Các bài toán dãy tỷ số bằng nhau có lời giải chi tiết

Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải.. Phương pháp 4[r]

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC – DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Dạng 1: Tìm số hạng chưa biết

1.Tìm một số hạng chưa biết

a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức

Nếu a c a d. b c. a b c. ;b a d. ;c a d.

Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết

b) Bài tập:

Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau

- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38

 

9,36 0.52.16,38 0,52.16,38

0,91 9,36

x x





* Lưu ý: Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như

sau :

a) 1 :2 1 :3 2

  

 

 

Bài tập 2: Tìm x biết: 60

15

x x





 Giải :

60

15

x

x.x ( ).( ) x

Suy ra x = 30 hoặc x = - 30

* Lưu ý: Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta

đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức

x

x

  

x

x

 



Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức 3 5

x x

 



Cách 1: ta có:

23

6

x

( x ) ( x ) x

x

x

Cách 2: từ 3 5 3 5

x

     



Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

3

x

( x )

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

( x )( x ) ( x )( x )

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

2.Tìm nhiều số hạng chưa biết

a) Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:

Tìm các số x, y, z thoả mãn

a  b c (1) và x +y + z =d (2)

(trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trước)

Cách giải:

- Cách 1:

Đặt x y z k

a b c thay vào (2) ta có:

Ta có k.a + k.b + k.c = d

a b c

     

 

Từ đó tìm được x a d. ;y bd ;z cd

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

 

   

b) Khai thác

+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi điều kiện (2) như sau:

* k x k y1  2 k z3 e

k x k y k z  f

*x.y.z = g

+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi điều kiện (1) như sau:



;

a  a a a

 a x2 a y a y1 ; 4 a z3

 b x1 b y2 b z3

 b x b z1 3 b y b x2 1 b z b y3 2

 1 2 2 3 3

z b



   

+Thay đổi cả hai điều kiện

c) Bài tập

Bài tập 1 : Tìm hai số x và y biết x y

2  3 và x + y = 20

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Đặt x y k

2   3 , suy ra: x = 2k, y = 3k Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = 4

Do đó: x = 8 và y = 12

Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

x y x y 20 4





Do đó: x = 8 và y = 12

Cách 3: Phương pháp thế

x

2    3 3

mà x + y = 20 suy ra 5

3

y

= 20 nên y = 12

Do đó: x = 8

Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết

x  y z và x +y + z = 27

Giải:

- Cách 1

Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k3k4k279k27 k 3

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12

Vậy x = 6; y = 9; z = 12

- Cách 2 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

27 3

2.3 6; 3.3 9; 4.3 12

 

 

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

Bài tập 3: Tìm 3 số x, y, z biết

  và 2x + 3y – 5z = -21

Giải: - Cách 1: Đặt

x  y z=k

- Cách 2: Từ

x  y z suy ra 2 3 5

x  y  z

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

3

6; 9; 12

Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết

x y z và 2 2 2

2x  3y  5z   405

Giải: - Cách 1: Đặt

  =k

- Cách 2: từ

x y z

suy ra

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

9

Suy ra

2

2

2

2

2

2

4

9

16

x

y

z

     

     

     

Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12

Bài tập 5: Tìm 3 số x, y, z biết

x  y z và x.y.z = 648

Giải:

- Cách 1: Đặt

x  y z= k

- Cách 2: Từ

 

3

3

3

648 27

8

x

 

       

 

Từ đó tìm được y = 9; z = 12

Bài tập 6 Tìm x,y, z biết ;

x

  và x +y +z = 27

Giải: từ

  

Từ

x   suy ra

 

Sau đó ta giải tiếp như bài tập 2

Bài tập 7 Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27

Giải: Từ 3 2

x y

x y 

Từ 4 2

x z

x z 

Suy ra

  sau đó giải như bài tập 2

Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21

Giải: từ 6x = 4y = 3z 6 4 3

Sau đó giải tiếp như bài tập 3

Bài tập 9: Tìm x, y, z biết 6 3 4 6 3 4

x z  y x  z y

và 2x +3y -5z = -21

Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

0

6 3 ; 4 3 ;3 6

 

Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 8

Bài tập 10: Tìm x, y, z biết

4 6 8

x  y  z

và x +y +z =27

Giải:

x  y  z

=k

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

x  y  z

1

4

2 6

3 8

4

x

x y

y z

z

 





  

Vậy x = 6; y= 9; z = 12

Dạng 2: Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau:

1) Các phương pháp:

Để chứng minh tỷ lệ thức :a c

b d Ta có các phương pháp sau :

Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng: ad= bc

Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số a c;

b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ

lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ

lệ thức phải chứng minh theo k

Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng

thức biến đổi tỷ số ở vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải

Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng

thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh

2) Bài tập:

Bài tập 1: Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:a c

b  d hãy suy ra tỷ lệ thức:a b c d

  

Giải:

- Cách 1: Xét tích  

a b c ac bc

a c d ac ad

  

Từ a c ad bc(3)

b  d 

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra a b c d

  

- Cách 2: Đặt a c k a bk c, dk

b    d 

Ta có:

 

 

b k

b

d k

d





Từ (1) và (2) suy ra: a b c d

  

- Cách 3: từ a c b d

b   d a c

Ta có: a b a b 1 b 1 d c d

        

Do đó: a b c d

  

- Cách 4: Từ

a c a b a b



   





- Cách 5: từ

b       d a c a c a b c d

Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức a c

b d ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:

;

a b c d a b c d

     

(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

Bài tập 2: chứng minh rằng nếu 2

a bc thì

a)

2 2

2 2

(với ab a, c)

Lời giải:

a) - Cách 1: Xét tích chéo

- Cách 2: từ 2 a c

a bc

b a

  

Đặt a c k a bk c, ak

b    a 

b k

b



0 , (2)

a k

a



Từ (1) và (2) suy ra: a b c a

a b c a

  

- Cách 3: Ta có

2

2

a a b

do a bc

b c a c a

a b

b c a c a



Do đó: a b c a

a b c b

  

Ngược lại từ a b c a

a b c b

  

  ta cũng suy ra được a2 = bc

Từ đó ta có bài toán cho a b c a

a b c b

  

  chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì từ 3 số a,

b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức

- Cách 4: Từ a2 = bc

a b c a

a b c a

b)

- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c)

= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c)

Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c

2 2

2 2





- Cách 2: Từ a2 = bc a c

b a

 

Đặt a c k

b  a suy ra a = bk, c = ak = bk2

2 2 2 2 2 4

2

1

1

a c b k b k

k b



2 2

c k b

k

b  b 

Do đó:

2 2

2 2



- Cách 3: từ a2 = bc a c

b a

 

2 2 2 2 (1)





Từ

2

a

b  a b   b a b 

Từ (1) và (2) suy ra:

2 2

2 2



b c



Do đó:

2 2

2 2







Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là a a a a1, 2, 3, 4 thoả mãn 2 3

2 1 3 ; 3 2 4

a a a a a a chứng tỏ



Giải:

Từ

2 1 2

2 1 3

2 3

3 2 4

3 4

(1) (2)

a a a

a a

a a a

Từ (1) và (2) suy ra

3

(3)

a  a  a a  a  a a a a  a

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

(4)

Từ (3) và (4) suy ra:

 



 

Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:

Cho 1 2 4

a  a a chứng minh rằng

3

    

   

Bài tập 4: Biết bz cy cx az ay bx

    

Chứng minh rằng x y z

a  b c

Giải: Ta có bz cy cx az ay bx abz 2acy bcx baz2 cay cbx2

abz acy bcx bay cay cbx

 

abz acy bz cy



bcx baz2 0 bcx baz cx az z x(2)

Từ (1) và (2) suy ra: x y z

a  b c

Bài tập 5: Cho

c b a

z c

b a

y c

b a

x















z y x

c z

y x

b z

y

x

a















2 2 4 4 (với abc0và các mẫu đều khác 0)

Lời giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

) 1 ( 9

2 2

2 4 4

4 2

2 2

2 4

2 4

4 2

z y x c b a c b a c b a

z y x c

b a

y c

b a

z c

b a

y c

b

a













































) 2 ( 9

2 ) 4 4 ( 2

4 2

2 4

2

2 4

4 2

z y x c b a c b a c b a

b y x c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

b

a















































) 3 ( 9

4 4 4

4 ) 4 4 8 ( 4 8

4

4 4

4 4 8

4 4

8 4

4 4

4 2

2

c

z y x c b a c b a c b a

z y x

c b a

y c

b a

x c

b a

z c

b a

y c

b

a

x

























































Từ (1),(2),(3) suy ra

c

b y x b

z y x a

z y x

9

4 4 9

2 9













suy ra

z y x

c z

y x

b z

y

x

a















Dạng 3: Toán chia tỉ lệ

1 Phương pháp giải

Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết

Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện

Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết

Bước 4:Kết luận

2 Bài tập

Bài tập 1 (Bài 76 SBT-T14): Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và

các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5

Lời giải:

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c0)

Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22

Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có

5 4 2

c b

a  

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có :

11

22 5 4 2 5 4













 b c a b c

a

Suy ra

2 4 2

4

5

a

a b

b c

c

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm

Có thể thay điều kiện (2) như sau: biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có được: c-a=3

Bài tập 2:

Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được

Lời giải:

Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương)

17

119 5

16 6

4 2 5 16

4 6

2 5 4



















b c a b c a b c

a

Suy ra

3

4

5

a

a b

b c

c

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây, 28cây, 35cây

Bài tập 3: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009 Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là

3

2

, giữa số thứ hai và số thứ 3 là

9

4

.Tìm ba số đó

Gọi 3 số phải tìm là a,b,c

Theo bài ra ta có 2; 4

b  c  và 3 3 3

1009

a  b c  

Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9

Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1

5

số thóc ở kho I, 1

6 số thóc ở kho II và 1

11số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc

Lời giải:

Gọi số thóc của 3 kho I, II, III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a, b, c>0)

Số thóc của kho I sau khi chuyển là 1 4

a a a

Số thóc của kho II sau khi chuyển là 1 5

b b b

Số thóc của kho III sau khi chuyển là 1 10

c c c

theo bài ra ta có 4 5 10

5a 6b 11cvà a+b+c=710

5a 6b 11c 5.20a 6.20b 11.20c

710 10

a b c a b c 

  Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250 tấn , 240 tấn, 220 tấn

Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7, 8, 9 chuyển được 912 3

m đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được 3 3 3

1, 2m ;1, 4m ;1, 6m

Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5 Tính số học sinh của mỗi khối

Lời giải:

Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a, b, c (học sinh) (a,b,c là số nguyên dương)

Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a

Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b

Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c

Theo bài rat a có ;

a b bc

Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300

Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn

Vậy số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lượt là 80 học sinh, 240 học sinh, 300 học sinh

Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học

và các trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT

danh tiếng

- H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học

và Sinh Học

- H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã

Hội

II Lớp Học Ảo VCLASS

- Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn

- Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất

lượng học tập

Các chương trình VCLASS:

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ

Hợp dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS

Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên

Toán các trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ

An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

- Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9

-

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Online như Học ở lớp Offline

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các

trường chuyên danh tiếng

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt

ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các

môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi miễn

phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí