BÁO CÁO KẾT QUẢNGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀTên chuyên đề:VẬN DỤNG HỆ THỨC VI – ÉT VÀO GIẢI MỘTSỐ DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LỚP 10

Từ cách nghĩ và cách làm đó tôi đã viếtchuyên đề : Vận dụng hệ thức Vi –Ét vào giải một số dạng toán ôn thi vào lớp 10 Trong khuôn khổ của chuyên đề dù biết không thể đề cập hết các phươ

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ VĨNH YÊN

TRƯỜNG THCS TÔ HIỆU

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

"RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC"

1 Lời giới thiệu:

Là một giáo viên dạy Toán lớp 9, được nhà trường phân công ôn tập chohọc sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, tôi đều thực hiện ôn tập chohọc sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy về hệ thức Vi-ét tôi thấy nếu chỉ dạytheo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủ phươngtiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này Quan trọng hơn việc nhớkiến thức của các em sẽ không có hệ thống Như vậy kết quả bài làm của các emkhông cao, bên cạnh đó hầu hết đề thi vào THPT của các tỉnh nói chung và củatỉnh Vĩnh Phuc nói riêng đều có một phần kiến thức về hệ thức Vi-ét Chính vìthế, tôi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp 9 và các tài liệu tham khảo

để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét Sau đó đã tiến hành phân dạng và vớitừng dạng đều chỉ rõ ứng dụng của nó Từ cách nghĩ và cách làm đó tôi đã viếtchuyên đề :

Vận dụng hệ thức Vi –Ét vào giải một số dạng toán ôn thi vào lớp 10

Trong khuôn khổ của chuyên đề dù biết không thể đề cập hết các phươngpháp giải toán nhưng tôi cũng hy vọng đây là một nguồn tài liệu bổ ích cho họcsinh và cũng là tài liệu tham khảo cho các thầy cô giáo

2 Tên chuyên đề:

Vận dụng hệ thức Vi –Ét vào giải một số dạng toán ôn thi vào lớp 10

3 Tác giả chuyên đề:

- Họ và tên: Trần Thị Nụ - Nguyễn Hữu Đạt

- Địa chỉ tác giả: Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0983 590 658 Email: tranthinu10@gmail.com;

4 Chủ đầu tư tạo ra chuyên đề: Trần Thị Nụ - Nguyễn Hữu Đạt

Trường THCS Tô Hiệu – Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc

Chức vụ: Giáo viên

5 Lĩnh vực áp dụng chuyên đề:

- Lĩnh vực có thể áp dụng: Ôn thi vào lớp 10 THPT; bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

- Vấn đề mà chuyên đề giải quyết: Hệ thức Vi –Ét và ứng dụng

6 Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Áp dụng lần đầu 5/2017

7 Mô tả bản chất của chuyên đề

NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 7.1 Kiến thức cơ bản:

Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai

thì có thể suy ra nghiệm kia

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

(Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P  0)

7.2 Các dạng toán và phương pháp giải

7.2.1 Dạng toán 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

a Phương pháp:

Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a 0 ), ta áp dụng nhận xét sau:

Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

a

Trường hợp 2: Cho phương trình: x 2 + bx + c = 0.

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là:

Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta tính

ngay được m + n Khi đó:

+) Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận)

+) Nếu m + n - b, thì ta dừng lại và trong trường hợp này không nhẩmđược nghiệm

Bước 3: Kết luận:

Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n

Mở rộng: Nếu phương trình ax + bx +cx + d = 0 a 03 2    có nghiệm x0

thì phương trình phân tich được thành    2 

Ví dụ 1 (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0

để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 35x2 - 37x + 2 = 0 b) x2 - 49x - 50 = 0

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0 Do đó phương trình

+) Giải phương trình  2 5x - x + 7 = 0 2

Ta có    12 4.5.7 1 140    139 0 

 phương trình  2 vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 1

b) 2x + x + 4x +5 = 0 3 2 có a - b + c - d = 2 - 1 + 4 - 5 = 0

nên phương trình có nghiệm x 1 khi đó phương trình 2x +x + 4x +5 = 0 3 2

 2x + 2x - x + x + 5x +5 = 0 3 2  2   

 2x x + 1 - x x + 1 + 5 x + 1 = 0 2      

+) Giải phương trình  2 2x - x + 5 = 0 2

Ta có    12 4.2.5 1 40    39 0 

 phương trình  2 vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 1.

Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng như trong 2 ví dụ thì giải

phương trình bằng nhẩm nghiệm là nhanh gọn hơn việc vận dụng công thứcnghiệm (công thức nghiệm thu gọn)

Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1x2 = b

Bài 3 Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

Bài 4 Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình

có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

7.2.3 Dạng toán 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

Phương pháp chung:

Nếu hai số u, v thỏa mãn:

u v Su.v P

Điều kiện S2 - 4P  0

Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thì 2 số u, v cần tìm là:

1 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:x1 32 10 21; x2 32 10 11

 Phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trên

Ví dụ 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình):

Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30m và diện tích củahình chữ nhật bằng 54m2

Giải

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u và v, điều kiện u, v > 0

Vì chu vi của hình chữ nhật bằng 30m, nên ta có phương trình:

Do đó x và (-y) là nghiệm của phương trình: t2 – 10t - 24 = 0.

Ta có    102 4 24  196 0   14 Phương trình có hai nghiệmphân biệt: t1 = 12; t2 = -2

Suy ra x = 12, - y = -2  x = 12, y = 2

hoặc x = -2, - y = 12  x = - 2, y = -12

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (12; 2); (-2; -12)

Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta đã chuyển đổi việc giải hệ phương trình sang

giải phương trình bậc hai một ẩn; bên cạnh đó ta cần sử dụng thêm phép biếnđổi tương đương cho hệ phương trình và kết hợp sử dụng hằng đẳng thức

 2

A B  A B  2AB Ngoài ra trong nhiều trường hợp chúng ta còn cần

sử dụng tới ẩn phụ như ví dụ 3 phần a) hay ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điềunày

Ví dụ 4 Giải phương trình sau: x 9  x  x 9  x  (1)4

Khi đó phương trình (1) được chuyển thành hệ: u v 4

a Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180

b Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5

Bài 2

a Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m2

b Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm2

Bài 3 Giải hệ phương trình sau

7.2.4 Dạng toán 4: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà

không giải phương trình.

Phương pháp chung:

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình:ax2 + bx + c = 0 (

a 0 ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và x2

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xét biệt thức  b2  4ac 0 thì phương trình có hai nghiệmphân biệt x1, x2 (hoặc  ' 0)

Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vàobiểu thức bài cho.

Chú ý: Một số phép biến đổi thường gặp:

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm   0 (hoặc a.c < 0).

Sau đó áp dụng hệ thức Vi – et để tính tổng và tích của 2 nghiệm Kết hợp với điều kiện (hệ thức) giải hệ phương trình gồm điều kiện với tổng và tích các nghiệm chúng ta tìm được tham số thỏa mãn điều kiện bài toán ta có lời giải nhưsau:

b Khi đó phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:

x x 

c) Ta có: 1 2

1 2

9 2 6

+) A B  A B  2 AB

+) A A B B  A B A B  AB

Ví dụ 4: Cho phương trình x2 m 4x 3m  3 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại.b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 3 3

Bài 1 Cho phương trình: mx2  2mx  1 0 (m là tham số)

a Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm và tính các nghiệm củaphương trình theo m

b Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấpđôi nghiệm kia

Bài 2 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Vĩnh Phúc 2004-2005)

Cho phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0, gọi hai nghiệm của là x1 và x2 Khônggiải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau:

a. x1 + x2 ; x1.x2 b x13 + x23 c x1  x2

Bài 3 Cho phương trình x2  2m 1x 4 0 

Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Hãy tìm m để x1  x2  5

7.2.5 Dạng toán 5: Sử dụng hệ thức Vi – ét vào việc giải hệ phương trình đối xứng loại I.

Khái niệm hệ phương trình đối xứng:

Một phương trình hai ẩn gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình không thay đổi.

Ta làm theo các bước sau:

Bước 1 Biểu diễn từng phương trình qua x y ; xy

Bước 2 Đặt S  x y; P xy ta được hệ phương trình mới chứa các ẩn S và P

Bước 3 Giải hệ phương trình tìm S và P

Bước 4 Các số x và y là nghiệm của phương trình t2  St P  0

(Vận dụng hệ thức Vi – ét đảo Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng)

Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phương trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn:

2

Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phương trình theo tham số t

từ đó suy ra nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phương trình

Theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai X2  X  12 0 

giải phương trình này ta được 2 nghiệm là X 1 4 và X 2 3

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 4; 3   và  3;4

Theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai X2  5X   6 0

Giải phương trình này ta được 2 nghiệm là X 1 3 và X 2 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 3;2 và 2;3

c)

18 12

Theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai:t2  12t 32 0 

Giải phương trình này ta được 2 nghiệm là t 1 4 và t 2 8

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 4;8 và 8; 4

Theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai:

t  t  (1)

vì a - b + c = 1- -1 + -2 = 0    nên phương trình (1) có nghiệm 2 là t 1 1 và t 2 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là  1;2 và 2; 1  

Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm x a y b

vì a + b + c = 1+ -3 + 2= 0  nên phương trình (1) có nghiệm 2 là t 1 1 và t 2 2 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 1; 2 và 2;1.

+) Với S = 2  P = 3 ta có x y xy 32



 theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai t2  2t  3 0 (2)

Giải pt (2) ta có    '  12 1.3 1 3    2 0  nên phương trình (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 1;2 và 2;1

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0,  0 hoặc

a 0, ' 0   )

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số

Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm

không phụ thuộc vào tham số

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được:

S – P = 2  x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụ thuộc vào m)

4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m)

Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ

thức (2) để khử m Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức

Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x 1 , x 2

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho phương trình: x - 2 m - 1 x + m + 3 m + 2 = 0 2   2 (1)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?

b) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa cácnghiệm không phụ thuộc vào m.

Bài 2: Cho phương trình: x - 2 m - 1 x + 3 m - 2 = 0 2   (1)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép

b) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình Tìm hệ thức liên hệ giữa cácnghiệm không phụ thuộc vào m

7 2.7 Dạng toán 7: Xét dấu các nghiệm.

Phương pháp chung:

Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x1, x2 của phương trình

ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) dựa trên kết quả:

- Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 0 x2 P c 0

- Hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

nghiệm dương 0

0

P S

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm dương phân biệt

Giải

a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu P c 1 m 0 m 1

a

Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 x 1x2

Bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho phương trình: x2  (2 m) x 2 m 0  

a Xác định m để phương trình có nghiệm âm?

b Xác định m để phương trình có nghiệm dương?

Bài 2 Cho phương trình: x2  2 mx 2 m 2 0  

a Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương

b Xác định m để phương trình có Hai nghiệm trái dấu nhưng nghiệm âm cógiá trị tuyệt đối nhỏ hơn nghiệm dương

Bài 3

Gọi a và b là 2 nghiệm của phương trình x + px + 1 = 0 2

c và d là 2 nghiệm của phương trình x + qx + 1 = 0 2

a) Lập phương trình có hai nghiệm là hai số 4 và 1 2.

b) Cho phương trình x2 + px – 5 = 0 có nghiệm là x1 và x2 Hãy lập phương trình

có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

Vậy phương trình cần lập là : x2 - p

5x

15

 = 0 hay 5x2 - px - 1 = 0

Nhận xét: Mặc dù bài toán có nói x1, x2 là nghiệm của một phương trình chotrước (như trong ví dụ 1 phần b, ví dụ 2) Tuy nhiên ta vẫn phải tính biệt thức hoặc ' để khẳng định phương trình cho trước đó có hai nghiệm, từ đó mới ápdụng được định lí Vi-ét Điều đó mới đảm bảo tính chặt chẽ toán học và lời giảikhi đó mới được coi đầy đủ, chọn vẹn

Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có nghiệm là x1, x2 thì tam thức

ax2 + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

Vì vậy đa thức x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4)

Ví dụ 2 (Bài 33/SGK-Trang 54).

Phân tích đa thức 2x2 – 5x + 3 thành nhân tử

Ví dụ 1 Cho parabol (P) có phương trình: y = x2

Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA = -1; xB = 2

Lập phương trình đường thẳng đi qua A và B

Giải

Goi phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng y = ax + b (AB)

Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là:

Ví dụ 2 Cho parabol (P):

4

xy

2

 ; điểm A thuộc (P) có hoành độ xA = 2

Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A

Bài tập áp dụng

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol 2

y = x (P) và đường thẳng (d)

có phương trình: y = 2 a - 1 x + 5 - 2a  ; (a là tham số)

a Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P)

b Chứng minh rằng với mọi a đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phânbiệt

c Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) là x1, x2

a Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Bài 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = 2x2, mộtđường thẳng (d) có hệ số góc bằng m và đi qua điểm I 0; 2 

a Viết phương trình đường thẳng (d)

b CMR: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B

c Gọi hoành độ giao điểm của A và B là xA, xB CMR: x - x A B  2

Bài tập tự luyện

Bài 1: (Bài 29,30/SGK-Trang 54, bài 30/SBT-Trang 43)

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗiphương trình sau:

a) 4x2 + 2x – 5 = 0; b) 9x2 - 12x + 5 = 0; c) 5x2 + x + 2 = 0; d) ( 2 3)x2 + 4x + 2 2 = 0; e) 1,4x2 - 3x + 1,2 = 0;

Bài 2: (Bài 31/SGK-Trang 54, bài 37/SBT-Trang 43).