Nếu giả thiết có yếu tố trung điểm mà không vận dụng trực tiếp được, ta có thể tạo thêm trung điểm của đoạn thẳng để sử dụng được các tính chất về đường trung bình của tam giác, hình th[r]
Trang 1Chuyên đề nâng cao
VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN
I Kiến thức cần nhớ
Khi giải bài toán hình học, nhiều bài không thể giải trực tiếp được mà phải vẽ thêm hình phụ Việc vẽ
thêm hình phụ để tạo "cầu nối" giữa giả thiết và kết luận là công việc phổ biến Tùy thuộc vào mỗi bài
toán, dạng toán mà chúng ta chọn những cách vẽ hình phụ khác nhau Có nhiều cách tạo ra yếu tố phụ,
song chúng ta có thể vẽ hình phụ dựa vào một số định hướng sau :
1 Nếu giả thiết có yếu tố trung điểm mà không vận dụng trực tiếp được, ta có thể tạo thêm trung điểm
của đoạn thẳng để sử dụng được các tính chất về đường trung bình của tam giác, hình thang hay tính chất đường trung tuyến tam giác, tính chất đường chéo của hình bình hành
2 Nếu giả thiết có số đo góc là 60 hoặc 30 , ta vẽ thêm tam giác đều hoặc kẻ đường vuông góc để sử
dụng tính chất của tam giác đều hoặc tam giác nửa đều
3 Nếu giả thiết có số đo góc là 45 hoặc135 , ta vẽ thêm tam giác vuông cân hoặc kẻ đường vuông góc hoặc hình vuông để sử dụng tính chất của tam giác vuông cân hoặc hình vuông
4 Nếu giả thiết có nhiều đường vuông góc, ta có thể kẻ thêm đường vuông góc từ những vị trí đặc biệt
của hình vẽ
Ngoài ra nhiều bài có thể dựng thêm những đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho nhằm tạo ra những cặp
tam giác bằng nhau
II Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho tứ giác ABCD Gọi M và N tương ứng là trung điểm của các cạnh AD, BC Chứng minh
rẳng nếu MN =1
2 (AB + CD) thì ABCD là hình thang
Giải
Gọi K là trung điểm của đường chéo BD Ta có :
MK // AB và MK = 1
2AB ;
Trang 2Vậy ABCD là hình thang
Nhận xét
Yếu tố lấy trung điểm của đường chéo là kết hợp khéo léo các yếu tố của giả thiết với nhau
Với kĩ thuật trên, có thể giải được bài toán sau : Cho tứ giác lồi ABCD (AB < CD) Gọi P, Q tương ứng
là trung điểm các đường chéo BD và AC
Chứng minh rằng nếu PQ = 1
2 (CD - AB) thì ABCD là hình thang
Ví dụ 2 Cho ABC có góc A tù Bên trong góc A vẽ đoạn AD vuông góc yà bằng đoạn thẳng AB, vẽ
AE vuông góc và bằng AC Gọi M là trung điểm DE Chứng minh rằng AM ⊥ BC
Giải
Cách 1
Gọi H là giao điểm của AM và BC Vẽ hình bình hành ADNE
Khi đó M là trung điểm của DE nên A, M, N thẳng hàng AE // DN suy ra DN⊥AC, mặt khác AB⊥
AD, suy ra ADN = BAC
Mặt khác DN = AE = AC nên BAC = ADN (c.g.c) => DAN = ABC
Ta lại có DAN + NAB = BAD = 90°
=> ABC + NAB = 90°
=> AHB = 90°hay AM⊥BC
Cách 2
Trang 3Trên tia đối của tia AE lấy AI = AE ; ID cắt AC tại K Ta có :
BXC + DAE = BAD + DAC + DAE = 180°
=>BAC = DAI, suy ra BAC = DAI (c.g.c)
=>I = C Mà I + AKI = 90°, suy ra C + CKD = 90°hay ID⊥BC
Mặt khác dễ có AM là đường trung bình của EDI nên AM // ID, vậy AM⊥BC
Nhận xét Bài toán có yếu tố trung điểm M, song không thế trực tiếp giái được Vì vậy phải vẽ thêm hình
hình bình hành hoặc tạo thêm trung điểm như hai cách trên
Ví dụ 3 Tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC thoả mãn MAB = 15° , MAC = 30°.Tính số đo
góc C
Giải (h.47)
Trang 4Do đó ACB = ACE + ECB = 105°
Nhận xét Bài toán có số đo góc 30 nên tất yếu định hướng tạo thêm tam giác đều
III Bài tập tự luyện
1 Cho hình vuông ABCD Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AB ; BC Các đường thẳng DN và CM
cắt nhau tại I
a) Chứng minh CIN vuông ;
b) Chứng minh AI = AD
2 Trong hình vuông ABCD lấy điểm O sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3 Tính số đo góc AOB
3 Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho BPC = 135°.Chứng minh rằng :
2.PB + PC = PA
4 Cho hình thang ABCD có AB // CD, C + D = 900, CD > AB Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của
cạnh AB, CD Chứng minh rằng : CD - AB
EF =
2
5 Cho tứ giác ABCD Gọi A , B , C , D1 1 1 1lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC
Chứng minh rằng các đường thẳng AA , BB , CC , DD1 1 1 1đồng quy
6 Về phía ngoài của ABC nhọn, dựng các tam giác ABD và ACE tương ứng vuông cân tại B và C Gọi
I là trung điểm của DE Chứng minh rằng IBC vuông cân tại I
7 Cho tứ giác ABCD có C = 50°; D = 70° và AD = BC Gọi E ; F lần lượt là trung điểm của cạnh AB ;
CD Tính số đo góc EFD
8 Cho hình vuông ABCD có tâm O, Gọi K, E lần lượt là trung điểm của AB, OC Chứng minh rằng KE
⊥DE
9 Cho ABC vuông tại B Trên tia đối của tia BA lấy điểm D thoả mãn AD = 3.AB Đường thẳng
vuông góc với CD tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại A ở E Chứng minh BDE cân
10 Cho tứ giác ABCD có AD = DC = CB, ADC = 110° ; DCB = 130° Tính góc ABC
Trang 5Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí