- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]
Trang 1Câu 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2
2x 4x 3 y 19 0
Câu 2: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a 1 và b 2019 đều chia hết cho 6
Chứng minh rằng 4a + a + b chia hết cho 6
cho 101?
3a 1
M a với a là số nguyên dương
a) Chứng minh mọi ước số của M đều là số lẻ
b) Giả sử M chia hết cho 5, tìm a Với giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5?
x y z Chứng minh rằng xyz chia hết cho 60
Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2 2
5x 8y 20412
n
S n n n Chứng minh rằng 3 .(S n n 3) 1 là một số chính phương
x y z
x y y y
10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Chuyên đề: Số học
Trang 2Câu 1:
Theo đề x y, nên:
2x 4x 3 y 19 0
2(x 1) 3y 21
Vì x y, nên 2 2
3y 21 y 7 |y| 2 2
2
2
2
4
x x
x
Vậy cặp nghiệm ( ; )x y {(2;1),(2; 1),( 4;1),( 4; 1)}
Câu 2:
Vì (a 1) 6, a a 5
Từ giả thiết a 1 6;b 2019 6 a b 2020 (a b 4 336.6) 6
Vậy ta chỉ cần chứng minh (4a 4) 6
4
a
Vậy 4a + a + b chia hết cho 6
Câu 3:
Ta có:
abc e abc abc e abc e abcde
Vậy các số cần phải tìm chính là các số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 101
10000 100 101x100 10100 là các số tự nhiên có 5 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 101
99999 9 101x990 99990 là các số tự nhiên có 5 chữ số lớn nhất chia hết cho 101
Vậy số các số có 5 chữ số chia hết cho 101 là 99990 10100 1 891
101
số
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Trang 3Câu 4:
M a a a
Ta có: M 5;(5a) 5. Do đó 2
(a 1) 5 Nên a 1 5 Nên : a chia 5 dư 1, tức là a 5k 1(k )
a n n vì do a 1 nên 2
3a 1 5)
a
Ta có: 5 5n theo trên ta có : a 5k 1(k )
(5k 1) 3(5k 1) 1 5n 25k 10k 1 15k 3 1 5n
25 ( 1) 5 5 (*)n
k k
Nếu n 2 ta có 2
25 (k K 1) 5 ; 5 không chia hết cho 2
5 vô lý Vậy với n 1, ta có 25 (k k 1) 0;k Do đó k 0nên a 1
Câu 5:
Ta chứng minh một số bổ đề sau
Một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1, chia 4 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 3, chia 5
chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4
Thật vậy, trước tiên ta chia các số nguyên thành các dạng: 3 ,3k k 1,3k 2
Mà
(3 )k 9k 0(mod3)
(3k 1) 9k 6k 1 1(mod3)
(3k 2) 9k 12k 4 1(mod3)
Do đó, một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0, 1 Tương tự, ta có các điều nói trên
Ta sẽ chứng minh xyz chia hết cho thông qua việc sử dụng các bổ đề trên
Trước tiên, ta chứng minh
Giả sử đều không chia hết cho 4 Do đó, 2 2 2
, ,
x y z chia 4 dư 1 hoặc 3
Mà 2 2 2
x y z mo hay nói cách khác:
mo mo mo mo
(vô lý)
Vậy, xyz 3
Tương tự, ta chứng minh được xyz 4,xyz 5 Mà 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta
suy ra xyz 60 dpcm
Trang 4Trước hết ta nhận thấy tổng trên được viết dưới dạng hai số chính phương Ta cần chứng
minh mọi số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể dư 1 hoặc 0.(có thể tham khảo chứng
minh ở câu 5)
Vậy tổng hai số chính phương chia hết cho 3 khi và chỉ khi cả hai số cùng chia hết cho 3
Đặt 3 ;( , )
x a
a b b
3(2.9a 3.9b 6804) 9a 9b 3(2a 3b 756) a b (2)
2 2
b
3(2.9c 3.9d 756) 9c 9d 3(2c 3d 84) c d (3)
2 2
3
c d
Thay vào (3), ta có
3(2.9e 3.9f 84) 6e 9f 28 6e 9f 28 e f (3) 5e 8f 28(4)
Dễ thấy f=0 không thỏa bài toán
Thay f= 1 vào bài toán ta suy ra e 2
Thay f=-1 vào bài toán ta suy ra e 2
Với các giá trị của e, f ta dễ dàng suy ra được c, d cũng như a, b và suy ra được nghiệm
x ;y
Vậy phương trình trên nhận nghiệm ( ; )x y {(54; 27), (54; 27), ( 54; 27), ( 54; 27)}
Câu 7:
Ta có:
1.2 2.3 ( 1)
n
S n n
3S n 1.2.3 2.3.3 n n( 1).3
3S n 1.2.(3 0) 2.3.(4 1) n n( 1).[(n 2) (n 1)]
3S n 1.2.3 2.3.4 1.2.3 n n( 1)(n 2) (n 1) n(n 2)
3S n n n( 1)(n 2)
3 .(S n n 3) 1 n n( 1)(n 2)(n 3) 1
3 .(S n n 3) 1 (n 3 )(n n 3n 2) 1
3 .(S n 3) 1 (n 3n 1)
Trang 5Câu 8:
x y z
x y z
2 ( )[( ) 3x ]
x y z
Thế x y z vào pt dưới, ta được :
2
( 3x )
2 2
0
3
z z
Áp dụng định lý Vi-èt đảo ta có :
2 2
3
z z
2
3
z z
2
2; 1 3
1; 2
z
Vậy hệ phương trình trên nhận nghiệm ( ; ; ) {(0;0;0),(2;1;3),(1;2;3),(2;2;4)}x y z
Câu 9:
x y y y
(x y 3)(x 3 y 1) 7
Theo đề x y, nên:
Trang 63 1 7
3 7
x y
x y
x y
3 3 1 7 3 3 1
y x y x y x y
(thỏa)
Vậy phương trình trên nhận nghiệm ( ; )x y {(1;-3),(3;1),(7;-3),(-3;1)}
Câu 10:
Ta có :
2 2018 2019
2 3 4 2015 2016 2017 2018 2019
S
S
S
5 2015 31.(1 2 2 )
S
Vậy S 31 dpcm
Trang 7Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các
trường chuyên danh tiếng
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt
ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn
phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí