Phương pháp tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản

phương pháp nhân lượng liên hơn.  Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc[r]

PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO

CÁC DỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

1 Phương pháp

Phương pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản

mẫu

phương pháp nhân lượng liên hơn

+ Dùng các hằng đẳng thức:

Dùng định lí kẹp: Nếu ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa

cao nhất của tử và của mẫu

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử

và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu

Ví dụ 1 Cho dãy số với , trong đó là tham số Để có giới hạn bằng 2 thì

giá trị của tham số là?

Hướng dẫn giải Chọn B

Thật vậy:



( )

f n

g n

k

 limk f n( )m g n( ) lim ( )f n lim ( )g n  

 a b a b a b; 3a3b 3a23ab3b2 a b

(u n)

2 2

5

n

n n u

an

 



a

2

2

n

n n u

n

 



0

a lim lim4 2 2

5

n

n n

u     

0

2

5

n

n n u

an a

 



Do đó để thì

Ví dụ 2 Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương và để:

Hướng dẫn giải Chọn D

Từ kết quả đã trình bày trong phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp Ta có:

Ví dụ 3 Tìm các số thực và sao cho

Hướng dẫn giải Chọn A

( xem lại phần ví dụ )

2 Bài tập

Câu 1 Cho dãy số  u n thỏa mãn

1

1

2













n n

n

u

u

u

Tính u2018

Hướng dẫn giải Chọn A

lim( n an 5 n bn3)2 2

a b  a b 2 a b 4 a b 4

2

a b n

n an n bn

n an n bn

2

a b

n

 



2

a b

2 2

a b

    a b 4

lim( 1n an b ) 0 1

0

a b

 



 



1 0

a b





 



1 1

a b

 



  



0 1

a b





 



0

a

Câu 2 Cho dãy số (x n) xác định bởi 1 1, 1 2 , 1

x  x  x x  n

Đặt

n

n

S

Hướng dẫn giải Chọn C

Từ công thức truy hồi ta có: x n1x n,  n 1, 2,

Nên dãy (x n) là dãy số tăng

Giả sử dãy (x n) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại limx n x

1

0

xx    x x x vô lí

Do đó dãy ( )x n không bị chặn, hay limx n  

Mặt khác:

1

Suy ra:

1

1



Dẫn tới:

Câu 3 Cho dãy (x k) được xác định như sau: 1 2

k

k x

k



Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

n

u  x x  x

2012!

2012!



Hướng dẫn giải Chọn C

k

k k  k

1 1

k

x

k

 



k k

Mà: x2011n x1n x2n   x2011n n 2011x2011

2012!

n

x  x x  

Vậy lim 1 1

2012!

n

u  

Câu 4 Cho dãy (x k) được xác định như sau: 1 2

k

k x

k



Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

n

u  x x  x

2012!

2012!



Hướng dẫn giải Chọn C

k

k k  k

1 1

k

x

k

 



k k

Mà: x2011n x1n x2n   x2011n n 2011x2011

2012!

n

2012!

n

f n a n b n c n n với a b c, , là hằng số thỏa mãn 0

a  b c Khẳng định nào sau đây đúng?

A lim   1

Hướng dẫn giải Chọn C

Câu 6 Cho a b,  , ( , ) 1;a b  nab1,ab2,  Kí hiệu r là số cặp số ( , ) n u v   sao cho

naubv Tìm lim n 1

n

r

Hướng dẫn giải Chọn C

Xét phương trình 0;n 1

n



Gọi ( ,u v0 0) là một nghiệm nguyên dương của (1) Giả sử ( , )u v là một nghiệm nguyên dương khác ( ,u v0 0) của (1)

Ta có au0bv0 n au bv,  n suy ra a u u(  0)b v v(  0)0 do đó tồn tại k nguyên dương

0

1

a



Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương

n

r



1

n

r

ab b   a ab b  a

n

abnbna n abnbnan

n

r

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +

9

cos 5 lim

x

Câu 7 Cho dãy số xác định bởi với mọi Gọi là tổng số hạng đàu

Hướng dẫn giải Chọn B

Bấm r, máy hỏi A? nhập , máy hỏi X? nhập , máy hỏi Y? Nhập , bấm =

(u n) limS n

1

1 2

1

1 1

n

n

q

T v

q





1 1 2 1 1 2

n

v

 

   



1

2 1

2

n

v    

    

 

  S n  T n n 1

1

2 1

2

n

v     n

    

 

limSn  

Câu 8 Cho dãy số xác định bởi với mọi Tìm

Hướng dẫn giải Chọn C

Sử dụng MTCT

Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng

Câu 9 Cho dãy số xác định bởi với mọi Tìm

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta sử dụng MTCT tương tự như bài tập trên thì thấy rằng giới hạn của dãy số là Vậy chọn

Chọn B

Câu 10 Cho dãy số xác định bởi với mọi Khi đó bằng

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có

2

n

2

5 3

4 3

 

3



5 3

2

2

n n n

1

n

 

,

3

n



n

u

1 lim

4

n

2

n

2

L

0 1 2

L L









 

 0

L 1

2

L

0

9

2

1, 706192802.10

X

Y X



n

u u





; ; ;

Nhận xét: Ở bài này sẽ phải bấm phím = liên tiếp khá nhiều lần, do khi chưa đủ lớn thì

2

2

n

1

n

1

2

1

n

n u

n

1

2

1

n n



1

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí