[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
Năm học 2009-2010 Môn: Toán 10
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang gồm 05 câu
Câu 1 (2điểm)
Giải hệ phương trình
3 3
Câu 2 (7điểm)
a)Cho 3 góc 0o <α β γ, , <180o và α β γ+ + =360o
Chứng minh rằng: sinα+sinβ >sinγ
b) Cho phương trình: 2x-4 = 3 x m− (m là tham số) Xác định m để phương trình có hai nghiệm
Câu 3 (4điểm)
Biết rằng các số a,b,c thoả mãn:
2 2 2
1
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M=b(c-a)
Câu 4 (4điểm) Cho x, y,z>0 thoả mãn hệ thức x+y+z=
3
yz x
6
Câu 5 (3điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2;-5), B(-4;-2) và đường thẳng d có phương trình x-2y+3=0
a) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ B tới
∆ là lớn nhất
b) Tìm M trên d sao cho MA + MB là nhỏ nhất
…….HẾT……
Họ và tên thí sinh……… Số báo danh………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2009-2010 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN LỚP 10
m
1 2đ Hệ đã cho tương đương với
+
=
= + + +
−
⇔
+
=
=
− +
−
6 7
0 ) 7 )(
( 6
7
0 ) ( 7
3
2 2
3
3 3
y x
y xy x y x y
x
y x y
x
⇔
= +
− +
=
⇔
0 ) 2 )(
3 )(
1 (x x x
y x
−
=
=
−
=
=
−
=
=
⇔
3 2 1
y x
y x
y x
TH2
+
=
= + + +
6 7
0 7 3
2 2
y x
y xy x
hệ vô nghiệm vì x2 +xy+y2 + 7 =(x+ 7 0
4
3 ) 2
2
2 + y + >
y
y
x,
∀
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm (x;y)=(-1;-1),(-2;-2),(3;3)
0.5
0.75
0.75 a)
180 −α;B=180 −β;C =180 −γ Khi đó sinα =sin ;sinA β =sin ;sinB γ =sinC
Suy ra A+B+C=180 và 00 o<α β γ, , <180o
⇒A,B,C là 3 góc trong một tam giác Xét tam giác ABC có 3 góc tương ứng là A,B,C
Ta có a+b>c
⇔sinA+sinB>sinC sinα sinβ sinγ
1.5 1.0 1.5
2
7điểm
b)
3đ
+Phương trình đã cho tương đương với
= + +
−
≥
⇔
−
=
−
≥
−
(*) 0 16 9 25 4
2 )
( 9 ) 4 2 (
0 2
2 2
m x x
x m
x x
x
+Đặt t=x-2 (t≥ 0), phương trình (*) trở thành
4t2 − 9t+ 9m− 18 = 0 (**) +Phương trình đã cho có 2 nghiệm khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm không âm
≥
≥
≥
∆
⇔
0 0 0
P S
1.0 0.5 0.5
0.5
Trang 3⇔
≥
−
≥
≥
−
0 18 9
0 8 9
0 144 369
m
m
⇔
16
41
2≤ m≤
Vậy với
16
41
2≤ m≤ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm
0.5
Từ giả thiết ta có ( )2 ( )2 4
2 2
b b
x= a+ +c ⇒ x =
;ury=( ;c −a)⇒| | 1ury = Khi đó M= 2x yr ur, do đó M lớn nhất khi và chỉ khi x yr urlớn nhất Mặt khác x yr ur≤| || | 2x yr uur=
hay M≤4
− Kết hợp với giả thiết ta có (a;b;c)=( 3 ; 10; 1 )
Vậy max M=4 khi (a;b;c)=( 3 ; 10; 1 )
1.0 1.0
1.5 0.5
Ta có yz
2
4
y+z
≤
Do x>0 suy ra
2
+
≤
2
12
y z
x
+
Đặt f(x)=12x2 +12 (x y+z) (− y+z)2
Ta có ∆ ='x 48(y+z)2>0⇒ ∆ ='x 4 3(y+z) (do y+z>0) Tam thức f(x) có 2 nghiệm
Do đó từ (*) suy ra x1≤ ≤x x2 (đpcm)
0.5
1.0
1.0
0.5 1.0 a)
1.0đ
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên ∆, ta có BH≤BA
Do đó BH lớn nhất khi và chỉ khi H≡ A
Khi đó ∆ là đường thẳng đi qua A và có véc tơ pháp tuyến
) 3
; 6 (−
AB và có phương trình: -6(x-2)+3(y+5)=0⇔ 2x− 3y− 9 = 0
0.5 0.5
5
(3đ)
b) Kiểm tra để kết luận để A, B nằm cùng phía đối với d
Trang 42.0 Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d ta có
MA+MB=MA' +MB≥ A'B
Do đó MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B
và đường thẳng d Gọi I là hình chiếu của A trên đường thẳng d, phương trình đường thẳng AI đi qua A và nhận véc tơ chỉ phương của d làm véc tơ pháp tuyến có phương trình: 2x+y+1=0
I=AI∩d, I(-1;1) suy ra A’(-4;7) Đường thẳng A’B: x+4=0 do đó
M(-4;-2
1)
0.5 0.5
0.5 0.5
Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa