Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì có các số đo khác nhau một bội nguyên 360o hay 2 b Cung lượng giác: Trên đường tròn định hướng tâm O lấy hai điểm A, B.. Hai cung lư
Trang 1TRƯỜNG THPT THÁI HÒA
BÀI THAM LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG VI GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I) Kiến thức trọng tâm cần giảng dạy :
A) Góc và cung lượng giác :
1) Đơn vị đo góc và cung:
a) Độ: là số đo của góc bằng 1
180 góc bẹt
Kí hiệu: 1o đọc là một độ
1o 60'
; 1' 60 ''
b) Radian: cung có độ dài bằng bán kính đường tròn chứa cung ấy có số đo là 1 radian
Kí hiệu: 1 rad
c) Quan hệ giữ độ và radian:
180o rad 1
180
o
rad
d) Độ dài cung tròn:
Một cung của đường tròn bán kính R có số đo rad thì độ dài là: l R
2) Góc và cung lượng giác:
a) Góc lượng giác: Trên mặt phẳng quay tia Ox quanh O đến tia Oy theo một theo một chiều nhất định thì có một góc lượng giác
Kí hiệu: (Ox,Oy)
Tia Ox là tia đầu (tia gốc), Oy là tia cuối ( tia ngọn)
Quy ước chiều ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương
Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì có các số đo khác nhau một bội nguyên 360o (hay 2 )
b) Cung lượng giác:
Trên đường tròn định hướng tâm O lấy hai điểm A, B Một điểm chạy trên đường tròn theo một chiều nhất định từ A đến B vạch nên cung lượng giác
Kí hiệu:
Điểm A là điểm đầu, B là điểm cuối
Số đo cung lượng giác AB kí hiệu: sđ AB hoặc AB bằng sđ (OA,OB)
Hai cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối có số đo khác nhau bội
360o hay ( bội2 )
3) Hệ thức Salơ
Ba tia chung gốc OA, OB, OC bất kỳ thì:
sđ(OA,OB)+sđ(OB,OC) = sđ (OA,OC) + k360o ( k2 )
Ba điểm A, B, C tùy ý trên đường tròn định hướng thì:
sđ AB + sđ BC = sđ AC + k 360o ( hay k2 )
4) Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
a) Đường tròn lượng giác là đường tròn định hướng có tâm là góc O của hệ trục tọa độ và có bán kính bằng 1
Điểm gốc của cung lượng giác là điểm A(1;0)
b) Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo bằng : Chọn điểm gốc là điểm A (1;0)
Trang 2Chọn điểm ngọn là M sao cho: sđ AM=
B) Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung :
1) Định nghĩa:
Trên đường tròn cho cung lượng giác AM có sđ AM= thì:
Tung độ y của M gọi là sin
Kí hiệu:sin sin y
Hoành độ x của M được gọi là cosin của
Kí hiệu:cos cos x
Nếu cos 0, tỉ số sin
os
c
gọi là tang của
Kí hiệu:tan tan sin
os
c
Nếu sin 0, tỉ số os
sin
c
gọi là côtang của
Kí hiệu: cot cot os
sin
c
Các giá trị sin , os ,tan ,cot c được gọi là giá trị lượng giác của cung
Trục tung gọi là trục sin, trục hoành gọi là trục côsin
2) Hệ quả:
a) 1 sin 1, 1 cos 1, R
sin( k2 ) sin , k Z, os (c k2 ) cos , k Z
b) tan xác định ,
, cot xác định k k Z , tan( k ) tan , k Z, cot( k ) cot , k Z
c) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
-d) Các hệ thức lượng giác cơ bản:
sin cos 1 , tan cot 1
2
1 tan , 1 cot
c
3) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
a) Cung đối nhau: à (- )v
cos( ) cos , sin( ) sin , tan( ) tan , cot( ) cot
b) Cung bù nhau: à ( - )v
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan , cot( ) cot c) Cung phụ nhau: à
2
GTLG
Trang 3sin os , cos sin , tan cot , cot tan
d) Cung hơn nhau : à ( + )v
sin( ) sin , os( c ) cos , tan ( ) tan , cot ( ) cot
C) Công thức lượng giác:
1) Công thức cộng :
os(a b)=cosa.cosb sina.sinb
sin(a b ) sin osb cosa.sinb a c
tana tanb tan( )
1 tan tan
a b
tan tan tan( )
1 tan tan
a b
2) Công thức nhân đôi :
sin 2a2sin osaa c
os2a=cos sin 2 cos 1 1 2sin
c a a a a
2
2 tan tan 2
1 tan
a a
a
3) Công thức hạ bậc:
os , sin , tan
c
4) Công thức biến đổi tổng thành tích:
1 cos cos cos( ) cos( )
2
1 sin sin cos( ) cos( )
2
1 sin cos sin( ) sin( )
2
5) Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2 cos cos
u v u v
u v
cos cos 2sin sin
u v u v
u v
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
II) Phương Pháp Giảng Dạy Phù Hợp:
- Chủ yếu là phương pháp thuyết trình, vì các khái niệm trong chương trình hoàn toàn mới lạ đối với các em
- Chứng minh cho các em một số công thức chính để từ đó các em có thể tìm ra các công thức còn lại
- Hệ thống các công thức nhiều, các em thường lẫn lộn và rất khó nhớ, nên ta cần chỉ ra cách nhớ cho học sinh
Trang 4III) Hệ Thống Các Bài Tập Cần Trình Bày :
A CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC:
1) Bài tập cần trình bày :
- Các bài tập 2, 3/140-Sgk đổi qua lại giữa radian và độ
- Bài tập 4/140-Sgk nhằm tìm độ dài cung
- Bài tập 5,6,7/140-Sgk nhằm biểu diễn cung có số đo cho trước trên đường tròn lượng giác
2) Bài tập bổ sung: ( Mục đích cho học sinh thấy cùng 1 điểm cuối của cung, số đo của các cung hơn kém 1 bội của 360o hay 2 , điểm cuối của cung đặc biệt )
BT1: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm cuối M của cung AM có số đo như sau:
a)
4
6
k (với k là số nguyên tùy ý)
BT2: Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo 7
3
và 19
3
Nêu nhận xét gì về điểm cuối, về số đo của hai cung này
BT3: Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo 390o và 750o Nêu nhận xét gì về điểm cuối, về số đo của hai cung này
BT4: Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các các cung có số đo 17
4
và
7
4
Nêu nhận xét về điểm cuối, về số đo của hai cung này
B) CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG :
1) Bài tập cần trình bày : Bài tập đề nghị giải cho học sinh: 1,2,3,4,5/148-sgk 2) Bài tập bổ sung: (Do thấy bài tập trên chưa dùng hết các công thức ở bài học ) BT1: Các đẳng thức sau có đôeng thời xảy ra không
a)tan 1 à cos =2
b)cos 3 à tan =4
c)tan 5 à cot =12
d) tan 2 1 à cot =1+ 2 v
BT2: Chứng minh các đẳng thức sau:
) os(- )+cos os( +2)+cos 0
) sin( ) sin sin( ) sin 2 0
) cos88 cos89 cos90 cos 91 cos92 0
) sin 88 sin 89 s 90 sin 91 sin 92 1
b
c
Trang 5C MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP CỦA CHƯƠNG :
1 Dạng 1 : Xác định dấu của các giá trị lượng giác của các cung(góc) lượng giác
Phân tích : dạng bài tìm vị trí điểm cuối của cung ( góc ) lượng giác nằm ở
góc phần tư I , II , III , IV Từ đó biết được dấu của các giá trị lượng giác của các cung(góc)
Bài 1 Xác định dấu của các giá trị lượng giác của các cung(góc) sau :
a/ a/ 60 ,120 ,, 120 , 400 0 0 0 0
b
Phân tích : dạng bài tìm vị trí điểm cuối của cung ( góc ) lượng giác nằm ở
góc phần tư I , II , III , IV Từ đó biết được dấu của các giá trị lượng giác của các cung(góc)
Giải :
a/ - Điểm cuối của góc có số đo bằng 60 0 nằm ở góc phần tư I
Nên suy ra sin 60 0 0,cos 60 0 0, tan 60 0 0,cot 60 0 0
- Điểm cuối của góc có số đo bằng 120 0 nằm ở góc phần tư II Nên suy ra sin120 0 0, cos120 0 0, tan120 0 0,cot120 0 0
- Điểm cuối của góc có số đo bằng 120 0 nằm ở góc phần tư III Nên suy ra sin( 120 ) 0,cos( 120 ) 0, tan( 120 ) 0,cot( 120 ) 0 0 0 0 0
- Điểm cuối của góc có số đo bằng 400 0 nằm ở góc phần tư IV
sin( 400 ) 0,cos( 400 ) 0, tan( 400 ) 0,cot( 400 ) 0
b/ - Điểm cuối của góc có số đo bằng
4
nằm ở góc phần tư I Nên suy ra sin 0,cos 0, tan 0,cot 0
Ta làm tương tự các góc còn lại
Bài 2 Xác định dấu của các giá trị lượng giác của sin , cos , tan , cot ,biết
/ 0
2
2
b 3
2
/ 3
2
d
Bài 3 Cho 0
2
Xác định dấu của các biểu thức
/ sin( )
a b/ cos( )
Trang 6/ cot( )
/ tan
2
d
2 Dạng 2 : Tính các giá trị lượng giác của các cung(góc) lượng giác
Phương pháp:
Dạng bài cần dùng các công thức lượng cơ bản và xác định được dấu của các giá trị lượng giác
Bài 1 Cho 0
2
Tính các giá trị lượng giác của các cung(góc) lượng giác, biết :
1 / sin
3
/ cos
5
b
/ cot 4
c d/ tan 3
Giải :
a/ Ta có 0
2
suy ra điểm cuối của góc nằm ở góc phần tư thứ I Nên suy ra cos 0, tan 0, cot 0
Mặt khác : sin 2 cos 2 1
9 9
2 2
3
2 2
3
n l
Vậy cos 2 2; tan sin 1 ;cot 1 2 2
d/ Ta có 0
2
suy ra điểm cuối của góc nằm ở góc phần tư thứ I Nên suy ra cos 0,sin 0, cot 0
Mặt khác : 2
2
1
1 tan
cos
2
2
cos
1 tan 1 9 10
10
10 10
10
n l
Trang 7Vậy cos 10;cot 1 1;sin tan cos 3 10
Ta làm tương tự các câu còn lại
2
Tính các giá trị lượng giác của các cung(góc) lượng giác, biết :
2 / sin
3
/ cos
4
b
/ cot 4
c d/ tan 2
3 Dạng 3 : Thu gọn ( tính giá trị ) của các biểu thức
Phương pháp:
Dạng bài cần dùng các công thức lượng cơ bản và các công thức lượng giác khác
Bài 1 : Thu gọn các biểu thức sau :
/ 1 cos 1 cos cot
/ 1 cot sin cos
b B x x x
/ 1 sin cos
c C x x
d D x x x x
Phân tích :
a/ Nhìn tổng quan đề bài ta có thể biến đổi được dạng công thức
a b a b a2 b2
Nên ta thấy 1 cos x 1 cos x 1 cos2x
Ta biết sin 2 cos 2 1 Suy ra 1 cos 2 x sin 2x
Mặt khác ta có cot cos
sin
x x
x
Cuối cùng ta thu gọn sin cot 2x 2x cos 2 x
a/ Nhìn tổng quan đề bài ta có thể biến đổi được dạng công thức
2
2
1
sin
co x
x
Khi đó 2
2
1 sin 1 sin x x
Và 1 cos 2x sin 2x
Giải :
/ 1 cos 1 cos cot
2
1 cos cot sin cot cos
x
Trang 8
2 2 2
/ 1 cot sin cos
b B x x x
2 2 2
1 sin cos sin
1 cos sin
x x x
Ta làm tương tự các câu còn lại
Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau :
2
A x x
2
B x x
C x x x
3
D x x x x
Phương pháp:
Dạng bài cần dùng các công thức lượng giác Cung ( góc ) đối nhau ,
bù nhau , phụ nhau hơn kém nhau ( )
Phân tích :
Nhìn tổng quan đề bài ta có thể biến đổi được dạng công thức lượng giác Cung ( góc ) đối nhau , bù nhau , phụ nhau hơn kém nhau ( )
Và nhớ câu nói có vần “cos đối , sin bù , phụ chéo , hơn kém nhau
tan ( cot)”
Giải :
2
A x x
sin sin
0
2
B x x
cos( ) cos( )
0
C x x x
sin cos sin( )
sin cos sin
cos
x
Trang 9
3
D x x x x
sin sin tan cot
2 2sin cot cot
2sin
x
Bài 3 : Tính giá trị các biểu thức sau :
cos sin sin cos
A
B
4cos sin .sin
2
tan 8
1 tan
8
D
Phân tích :
Nhìn tổng quan đề bài ta thấy A, B , D có dạng bài toán giống như câu nói có vần :
+ sin thì sin cos cos sin
+cos thì cos cos sin sin dấu trừ
+ tan thì trên tử tổng tan ,dưới thì một trừ tích tan
Nên ta sẽ áp dụng công thức cộng
C có dạng sina.cosa nên ta sẽ dùng công thức nhân đôi
Giải :
cos sin sin cos
A
cos sin sin cos
sin cos cos sin
sin
6 3 sin
6 1 2
B
Trang 10
3 cos
cos
2 0
1 tan 2 1 tan
D
Bài 4 ( nâng cao ) : Rút gọn các biểu thức sau
1 sin 2 sin cos
a A
cos sin
B a a
cos 6cos sin sin
C a a a a
1 1 1 1 1 cos
,0
a
Phân tích :
Nhìn tổng quan đề bài ta thấy
A: Có thể dùng công thức a b 2 a2 2ab b 2 để khai triển mẫu thức
B : Có thể dùng công thức a2 b2 a b a b với a cos , 2a b sin 2b
C: Có thể biến đổi
cos a 6cos asin a sin a cos a 2cos asin a sin a 4cos asin a
Sau đó dùng công thức a b 2 a2 2ab b 2 với a cos , 2a b sin 2b
D: Ta nhớ câu nói có vần : “Cos bình khi đứng một mình
Cos hai cộng một , chia đôi tổng này ”
Giải :
sin 2sin cos cos sin cos
A
1 sin 2 1
1 sin 2
a a
Trang 11
cos 6cos sin sin
C a a a a
2
cos 2cos sin sin 4cos sin
cos sin sin 2
cos 2 sin 2
cos 4
a
1 1 1 1 1 cos
,0
a
1 1 1 1cos
a
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
sin 7 sin 4 sin
cos 7 cos 4 cos
E
sin 2 cos 2
sin cos
F
sin 5 2sin (cos 2 cos 4 )
G a a a a
4 Dạng 4 : Chứng minh
Phương pháp:
Dạng bài cần dùng các công thức lượng giác để rút gọn hay biến đổi những vế phức tạp thành đơn giản giống vế còn lại
Bài 1 : Chứng minh các đẳng thức sau :
/ cos95 cos 25 cos30 0
Phân tích :
Nhìn tổng quan đề bài ta thấy vế trái có 2 góc không có dạng góc đặc biệt,
nên ta sẽ biến đổi về dạng góc đặc biệt với việc ta nhớ câu nói có vần :
“Cos cộng cos bằng hai lần cos cos”
Giải :
Trang 120 2 0
/ cos95 cos 25 cos30 0
Ta có cos95 0 cos 25 2 cos30 0 2 cos 60 cos 30 0 0 cos 30 0
1
2 cos 30 cos30 cos30 cos 30 0
2
/ sin cos 2 sin
4
b x x x
Phân tích :
Nhìn tổng quan đề bài ta thấy vế phải biến đổi được theo công thức
cộng với việc ta nhớ câu nói có vần : “Sin thì sin cos cos sin”
Giải :
/ sin cos 2 sin
4
b x x x
Ta có 2 sin 2 sin cos cos sin
sin sin 3
cos cos 3
Phân tích :
Nhìn tổng quan đề bài ta thấy vế trái biến đổi được theo công thức
cộng với việc ta nhớ câu nói có vần : “Sin thì sin cos cos sin
cos thì cos cos sin sin dấu trừ”
Giải :
sin sin 3
cos cos 3
Ta có sin sin 3 2sin 2 cos sin 2 tan 2
cos cos 3 2cos 2 cos cos 2
x
minh )
/ sin cos cos sin
4
x
d x x x x
Phân tích :
Nhìn tổng quan đề bài ta thấy vế trái có nhân tử chung là sin cosx x , ta đặt nhân tử chung sẽ thấy được công thức lượng giác
cos x sin x cos 2x
Giải :
/ sin cos cos sin
4
x
d x x x x
Ta có
Trang 13
sin cosx x cos sinx x sin cosx x cos x sin x
sin 2 cos 2
x
( điều phải chứng minh )
Bài 2 : Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
cos sin cos sin
A x x x x
cos 3sin cos sin
B x x x x
3
C x x x x
Phân tích :
Nhìn tổng quan đề bài ta thấy
A , B : có thể áp dụng công thức lượng giác cơ bản và hằng đẳng thức để rút gọn
C : Ta có thể biến đổi dựa trên câu nói có vần :
“cos thì cos cos sin sin dấu trừ”
5 Dạng 5 : Tìm x ( giải phương trình lượng giác cơ bản )
Phương pháp:
Dạng bài cần dùng đường tròn lượng giác và công thức lượng giác về 2cung đối nhau , 2 cung bù nhau , 2 cung phụ nhau , 2 cung hơn kém nhau
( )
Bài 1 : Tìm x , biết :
/ sin 1
a x b/ sinx 1 c/ cosx 1
/ cos 1
d x e/ tanx 1 f / cotx 1
/ sin 0
g x h/ cosx 0 k/ tanx 0
Giải :
2
a x x k k Z , / sin 1 2 ,
2
b x x k k Z
c x x k k Z , d/ cosx 1 x k2 , k Z
4
e x x k k Z , / cot 1 ,
4
f x x k k Z
g x x k k Z , / cos 0 ,
2
h x x k k Z
k x x k k Z
Trang 14III.KẾT LUẬN( RÚT KINH NGHIỆM )
- Giảng dạy cho học sinh học phần lượng giác có nhiều kiến thức , công thức từ cấp hai ( các hằng đẳng thức đáng nhớ ) lên lớp 10 , ta lại kết hợp thêm nhiều kiến thức , công thức lượng giác mà rất dễ nhầm lẫn Cho nên ,
để làm tốt phần lượng giác , học sinh cần phải nhìn tổng quan đề bài ,sau
đó áp dụng công thức lượng giác phù hợp ( đối với học sinh khá giỏi ) Nhưng đối với học sinh trung bình và yếu thì các em có thể sẽ nhớ các câu nói có vần mà từ đó vận dụng để giải các bài tập cơ bản và có thể các bài tập khó hơn
- Tôi đã công tác trong ngành đến nay là năm học thứ bảy , tôi thấy trong năm đầu khả năng nhớ các công thức lượng giác của các em còn rất kém , vì thế trong các kỳ kiểm tra, kỳ thi, điểm còn thấp Và những năm sau, tôi hướng dẫn các em cách nhớ công thức lượng giác thông qua câu nói có vần
mà tôi đã trình bày ở phần trên đã có kết quả tích cực hơn
- Trong bài tham luận tôi viết , các câu có vần nếu xét về chính tả thì chưa đúng nhưng khi phát ra âm thì có vần Kính mong quý đồng nghiệp thông cảm và cùng chia sẻ rút kinh nghiệm