Trung điểm của đoạn thẳng: là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng. Trung điểm của đoạn thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB[r]
Trang 1CÁC DẠNG TOÁN VỀ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG
I LÍ THUYẾT
Trung điểm của đoạn thẳng: là điểm nằm giữa và cách đều hai đầu đoạn thẳng Trung điểm của đoạn
thẳng còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng
Ví dụ 1: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB
Ta có:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA = MB và M nằm giữa hai điểm A, B
Hoặc M là trung điểm của đoạn thẳng AB AM MB AB
+ =
=
Hoặc M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 1
2
Ví dụ 2: Trên tia lấy ba điểm A, M, B Biết OA = 8, OB = 14 và OM = 11 Chứng minh rằng M là trung
điểm của AB
Hướng dẫn giải:
Ta có: OA < OM < OB ⇒ M thuộc đoạn thẳng AB
Ta lại có: MA = OM - OA = 3; MB = OB - OM = 3 ⇒ MA = MB (2)
Từ (1), (2) ⇒ M là trung điểm của đoạn thẳng AB
II CÁC DẠNG TOÁN
1 Dạng 1 NHẬN BIẾT MỘT ĐIỂM LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG
Phương pháp giải
Vận dụng định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng Để chứng tỏ M là trung điểm của AB, phải có đủ để
hai điều kiện :
– M nằm giữa A và B (hoặc AM + MB = AB)
– MA = MB
Ví dụ 1
Trên tia Ox, vẽ hai điểm A, B sao cho OA = 2cm ; OB = 4cm
a) Điểm A có nằm giữa hai điểm o và B không ?
b) So sánh OA và AB
c) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng OB không ? Vì sao ?
Giải
a) Điểm A nằm giữa O và B vì A và B đều nằm trên tia Ox và OA < OB
Trang 2b) Điểm A nằm giữa O và B nên :
OA + AB = OB;
AB = OB – OA = 4 – 2 = 2 (cm)
Vậy : OA = AB
c) Điểm A là trung điểm của OB vì A nằm giữa O và B và OA = AB
Ví dụ 2
Cho hai tia đối nhau Ox, Ox’ Trên tia Ox vẽ điểm A sao cho OA = 2cm Trên tia Ox’ vẽ điểm B sao cho
OB = 2cm Hỏi O có là trung điểm của đoạn thẳng AB không ? Vì sao ?
Giải
Hai tia OA, OB đối nhau nên O nằm giữa A và B Lại có OA = OB = 2cm nên O là trung
điểm của AB
Ví dụ 3
Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng xx’, yy’ Trên xx’ vẽ đoạn thẳng CD dài 3cm, trên yy‘ vẽ đoạn
thẳng EF dài 5cm sao cho o là trung điểm chung của cả hai đoạn thẳng ấy
Hướng dẫn
Trên tia Ox vẽ điểm C sao cho : OC = 3:2 = 1,5 (cm)
Bạn đọc tự vẽ các điểm D, E , F
Ví dụ 4
Cho đoạn thẳng AB dài 6cm Gọi c là trung điểm của AB Lấy D và E là hai điểm thuộc đoạn thẳng AB
sao cho AD = BE = 2cm Vì sao C là trung điểm của DE ?
Giải
Trang 3Vì C là trung điểm của AB nên C nằm giữa A, B (1) và CA = CB = 6:2 = 3(cm)
Trên tia AB có : AD < AC (2 < 3) nên điểm D nằm giữa A và c (2) do đó :
CD = AC – AD = 3 – 2 = 1(cm)
Lập luận tương tự ta được điểm E nằm giữa B và c (3) và CE = 1 cm
Từ (1), (2), (3) suy ra điểm C nằm giữa D và E Mặt khác có:
CD = CE (= 1 cm) nên c là trung điểm của DE
Ví dụ 5 Cho điểm o nằm giữa hai điểm A và B sao cho AO = 1/2 AB
Chứng tỏ rằng O là trung điểm của AB
Giải
Điểm O nằm giữa A và B (1) nên :
AO + OB = AB ; OB = AB – OA ;
OB = AB – 1/2AB = 1/2 AB
Do đó OA = OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra o là trung điểm của AB
Ví dụ 6 Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm Điểm c nằm giữa A và B sao cho
AC = 1/3 AB Điểm o nằm trên tia CB sao cho CO = 1/2 AC
Chứng tỏ rằng O là trung điểm của AB
Giải
AC = 1/3 6 = 2(cm); CO = 1.2 2 = 1 (cm)
Hai tia CA , CO đối nhau nên C nằm giữa A và O do đó :
AO = AC + CO = 2 + 1 = 3(cm)
Trên tia AB có AO < AB (3 < 6) nên O nằm giữa A và B, mặt khác
AO = 1/2 AB nên o là trung điểm của AB
2 Dạng 2 CHỌN CÂU TRẢ LỜI ĐÚNG ; ĐIỀN VÀO CHỖ TRỐNG
Trang 4Chọn câu bao gồm đủ hai điều kiện của định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng
Ví dụ 7
Khi nào ta kết luận được điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB ? Em hãy chọn những câu trả lời
đúng trong các câu trả lời sau :
a) Cho biết IA = IB ;
b) Cho biết AI + IB = AB ;
c) Cho biết AI + IB = AB và IA = IB ;
d) Cho biết IA = IB = AB/2
Hướng dẫn
Câu c), câu d) đúng
Ví dụ 8
Xem hình 96 Đo các đoạn thẳng AB, BC, CD, CA rồi điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau :
a) Điểm C là trung điểm của … vì…
b) Điểm C không là trung điểm của … vì C không thuộc đoạn thẳng AB
c) Điểm A không là trung điểm của BC vì…
Hướng dẫn
a) BD vì C nằm giữa B, D và CB = CD (= 2,5 cm);
b) AB ;
c) A không nằm giữa B và C
3 Dạng 3 TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG
Phương pháp giải
Dựa vào nhận xét : khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng đến mỗi đầu đoạn thẳng bằng nửa độ
dài của đoạn thẳng ấy
Ví dụ 9 Cho đoạn thẳng AB Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AM Giả sử AN = l,5cm
Tính AB
Hướng dẫn
Trước hết tính AM được AM = 3cm, sau đó tính AB được AB = 6cm
Trang 5Ví dụ 10 Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó Lấy điểm o nằm giữa A và M
Hãy chứng tỏ rằng OM = (OB – OA)/2
Giải
Điểm o nằm giữa A và M nên AO < AM;
M là trung điểm của AB nên AM = MB < AB
Suy ra AO < AM < AB,
Do đó M nằm giữa o và B, ta có OM = OB – MB (1)
Mặt khác OM = MA – OA (2)
Từ (1) và (2) suy ra OM + OM = OB – MB + MA – OA hay
2OM = OB – OA, do đó OM= (OB – OA)/2
4 Dạng 4 TÌM TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG
Phương pháp giải
Xét từng điểm, chọn điểm nào thỏa mãn định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng
Ví dụ 11 Tìm trên hình 99, những điểm là trung điểm của đoạn thẳng,
biết rằng AB = BC = CD = DE
Hướng dẫn
B là trung điểm của đoạn thẳng AC;
C là trung điểm của đoạn thẳng BD; AE;
D là trung điểm của đoạn thẳng CE
Ví dụ 12 Cho điểm O nằm giữa A và B Gọi M và N thứ tự là trung điểm của OA và OB
Biết AB = a, tính MN
Giải
M là trung điểm của OA nên M nằm
giữa A và O ; MO = 1/2 AO N là trung điểm của OB nên N nằm giữa B và O ; ON = 1/2 OB
Ta lại có O nằm giữa A và B (đề bài) nên O nằm giữa M và N Suy ra :
MN = MO + ON = (AO+OB)/2 = AB/2 = a/2
Trang 6Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí