn: Toán 8 Ngày thi: 18 - 01 - 2018 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
x - 2x +1 x x -1 x - x
(Với x ≠ 0 và x ≠ ±1) a) Rút gọn P;
b) Tìm x để P = 1
2
Bài 2(2,0 điểm)
a) Phân tích đa thức x3
– 5x2 + 8x – 4 thành nhân tử
b) Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên Biết f(0) và f(1) là các số lẻ, chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên
Bài 3 (1,5 điểm)
a) Giải phương trình sau:
2
1 12
x
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2
0
x x y
Bài 4: ( 3,5 điểm )
Cho hình thang ABCD cóAD = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H là hình chiếu của D lên AC; M, P, Q lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD
a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân
b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành
c) Chứng minh AQ vuông góc với DP
d) Chứng minh S ABCD 6S ABC
Bài 5 : (1 điểm)
a) Chứng minh bất đẳng thức sau : x y 2
y x ( với x,y cùng dấu ) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P
với x ≠ 0; y ≠ 0
ĐỀ THI CHÍNH
Trang 2PHÒNG GD & ĐT LƯƠNG TÀI
TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán- Lớp 8
Bài 1 (2,0 điểm)
1
(2,0)
2 2
1
a P
x
2
:
( 1) 1
P
x x x
2
:
P
1 )
2
1
1 2
x x
2
2x x 1
2x x 1 0
0.25
2
2x 2x x 1 0
2x 1x 1 0
x=1/2 ( thỏa mãn ĐKXĐ), x = -1 ( không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy với 1
2
x th P 1
2
Bài 2 (2,0 điểm)
2
(2 đ)
a) x3 – 5x2 + 8x – 4 = = (x3 - x2 ) - (4x2 - 4x) + (4x - 4) = x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)
= (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2
0,75 0,5
b) Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x)
Khi đó f(x) = (x - a) Q(x), trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên
Vì thế f(0) = (- a).Q(0) (*); f(1) = (1 - a).Q(1) (**)
Vì f(0) là số lẻ nên từ (*) suy ra a là số lẻ Vì f(1) là số lẻ nên từ (**) suy
ra 1- a cũng là số lẻ Nghĩa là a và 1- a là hai số lẻ, mâu thuẫn Tức là
điều giả sử là sai
Vậy f(x) không có nghiệm nguyên
0,25 0,25 0,25
Trang 3Bài 3: (1,5 điểm)
3
(1,5)
a) ĐK: x 1 ;x 4
) ( 4 );
( 0
0 4
4 3
3 4 4 3 15
2
2
loai x
tm x
x x
x x
x x x PT
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
0,25 0,25 0,25
a) Ta có
0,25
Vì x, y nguyên nên từ (*)
Vậy x y; 0;0 ; 1;0
HS có thể đưa về 2
1
x x y rồi biên luận theo tích 2 số nguyên liên tiếp
là SCP
0,5
Bài 5: (3,5 điểm)
Vẽ hình đúng và ghi đầy đủ GT-KL
0,5đ
+/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau
lại có A=900 nên ABMD là hình vuông 0,5 +/ BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và
BM = 1
2DC BMD vuông tại B 0,25 lại có BDM= 450 BMD vuông cân tại B 0,25
Tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM 0,25
Trang 4 tứ giác DMPQ là hình bình hành 0,25
Chứng minh Q là trực tâm của tam giác ADP 0,25
AQDP 0,25
Chứng minh ABC = AMC (c.c.c)S ABC S AMC 0,25
AMC
0,25
ABCD ABMD BCM
2
2
3
1 4
ABCD
ABCD ABC ABC
AD S
Bài 5 (1 điểm
a) Chứng minh đƣợc x y 2
y x với x,y cùng dấu 0,5 đ b) Đặt t x y
Đƣa đƣợc về t2
– 3t + 3 = (t-2) (t-1) + 1 Với x, y khác dấu thì t < 0 => t-2 và t-1 là số âm
(t-2) (t-1) > 0 => (t-2)(t-1) + 1 > 1 Với x, y cùng dấu thì t ≥ 2; => t-2 ≥ 0; t-1 >0
(t-2)(t-1) ≥ 0
(t-2) (t-1) + 1 ≥ 1 (t-2) ( t-1) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi t = 2 hay x = y Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x22 y22 3 x y 5
là 1 khi x = y
0,25
0,25
Chú ý : Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa