- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS THẠCH HOÀ ĐỀ THI HSG LỚP 6
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Đề số 1
Bài 1: ( 5 điểm)Cho:
Tìm x biết:
Bài 2: ( 4 điểm )Tìm hai số có tổng là 504 , số ước số chung của chúng là 12 và số lớn không chia hết cho
số nhỏ
Bài 3: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME
= MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ EH⊥BC (HBC) Biết HBE = 50 ;0 MEB = 250 Tính HEM và BME
Bài 4: ( 2 điểm ) Chứng minh rằng : 21995 < 5863
ĐÁP ÁN Bài 1
A = 1
3 8
1
8 13
1
13 18
1
33 38
1 5
1 3
1 38
3 10
1
10 17
1
31 38
1 7
1 3
1 38
7
5 5
7 7
1 : 5
1
=
=
=
A
B B
A
5 4
2
2
9
63
55
24
24
=
−
x
4
11 7
5 4
7
55
=
=
−
=
x
38 31
1 31 24
1 24 17
1 17 10
1 10 3 1
38 33
1 18
13
1 13 8
1 8 3 1
+ +
+ +
=
+ + +
+
=
B
B
−
+
4 8
4 5 2 9
5 27 7
3 28
8
12 26
Trang 2Bài 2 Gọi a là số lớn, b là số nhỏ
a+b =504 =23 32 7
(a,b)=d d có 12 ước số
504 d d= 2m 3n 7p (m 3 , n 2 , p 1 )
có : ( m+ 1) ( n+ 1 )( p + 1 ) =12 = 22 3
Có a= a'd, b=b'd , với (a', b')= 1
Vì a>b a' >b', a b b' 1
Nếu d= 72 a' + b' =7 có bảng
Nếu d= 84 a' + b' =6 không có giá trị của a' và b'
Nếu d= 126 a' + b' =4 không có giá trị của a' và b'
Bài 3:
a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có :
AM = EM (gt )
AMC=EMB (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
K
H
E
M B
A
C I
Trang 3Nên : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB
Vì AMC = EMB MAC=MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE
b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có :
AM = EM (gt )
MAI =MEK ( vì AMC= EMB )
AI = EK (gt )
Nên AMI = EMK ( c.g.c ) Suy ra: AMI =EMK
Mà AMI+IME=1800 ( tính chất hai góc kề bù )
180
EMK+IME=
Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/ (1 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H =900 có HBE =500
HEM =HEB MEB− = − =
BME BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM
Nên BME=HEM +MHE=150+900 =1050
( định lý góc ngoài của tam giác )
Bài 4: Cminh 21995 < 5 863
Có : 210 =1024, 55 =3025 210 3 <55
21720 3172 <5860
Có 37 =2187 ; 210 =1024 37 >211
3172 = (37)24 34 > (211)24 > (211) 26 = 2270
21720.2270 < 21720 3172 < 5860
Vậy 21990 <5860
25 < 53 21995 <5863
Đề số 2
Bài 1: ( 4 điểm )
Tìm các chữ số a,b sao cho số12a4b1996 chia hết cho 63
Bài 2: ( 4 điểm )
Một người đi xe đạp từ A về B với vận tốc 12 km/h Lát sau một người thứ hai cũng đi từ A về B với vận tốc 21 km/h Tính ra hai người sẽ gặp nhau tại B Sau khi đi được nửa quãng đường người thứ hai tăng vận tốc lên 24 km/h vì vậy hai người gặp nhau khi còn cách B 7 km Tính chiều dài quãng đường AB
Trang 4Bài 3: ( 4 điểm )
Tìm các số tự nhiên a,b thoả mãn điều kiện:
29
23 17
11
b
a
và 8b - 9a = 31
Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
a) A = x + 5 + 5
b) B =
2 2
x 17
+ +
ĐÁP ÁN Bài 1: Đặt 12a4b1996=N
N 63 N 9 và N 7
N 9 (1+2+a+4+b+1+9+9+6 ) 9 (a+b+5) 9 (a+b) {4,13}
N = 120401996 + 1000000a + 10000b 7 (a+4b+1) 7
+ Nếu a+b = 4 (4+3b+1) 7 (3b + 5) 3b : 7 dư 2
b = 3 a = 1 + Nếu a+b = 13 (13+3b+1) 7 3b 7 b 7 b {0; 7}
b = 7 ; a = 6
Bài 2:
Hiệu vận tốc trên nửa quãng đường đầu là 21 - 12 = 9 (km/h)
sau là : 24 - 12 = 12(km/h)
Do trên nửa quãng đường sau hiệu vận tốc bằng
3
4
hiệu vận tốc trên nửa quãng đường đầu(theo
dự định) Nên thời gian xe thứ 2 đi từ giữa quãng đường đến chỗ gặp bằng
4
3
thời gian xe 2 đi nửa quãng đường đầu
Thời gian xe 2 đi nửa quãng đường là:
3
7 4 12
7
= (h)
Quãng đường AB dài là: 2.21 98( )
3
7
km
=
Bài 3: Tìm a,b N sao cho
29
23 7
11
b a
và 8b - 9a = 31
Trang 58b - 9a = 31 b =
8
8 1 32 8
9
31+ a = − + a+a
N (a-1) 8 a = 8q + 1(q N)
b =
29
23 5 9
1 8 17
11 5
9 8
) 1 8 ( 9 31
+
+
+
= + +
q
q q
q
11(9q+5) < 17(8q+1) 37q > 38 q > 1
29(8q+1) < 23(9q+5) 25q < 86 q < 4 q {2; 3}
q = 2
17
23
=
b
a
q = 3
25
32
=
b a
Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = x + 5 + 5
Ta có : x + 5 0 Dấu “=” xẩy ra x = - 5 A 5
Vậy: Min A = 5 x = - 5
b) B =
2 2
x 17
+ + =
2
10
x + 7
Ta có: x2 0 Dấu = xảy ra x = 0 x2 + 7 7 (2 vế dương)
210
x + 7
10
7 => 1 + 2
10
x + 7 1 +
10
7 B 17
7
Dấu “=” xảy ra x = 0
Vậy: Max B = 17
7 x = 0
Đề số 3
Câu 1: (6 điểm) Thực hiện dãy tính
102
12 16 36
15 13 25 , 18 7
49
21 : 600
33 415 , 0 65
39 : 75
3 54
21
2 − + −
+
Câu 2: (5 điểm) Tìm 2 số tự nhiêna, b, thoả mãn: a + 2b = 48 và (a, b) + 3[ a, b] = 114
Câu 3 Cho tam giác ABC (CA < CB), trên BC lấy các điểm M và N sao cho BM = MN = NC Qua điểm
M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN tại I
a) Chứng minh: I là trung điểm của AN
Câu4: (6 điểm) Cho
ĐÁP ÁN
B
A sè tû Ýnh 57
23
11 43 23
3 43 19
5 31 19 7
57 10
7 41 10
9 41 7
6 7 31 4
T B
A
+ +
+
=
+ +
+
=
Trang 6Bài 1:
2861 102 25
56 : 25
1 18 7 17
2 16 12
5 13 4
1 18 49
7
3 : 200
11 200
83 5
3 : 25
1 18
7
+
=
− +
−
+
=
17 8 7 3 2
15247 102
56
2861 18
7 56 2861 25
102 25 1 8
7 102 25
2861 56 : 25
1 8
7
2
= +
= +
= +
Bài 2: a+2b = 48 và (a,b) + 3 [a,b] = 114
114 3 ; 3[a,b] 3 (a,b) 3 và a + 2b = 48 a 2 a 6
a { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42}
Câu 3:
Từ I kẻ đường thẳng // BC cắt AB tại H Nối MH
Ta có: BHM = IMH vì:
BHM = IMH(so le trong)
BMH = IHM(so le trong)
Cạnh HM chung =>BM = IH = MN
AHI = IMN vì:
IH = MN (kết quả trên)
A
B
H
I
Trang 7AHI = IMN ( ABC) =
AIH = INM (đồng vị)
=> AI = IN (đpcm)
Bài 4: A =
57 31
130 57
41
80 41 31
50 57
7 41
9 10
1 41
6 31
4 7
1 57 10
7 41 10
9 41 7
6 7 31
4
= +
=
+ +
+
= +
+ +
B=
57 31
52 57
43
28 43 31
24 57
11 43
3 23
1 43
5 31
7 19
1 57 23
11 43 23
3 43 19
5 31
19
7
= +
=
+ +
+
= +
+ +
52
130
=
B
A
Đề số 4
Câu 1: a, Cho chia hết cho 37 Chứng minh rằng chia hết cho 11
b, Tìm x biết chia hết cho 7
Câu 2 : Tìm x:
Câu 3 : So sánh:
Câu 4 : Tính tổng:
Câu 5 : Một cửa hàng bán trứng trong một số ngày Ngày thứ nhất bán 100 quả và số còn lại Ngày
thứ hai bán 20 quả và số còn lại Ngày thứ nhất bán 300 quả và số còn lại Cứ bàn như vậy thì
vừa hết số trứng và số trứng bàn mỗingày đều bằng nhau Tính tổng sổ trứng đã bán và số ngày cửa hàng
đã bán
ĐÁP ÁN Bài 1: Không chứng minh được điều này vì:
Xét : abc+deg=127+465=59237
abcdeg =127465 11
b) 20x20x20x20x=20x.1001001
deg +
x x x
x20 20 20 20
96
23 2 9
2 3
1 3
49
12 15
1 2
1 20 3
11
2 5 11
10 5
1 4
7
6 16
1 1 5
3 : 6
=
•
+
•
+ −
− +
•
•
−
x
1 1999
1 1999
vµ 1 1999
1 1999
2009 1989 2000
1999
+
+
= +
+
M
308 305
4 14
11
4 11 8
4 8
5
4
30 29 28 27
1 6
5 4 3
1 5 4 3 2
1 4 3
2
1
1
+
•
•
• + +
+
=
+
•
•
• + +
+
=
B
A
10 1
10
1
10 1
Trang 8 20 x 7 (200 + x ) 7 (4 + x ) 7 x = 3
Bài 2:
32
9 7 1 11
57 11 42 56
51 10
9
5 3 49
12 60 35
11
57 11
10 5 21
7
6 16
17 3
5 : 6
− +
−
=
− +
−
=
2016
1955 224
9 504
509 32
9 7
1 99
11 56
509
=
−
=
−
391
121 2 391
903 1955
2016 96
215 96
215 2016
1955
=
=
=
x
Bài 3:
19991999 + 1 > 19991989 + 1
19992000 + 1 < 19992009 + 1
1 1999
1 1999
1 1999
1 1999
2009 1989 2000
1999
+
+
= +
Bài 4:
+ + +
− + +
=
+ + +
− + + +
+
=
+ + +
− +
= + + +
= + + +
) 3 )(
2 )(
1 (
1 )
2 )(
1 (
1 3
1 ) 3 )(
2 )(
1 ( ) 3 )(
2 )(
1 (
3 3
1
) 3 )(
2 )(
1 ( 3
3 )
3 )(
2 )(
1 ( 3
3 )
3 )(
2 )(
1
(
1
n n n n
n n n
n n n
n n
n n
n
n
n n n n
n n n
n n n n
n n
n
A =
30 29 28 27
1
6 5 4 3
1 5 4 3 2
1 4 3 2
1
=
8120
451 30
29 28
4059
3
1 30 29 28
1 3
2 1
1 3
1
=
=
B =
485
303 308 5 3
303 4 308
1 5
1 3
4 308
1 305
1 3
4
11
1 8
1 3
4 8
1 5
1
3
4
=
=
−
=
+ +
+
− +
−
Bài 5: Ngày thứ nhất bán 100 quả và
10
1
số trứng còn lại Ngày thứ hai bán 200 quả và
10
1
số trứng còn
lại mà số trứng hai ngày bán như nhau
10
1
số trứng còn lại sau khi lấy 100 quả nhiều hơn
10
1
số trứng
còn lại sau khi lấy 200 quả là 100 quả Cứ như vậy số trứng chênh lệch trước khi lấy
10
1
số trứng còn
lại sau mỗi lần lấy là 1000 quả Lần cuối cùng còn
10
9
số trứng còn lại là 900 quả ngày thứ nhất lấy
900 quả trứng
Số trứng là (900 - 100) :
10
1
+ 100 = 8100 (quả)
Số làn lấy trứng là 8100 : 900 = 9 (lần)
Trang 9Đề số 5
Câu 1: (3 điểm) Tìm các chữ số a, b sao cho chia hết cho 63
Câu 2 : (6 điểm) Thực hiện dãy tính
Câu 3 : (4 điểm) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số mà khi ta đem số ấy nhân với 5 rồi cộng thêm 6 ta được
kết quả là số có 4 chữ số viết bởi các chữ số như số ban đầu nhưng viết theo thứ tự ngược lại
Câu 4: Cho góc xOy Trên Ox lấy hai điểm A và B, trên Oy lấy hai điểm C và D sao cho OA = OC, AB =
CD Chứng minh: ABC = ACD
Câu 5 : (3 điểm) Cho 7 số tự nhiên tuỳ ý Chứng minh rằng bao giờ ta cũng có thể chọn được 4 số mà
tổng của chúng chia hết cho 4
ĐÁP ÁN Bài 1: 12a96b:63 giống bài 1 đề số 5
Bài 2:
540
77 6 25
11 28 72 5 11
6 28 25 4
1 72 23
24
1 28
3 : 4
1 7 3
4
7 3
8 11
3 23
72 : 9
2 45
14 15 7
−
−
−
Bài 3: Gọi số đó là abcd
abcd 5 + 6 = abcd a < 2 a = 1 d 5
bcd
1 5 +6 = dcb d là số lẻ d {5,7,9} 1
d = 5 1bc5.5+6=5cb1
5000 + 500b + 50c + 31 = 5000 + 100c + 10b + 1
5
196 4
9 5
196 49
5
196 4
→ +
=
→
−
b q
b N b
b = 4 c = 0
b = 9 c = 51 Loại
Nếu d = 9 c = 9b + − → 0;5 →
5
395 4
b
b
loại
Số đó là 1407
Câu 4
b a96 12
−
−
−
−
24
1 28
3 : 25 , 0 7 3
75 , 1 3
2 2 11
3 23
3 3 : 153
34 4545
1414 15
7
2
Trang 10y D
C
x B
A
O
Già thiết: góc xOy ; OA=OC, AB=CD
Kết luận: a) ABC = ACD
b) ABD = BCD
(Hình vẽ và GT, KL 0,5đ)
Xét OAD và OCB có:
- Góc O chung
- OA = OC (gt)
- OB = OD
Do đó: OAD = OCB (c-g-c) AD = BC
a) Xét ABC và ACD có
- AB = CD (gt)
- AC chung
- AD = BC
Do đó: ABC = ACD
Bài 5: Gọi 7 số đó là a1; a2; a7
Trong 3 số tự nhiên tuỳ ý bao giờ cũng có 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ Tổng của chúng là một
số chẵn Xét a1, a2, a3 :
Không mất tính tổng quát giả sử a1,2 = a1+ a2 là số chẵn
Xét a4, a5, a6 a4,5 là số chẵn
Xét a3, a6, a7 a3,6 là số chẵn
Xét a1,2; a4,5 ; a3,6 là số chẵn ta chia số này cho 2 b1,2 ; b4,5 ; b3,6
b1,2,4,5 = b1,2 + b4,5 là số chẵn
a1,2 +a4,5 = 2( b1,2 + b4,5 ) vì (b1,2 + b4,5 ) 2
(a1,2 + a4,5 ) 4
(a1 + a2 + a4 + a5 ) 4 Vậy trong 7 số tự nhiên tuỳ ý bao giờ có thể chọn được số mà tổng của chúng 4
Trang 11Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí