5 Bài toán hay từ hình thang cân và tam giác

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm [r]

5 BÀI TOÁN HAY TỪ HÌNH THANG CÂN VÀ TAM GIÁC

GIỚI THIỆU: Trong phần hình học lớp 8 và nhiều bài luyện tập chúng ta ít gặp “Hình thang

cân”, nhưng hình thang cân trong thực tế có khá nhiều (Cái thang, mặt cắt của tòa tháp…) Một

số bài tập khó giải về hình tam giác nếu biết ứng dụng tính chất hình thang sẽ thuận lợi hơn nhiều khi giải NBS chọn 5 bài tiêu biểu giới thiệu để các bạn tham khảo NBS tạm gọi 3 bài đầu như

“Bổ đề”

Từ định nghĩa:

(*)Hình thang là tứ giác có 2 cạnh đối diện song song nhau

(**)Hình thang cân là hình thang có:

- 2 góc ở đáy bằng nhau (C = D)

- 2 cạnh bên bằng nhau ( AC = BD)

- 2 đường chéo bằng nhau (AD =CB)

1./BÀI TOÁN 1 (Bổ đề 1a)

“Trong một hình thang cân, hai đường trung trực của 2 đáy

trùng nhau”

CM: Có hình thang cân ABCD; Kéo dai 2 cạnh bên

Cho cắt nhau tại S,

 Ta có 2 tam giác cân SAB và SCD

(đương nhiên vì SCD = CDS và SAB=SBA)

- Đường cao SE của SAB vừa là trung tuyến vừa là trung trực của AB, vừa là phân giác của S

- Đường cao SF của SCD vừa là trung tuyến vừa là trung trực của CD, vừa là phân giác của S

 Vậy Trung trực Em của SAB trùng trung trực Fm của SCD (ĐPCM)

2/ BÀI TOÁN 2 (Bổ đề 1b)

“Trong một tứ giác, nếu hai trung trực của 2 cạnh đối nhau không

trùng nhau thì tứ giác đó không phải là hình thang cân”

CM: Thực chất Bổ đề 1b là phần đảo của 1a, tuy nhiên chứng minh

1b không đơn giản như CM cho 1a Hãy xét 2 trường hợp:

TH1: Giải sử

-Tứ giác ABCD có 2 đường trung trực Em //Fn

AB//CD và AB<CD  ABCD là hình thang

Nhưng không phải là hình thang cân, vì nếu lấy CD làm đáy cho  cân SCD SDC < BDC

- Tứ giác ABCD có 2 đường trung trực Em //Fn

AB//CD và AB=CD  ABCD là hình bình hành

 Chứng tỏ nếu 2 trung trực // nhau thì không có hình thang cân (ĐPCM)

TH 2: Giải sử :

Tứ giác ABCD có trung trực Em cắt trung trực Fn

tại P  ta có EPF

mà nếu kéo dài AB và CD thì AB sẽ cắt CD tại một

điểm Q để AQD = EPF

(2 góc có cặp cạnh vuông góc nhau)

 AB không // CD  ABCD không phải là hình thang theo định nghĩa(*), càng không thể là

hình thang cân, theo định nghĩa (**) (ĐPCM)

3/ BÀI TOÁN 3 (Bổ đề 2)

Cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC =BD, kèm theo:

- a/ Nếu 2 cạnh bên AD =BC thì tứ giác đó là hình thang cân

- b/ Nếu 2 góc ở đáy D =C thì tứ giác đó là hình thang cân

*CM:

a/Theo điều kiện bài toán 2 tam giác ADC và BDC có: AC=BD;

AB=BC; DC chung ADC = BDC

A1 = B1; D2 = C2 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn D2 = B2 (chắn 2 cung

AD=BC)

 AB//DC (góc so le bằng nhau)

 Theo định nghia(**)ABCD là hình thang cân (đpcm)

b/ Trên 2 đường chéo AC, BD dựng 2 đường trung trực, 2 trung trực cắt nhau tại O  O cách đều A,B, C, D ( vì AC=BD tạo ra 4 tam giác vuông bằng nhau)

 Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn O

A2=D2 (cùng chắn cung BC) mà A2=B2 (IAB cân)

D2 =B2 AB//DC

 ABCD là hình thang; và vì có D = C nên:

ABCD là hình thang cân (đpcm)

4/ BÀI TOÁN 4

Chứng minh rằng: Một tam giác có 2 đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

(Đây là bài toán rất hay, đã từng được nhiều thế hệ HS (lớp 6-7 – hệ GD cũ và các lớp 8 – 9 – hệ

GD mới) trăn trở tìm khá nhiều cách CM mà cách nào cũng phải có tìm tòi sáng tạo * Nhân

chuyên đề “hình thang cân” NBS giới thiệu 3 cách CM sau)

 Cách thứ nhất:

Từ dữ liệu ít ỏi: ABC ; có B và C là 2 góc ở đáy; với

B1=B2 , C1=C2 và BM=CN

Dựng đường trung trực Hm của BM và Kn của CN,

2 trung trực cắt nhau tại O

Vì BM=CN  BH=HM=CK=KN

 OM=ON=OB=OC

4 điểm B,C,M,N cùng nằm trên đường tròn tâm O

Có B1 = C1 ( cùng chắn cung MN) 2B1=2C1

Mà 2B1=ABC và 2C1=ACB

ABC=ACB  ABC cân (ĐPCM)

Biện luận: 2 trung trực Hm và Kn cắt nhau vì 2 phân giác trong ABC đã cắt nhau.(Điều này

tưởng như hiển nhiên, nhưng cần nêu)

 Cách thứ hai: (CM phản chứng )

Giải sử 1(S1) ABC có 2 đường phân giác BM=CN;

B1=B2 , C1=C2: Nhưng B >C , B1>C1

và B2>C2

Dựng 2 đường trung trực Hm của MN

và Kn của BC, 2 trung trực cắt nhau tại P

dễ dàng CM được BMP=CNP (c.c.c)

MBP=NCP Mà theo trung trực Kn của BC thì B3=C3 B2 = C2

Điều này trái với giả sử (S1)

 Giả sử(S1) Không thể chấp nhận được; Nghĩa là không có B2>C2 và không có B >C

S1 sai (đpcm)

 Cách thứ ba: (CM phản chứng )

Giải sử 2(S2) ABC có 2 đường phân giác BM=CN; B1=B2 , C1=C2: và B =C , 

B1=C1 và B2=C2 Cũng dựng 2 đường trung trực Hm của MN và Kn của BC

-Giải sử 3 (S3) 2 trung trực cắt nhau tại P Nhưng theo Bổ đề 1b thì trường hợp này không có B

= C (xem Bài toán 2-TH1 đã CM)  Giải sử (S3) sai

- Giả sử 4 (S4): 2 trung trực song song nhau; Nhưng theo Bổ đề 1b thì trường hợp này tứ giác

MNCD cũng không phải là hình thang cân (Xem bài toán 2-TH1),  không cóB =C trái với

giả sử 2 (S2)

 Vây chỉ có thể 2 trung trực đó trùng nhau và MN//CD Theo bổ đề 1a, 1b tứ giác MNCD là

hình thang cân  B = C  ABC cân (ĐPCM)

5/ BÀI TOÁN 5

Đây là bài toán tìm chỗ sai của một chứng minh ngụy biện (NBS đã

đọc thấy bài này ở 1 số trang Web toán học & tạp chí “Toán tuổi

thơ”, nhưng chưa được đọc 1 bài giải nào có sức thuyết phục)

Đề ra là, có một chứng minh sau:

Trên đoạn thẳng AB dựng AM=BN sao cho

MAB = 90º và NBA < 90º

Nối MN và dựng hai trung trực của AB và MN

Hai trung trực cắt nhau tại I, tạo ra các tam giác cân IMN và IAB  IM=IN; IA =IB;

Cùng với giả thiết MA=NB

 có IMA =INB A2=B2 1

Mặt khác do  IAB cân A1=B1.2

Từ 1 và 2 MAB =NBA (Góc vuông = góc nhọn !?)

Hãy tìm ra chỗ sai của CM ngụy biện trên

Giải:

Theo Bổ đề 1b (nêu tại Bài toán 2-TH2), với cách dựng như đề ra thì tứ

giác MNBA không phải là hình thang cân, không thể có MAB

=NBA

Sai lầm là ở cách vẽ hình

Theo giả thiết của đề ra thì phải vẽ hình như bên:

Ta cũng có IMA =INB A2=B2 Nhưng rõ ràng không có

MAB =NBA

Mà MAB =NBA+NBI (ĐPCM)

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí