THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG.. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS TRUNG HƯNG ĐỀ THI HSG LỚP 7
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Đề số 1
Câu 1 Tìm x biết:
a) 3x−1 +5.3x−1 =162
b) 3x +x2 = 0
c) (x-1)(x-3) < 0
Câu 2
a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:
5 4 3
z y
x = = và 2x2 +2y2 −3z2 =−100
b) Cho
a
d d
c c
b b
a
2 2 2
2 = = = (a, b, c, d > 0)
Tính A =
c b
a d
b a
d c
d a
c b
d c
b a
+
− +
+
− +
+
− +
+
−2010 2011 2010 2011 2010 2011 2010 2011
Câu 3
a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q =
x
x
−
− 12
2 27
(với x nguyên)
Câu 4
a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đối nhau
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( )2
x− + + + +y
Câu 5 Cho ABC vuông tại A M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM =
MD Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ
từ M xuống AC
a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI
b) Chứng minh KN < MC
c) ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD
d) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC Chứng minh rằng các đường thẳng BI, DH, MN đồng quy
ĐÁP ÁN Câu 1
a) 3x−1(1+5) = 162 3x−1 = 27
=> x-1= 3 => x = 4
b) 3x +x2 = 0 x(3 + x) = 0
Trang 2x=0 hoặc x= -3
c) (x-1)(x-3) < 0 vì x-1 > x-3 nên
(x-1)(x-3) < 0 1 3
0 3
0 1
−
−
x x
x
Câu 2
a) Từ
5 4 3
z y x
=
25
100 25
3 2 2 75
3 32
2 18
2 25 16 9
2 2 2 2 2 2
2 2 2
=
−
−
=
−
− +
=
=
=
=
=
x
−
=
−
=
−
=
=
=
=
=
=
=
10 8 6 10 8 6
100
64
36
2
2
2
z y x x y x
z
y
x
( Vì x, y, z cùng dấu)
a b c d a b c d
b c d a b c d a
+ + +
+ + + (do a,b,c,d > 0 => a+b+c+d >0) suy ra a = b = c= d
Thay vào tính được P = 2
Câu 3
a) Ta có x + y + xy =2 x + 1 + y(x + 1) = 3
(x+1)(y+1)=3
Do x, y nguyên nên x + 1 và y + 1 phải là ước của 3 Lập bảng ta có:
Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2)
b) Q =
x
x
−
− 12
2 27
= 2+
x
− 12 3
A lớn nhất khi
x
− 12
3 lớn nhất
* Xét x > 12 thì
x
− 12
3
< 0
* Xét x < 12 thì
x
− 12
3
> 0 Vì phân số có tử và mẫu là các số dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất
Trang 3Vậy để
x
− 12
3 lớn nhất thì
12-x 0
x Z 12-x
x = 11
A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11
Câu 4
a) Ta có:
1 là nghiệm của f(x) => f(1) = 0 hay a + b + c = 0 (1)
-1 là nghiệm của f(x) => f(-1) = 0 hay a - b + c = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2a + 2c = 0 => a + c = 0 => a = -c
Vậy a và c là hai số đối nhau
b) Ta có (x −3+2)2 , x => ( )2
x − + Dấu "=" xảy ra x = 3
3 0
y + , y Dấu "=" xảy ra y = -3
Vậy P = ( )2
x− + + + +y 4 + 2007 = 2011
Dấu "=" xảy ra x = 3 và y = -3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2011 x = 3 và y = -3
Câu 5
a)
- Chứng minh IBM = KCM => IM= MK
- Chứng minh IMC = KMB
=> CI = BK và góc MKB = góc MIC => BK//CI
b) Chỉ ra được AM = MC => AMC cân tại M
=> đường cao MN đồng thời là đường trung tuyến của AMC
=> N là trung điểm AC
AKC vuông tại K có KN là trung tuyến => KN =
2
1
AC
Mặt khác MC =
2
1
BC
nhỏ nhất
Trang 4Lại có ABC vuông tại A => BC > AC =>
2
1
BC >
2
1
AC hay MC > KN Vậy MC > KN (ĐPCM)
c) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt)
=> AI = KD
Vậy để AI = IM = MK = KD thì cần AI = IM
Mặt khác BI⊥AM => khi đó BI vừa là trung tuyến, vừa là đường cao ABM
=> ABM cân tại B (1)
Mà ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên ta cóABM cân tại M (2)
Từ (1) và (2) ruy ra ABM đều => góc ABM = 600
Vậy vuông ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600
Đề số 2
Câu 1: Tìm các số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b
Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn:
a,5x-3 < 2
b,3x+1 >4
c, 4- x +2x =3
Câu3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =x +8 -x
Câu 4: Biết rằng :12+22+33+ +102= 385 Tính tổng : S= 22+ 42+ +202
Câu 5 : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC tại
D
a Chứng minh AC=3 AD
b Chứng minh ID =1/4BD
ĐÁP ÁN
Câu 1: Nhân từng vế bất đẳng thức ta được : (abc)2=36abc
+ Nếu một trong các số a,b,c bằng 0 thì 2 số còn lại cũng bằng 0
+ Nếu cả 3số a,b,c khác 0 thì chia 2 vế cho abc ta được abc=36
+ Từ abc =36 và ab=c ta được c2=36 nên c=6;c=-6
+ Từ abc =36 và bc=4a ta được 4a2=36 nên a=3; a=-3
+ Từ abc =36 và ab=9b ta được 9b2=36 nên b=2; b=-2
- Nếu c = 6 thì avà b cùng dấu nên a=3, b=2 hoặc a=-3 , b=-2
- Nếu c = -6 thì avà b trái dấu nên a=3 b=-2 hoặc a=-3 b=2
Tóm lại có 5 bộ số (a,b,c) thoã mãn bài toán
(0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6)
Câu 2
Trang 5a)5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5đ)
… 1/5<x<1 (0,5đ)
b)3x+1>4=> 3x+1>4hoặc 3x+1<-4 (0,5đ)
*Nếu 3x+1>4=> x>1
*Nếu 3x+1<-4 => x<-5/3
Vậy x>1 hoặc x<-5/3 (0,5đ)
c )4-x+2x=3 (1)
* 4-x0 => x4 (0,25đ)
(1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk) (0,25đ)
*4-x<0 => x>4 (0,25đ)
(1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (loại) (0,25đ)
Câu 3 Áp dụng a+b a+bTa có
A=x+8-xx+8-x=8
MinA =8 <=> x(8-x) 0 (0,25đ)
*
−
0 8
0
x
x
=>0x8 (0,25đ)
*
−
0 8
0
x
x
=>
8
0
x
x
không thoã mãn(0,25đ) Vậy minA=8 khi 0x8(0,25đ)
Câu4 Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102
=22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ)
Câu5
a) Gọi E là trung điểm CD trong tam giác BCD có ME là đường trung bình => ME//BD(0,25đ)
Trong tam giác MAE có I là trung điểm của cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt)
Nên D là trung điểm của AE => AD=DE (1)(0,5đ)
Vì E là trung điểm của DC => DE=EC (2) (0,5đ)
So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ)
A
C
D
E
Trang 6b) Trong tam giác MAE ,ID là đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ)
Trong tam giác BCD; ME là Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ)
So sánh (1) và (2) => ID =1/4 BD (0,25đ)
Đề số 3
Câu 1 Cho:
d
c c
b b
a
=
= Chứng minh:
d
a d c b
c b a
=
+ +
+
Câu 2 Tìm A biết rằng: A =
a c
b b a
c c b
a
+
= +
=
Câu 3 Tìm x Z để A Z và tìm giá trị đó
a) A =
2
3
−
+
x
x
b) A =
3
2 1 +
−
x
x
Câu 4 Tìm x, biết:
a) x−3 = 5
b) ( x+ 2) 2 = 81
c) 5 x + 5 x+ 2 = 650
Câu 5 Cho ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM E BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K AE) Chứng
minh MHK vuông cân
ĐÁP ÁN
Câu 1 Ta có
d
a d
c c
b b
a
= (1)
a c b
c b a d
c c
b b
a
+ +
+ +
=
=
Từ (1) và(2) =>
d
a d c b
c b a
=
+ +
+
Câu 2 A =
a c
b b a
c c b
a
+
= +
=
c b a
+ +
+ +
Nếu a+b+c 0 => A =
2
1 Nếu a+b+c = 0 => A = -1
Câu 3 a) A = 1 +
2
5
−
x để A Z thì x- 2 là ước của 5
=> x – 2 = ( 1; 5)
* x = 3 => A = 6
Trang 7* x = 7 => A = 2
* x = 1 => A = - 4
* x = -3 => A = 0
b) A =
3
7 +
x - 2 để A Z thì x+ 3 là ước của 7
=> x + 3 = ( 1; 7)
* x = -2 => A = 5
* x = 4 => A = -1
* x = -4 => A = - 9
* x = -10 => A = -3
Câu 4
a) x = 8 hoặc - 2
b) x = 7 hoặc - 11
c) x = 2
Câu 5
MHK là cân tại M
Thật vậy: ACK = BAH (gcg) => AK = BH
AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH
Vậy: MHK cân tại M
Đề số 4
Bài 1: Tính
2
x x 03y A
x y
− +
=
− biết
1 x 2
= ; y là số nguyên âm lớn nhất
Bài 2: Cho x 16 y 25 z 9
và 9 x 11 x
2
.Tìm x+y+z
Bài 3: Tìm x, y Z biết 2xy+3x = 4 ; 16 - 72 + 90
Bài 4: Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1
a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức
b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0
Bài 5: Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB Tia phân
giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F
a/ Chứng minh tam giác BFC
b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều
ĐÁP ÁN Bài1:
Trang 8+ Tìm được: x = ; y = -1
+ Với x = - ; y = -1 A = -
+ Với x = ; y = -1 A= -
Bài 2: (2 điểm)
+ Từ + = 2 (2 – x)( + ) = 0 x = 2
+ Thay x = 2 = = = = = 2 (1đ)
+ x + y + z = 100
Bài 3: (2 điểm)
+ Biến đổi được: x(2y + 3) = 4
+ Chỉ ra được x, y Z x Ư(4) và 2y + 3 lẻ
+ Lập bảng
Bài 4: (2 điểm)
a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 đpcm
(hoặc tính được P(1) = 0 đpcm)
b) + Rút được: + x = 3 (1) (0,25đ)
+ Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1
= 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1
+ Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ)
(Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm)
Bài 5:
+ Hình vẽ (phục vụ được câu 1):
a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của BEC
Trang 9 F trung trực BC BFC cân
(học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm)
+ Hạ FK AB FKB = FHC (ch + cgv)
+ Kết luận BFE đều
Đề số 5
Bài 1: Tìm số biết: = = , và x – y + z = 4
Bài 2: Biết + ab + = 25 ; + = 9 ; + ac + = 16 và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c
Chứng minh rằng: =
Bài 3:
a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:
f (x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 - 72 + 90
Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC Các tia phân giác của góc A và góc
C cắt nhau tại O Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC Lấy điểm I trên đoạn
FC sao cho FI = AH Gọi K là giao điểm của FH và AI a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng
ĐÁP ÁN Bài 1:
= = và x, y, z N, x ≠ 0 = =
= = = = = 1
x = 2; y = 3; z = 5 Vậy = 235
Bài 2:
Ta có: + + + ac + = + ab + (vì 9 + 16 = 25)
Suy ra: 2 = a(b – c)
= (vì a ≠ 0; c ≠ 0)
Trang 10 = = = (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)
Bài 3:
a/ (1 điểm) f(x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9 là đa thức bậc 3
biến x khi: - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0
m = 5 và m ≠ -5
Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x
b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 - 72 + 90 = - 2.4 9 + + 9
Với mọi giá trị của x ta có: ≥ 0 g(x) = + 9 ≥ 9
Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9
Khi và chỉ khi = 0
- 9 = 0 = 9 = x =
Bài 4:
Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r)
Ta có: * 112 = 5a + r
5a < 112 a 22 (1)
*a > r 5a + r < 5a + a
112 < 6a
a > 112 : 6
a ≥ 19 (2)
Từ (1) và (2) a = 19; 20; 21; 22
lập bảng số:
Bài 5:
Trang 11a/
- Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn)
suy ra: CH = CF Kết luận FCH cân tại C
-Vẽ IG //AC (G FH) Chứng minh FIG cân tại I
- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK
- Chứng minh AHK = IGK (g-c-g)
- Suy ra AK = KI
b/
Vẽ OE ⊥ AB tại E Tương tự câu a ta có: AEH, BEF thứ tự cân tại A, B Suy ra: BE = BF và AE =
AH
BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI Suy ra: ABI cân tại B
Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng
Trang 12Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí