Tuy nhiên, đứng trước một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể đưa về các trường hợp trên ngay mà có nhiều bài đòi hỏi người đọc phải tạo ra được những "điểm sáng [r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ GÓC TRONG TAM GIÁC
I Cơ sở lí thuyết
Để giải tốt các bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến thức sau:
• Trong tam giác:
o Tổng số đô ba góc trong tam giác bằng 1800
o Biết hai góc ta xác địn được góc còn lại
o Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó
• Trong tam giác cân: biết một góc ta xác định được hai góc còn lại
• Trong tam giác vuông:
o Biết một góc nhọn, xác định được góc còn lại
o Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông có số đo bằng 300
• Trong tam giác vuông cân: mỗi góc nhọn có số đo bằng 450
• Trong tam giác đều: mỗi góc có số đo bằng 600
• Đường phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau
• Hai đường phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là 900
• Hai đường phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là 450
• Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
• Tính chất về góc so le trong, so le ngoài, đồng vị, hai góc trong cung phía, …
Khi giải bài toán về tính số đo góc cần chú ý:
1.Vẽ hình chính xác, đúng với các số liệu trong đề bài để có hường chứng minh đúng
2.Phát hiện các tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác cân trong hình vẽ
3.Chú ý liên hệ giữa các góc của tam giác, liên hệ giữa các cạnh và các góc trong tam giác, phát hiện các cặp tam giác bằng nhau Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ các góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau Trong các đường phụ vẽ thêm, có thể vẽ đường phân giác, đường vuông góc, tam giác đều, …
4 Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ giữa các góc
5.Xét đủ các trường hợp về số đo góc có thể xảy ra (ví dụ góc nhọn, góc tù, …)
(Tham khảo toán nâng cao lớp 7, tập 2 – Vũ Hữu Bình)
Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc ta thường xét các góc đó nằm trong mối liên hệ với các góc ở
các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tương ứng bằng nhau rồi suy ra kết quả
Tuy nhiên, đứng trước một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể đưa về các trường hợp trên
ngay mà có nhiều bài đòi hỏi người đọc phải tạo ra được những "điểm sáng bất ngờ" có thể là một đường
kẻ phụ, một hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận và những kiến thức, kỹ năng đã học trước
đó mới giải quyết được Chúng ta có thể xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” như là “chìa khoá “ thực thụ
để giải quyết dạng toán này
II Một số dạng toán
*Dạng 1 Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác đều
Bài toán 1 Cho ∆𝑨𝑩𝑪 có 𝑨̂ = 𝟐𝟎𝟎 có 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪, lấy 𝑴 ∈ 𝑨𝑩 sao cho 𝑴𝑨 = 𝑩𝑪 Tính số đo 𝑨𝑴𝑪 ̂ ?
Nhận xét
Ta cần tìm 𝐴𝑀𝐶̂ thuộc ∆𝐴𝐵𝐶 có 𝐴̂ = 200 mà 𝐵̂ = 𝐶̂ = 800 = 200 + 600
Ta thấy có sự liên hệ rõ nét giữa góc 200 và góc 600, mặt khác 𝑀𝐴 = 𝐵𝐶
Từ đây, ta thấy các yếu tố xuất hiệ ở trên liên quan đến tam giác đều
Trang 2Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều
Hướng giải
Cách 1 (Hình 1)
Vẽ ∆𝐵𝐷𝐶 đều (D, A cùng phía so với BC) Nối A với D
Ta có ∆𝐴𝐵𝐷 = ∆𝐴𝐶𝐷 (c.c.c) => 𝐷𝐴𝐶̂ = 𝐷𝐴𝐵̂ = 100
Lại có ∆𝐴𝑀𝐶 = ∆𝐶𝐷𝐴 (c.g.c) => 𝑀𝐶𝐴̂ = 𝐷𝐴𝐶̂ = 100
=> 𝐴𝑀𝐶̂ = 1800− (𝐴𝐶𝑀̂ + 𝑀𝐴𝐶̂ ) = 1800 − (200 + 100) =
1500
Cách 2 (Hình 2)
Vẽ ∆𝐴𝐶𝐷 đều (M, D khác phía so với AC)
Ta có ∆𝐵𝐴𝐶 = ∆𝐴𝐷𝑀 (c.g.c) => 𝐴𝑀𝐷̂ = 800 (1)
=> ∆𝑀𝐷𝐶 cân tại D, 𝑀𝐷𝐶̂ = 400 => 𝐷𝑀𝐶̂ = 700 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 𝐴𝑀𝐶̂ = 1500
Bài toán 2 Cho ∆𝑨𝑩𝑪 cân tại A, 𝑨̂ = 𝟒𝟎𝟎 Đường cao AH, các điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho 𝑬𝑩𝑨̂ = 𝑭𝑩𝑪̂ = 𝟑𝟎𝟎 Tính 𝑨𝑬𝑭̂?
Hướng giải
Vẽ ∆𝐴𝐵𝐷 đều (B, D khác phía so với AC)
∆𝐴𝐵𝐶 cân tại A, 𝐴̂ = 400 (gt)
=> 𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐴𝐶𝐵̂ = 700 mà 𝐹𝐵𝐶̂ = 300 (gt)
=> 𝐴𝐵𝐹̂ = 400, 𝐵𝐴𝐹̂ = 400 => ∆𝐴𝐹𝐵 cân tại F
=> 𝐴𝐹 = 𝐵𝐹, mặt khác 𝐴𝐷 = 𝐵𝐷, FD chung
=> ∆𝐴𝐹𝐵 = ∆𝐵𝐹𝐷 (𝑐 𝑐 𝑐) => 𝐴𝐷𝐹̂ = 𝐵𝐷𝐹̂ =600
2 = 30
0
Do AH là đường cao của tam giác cân BAC
=> 𝐵𝐴𝐸̂ = 200 = 𝐹𝐴𝐷̂ = 600 − 400 , 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 (vì ∆𝐴𝐵𝐷 đều),
𝐴𝐵𝐸̂ = 300 (gt)
=> ∆𝐴𝐵𝐸 = ∆𝐴𝐷𝐹 (g.c.g) => 𝐴𝐸 = 𝐴𝐹 => ∆𝐸𝐴𝐹 cân tại A mà 𝐸𝐴𝐹̂ = 200
=> 𝐴𝐸𝐹̂ =1800− 200
0
Bài toán 3
Cho ∆𝑨𝑩𝑪, 𝑩̂ = 𝑪̂ = 𝟒𝟓𝟎 Điểm E nằm trong ∆ sao cho 𝑬𝑨𝑪̂ = 𝑬𝑪𝑨̂ = 𝟏𝟓𝟎 Tính 𝑩𝑬𝑨̂ ?
Nhận xét
B
A
C
M
D
D
B
A
C M
D
B
A
F E
Trang 3Xuất phát từ 150 và 750 đã biết, ta có 600 = 750− 150 và 𝐸𝐴 = 𝐸𝐶 do ∆𝐸𝐴𝐶 cân tại E Với những yếu tố
đó giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ là tam giác đều
Hướng giải
Vẽ ∆𝐴𝐸𝐼 đều (I, B cùng phía so với AE)
Ta có ∆𝐴𝐸𝐶 = ∆𝐴𝐼𝐵 (c.g.c)
=> 𝐼𝐵 = 𝐶𝐸 mà 𝐸𝐼 = 𝐶𝐸 (∆𝐴𝐸𝐼 đều)
=> 𝐼𝐵 = 𝐸𝐼 => ∆𝐸𝐼𝐵 𝑐â𝑛 𝑡ạ𝑖 𝐼
=> 𝐸𝐼𝐵̂ = 3600 − (600 + 1500) = 1500
=> 𝐼𝐸𝐵̂ = 150
=> 𝐵𝐸𝐴̂ = 𝐵𝐸𝐼̂ + 𝐼𝐸𝐴̂ = 750
*Dạng 2 Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông có
cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền
Bài toán 4 Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau
Phân tích
+/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia 𝐵𝐴𝐶̂ thành ba góc bằng nhau
=> ∆𝐴𝐵𝑀 cân tại A (Đường cao đồng thời là phân giác)
=> 𝐴𝐻 đồng thời là trung tuyến
=> 𝐻𝐵 = 𝐻𝑀 =1
2𝐵𝑀 => 𝐻𝑀 =
1
2𝑀𝐶 +/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến 𝑀𝐴𝐶̂ =
𝑀𝐴𝐻̂ = 𝐻𝐴𝐵̂ và liên quan đến HM = HB = 1
2 BM = 1
Kẻ MK ⊥ AC tại K Khi đó có sơ sơ đồ phân tích
𝐴𝑀 ⊥ 𝐴𝐶 𝑡ạ𝑖 𝐾 → ∆𝐴𝐻𝑀 = ∆𝐴𝐾𝑀 → 𝑀𝐾 = 𝑀𝐻
→ 𝑀𝐾 =1
2𝑀𝐶 → 𝐶̂ = 30
0
→ 𝐻𝐴𝐶̂ = 600 → 𝐻𝐴𝑀̂ = 𝑀𝐴𝐶̂ = 300 → 𝐻𝐴𝐵̂ = 300 → 𝐵𝐴𝐶̂ = 900
→ 𝐵̂ = 600
Hướng giải
Vì 𝑀𝐾 ⊥ 𝐴𝐶 tại K Xét ∆𝐴𝐵𝑀 có
AH là đường cao ứng với BM
AH là đường phân giác ứng với cạnh BM (vì 𝐵𝐴𝐻̂ = 𝐻𝐴𝑀̂ = 1
2 𝐵𝐴𝑀̂ ) Nên ∆𝐴𝐵𝑀 cân tại đỉnh A
=> H là trung điểm BM
I
C A
B
E
D
C A
B
E
K
C A
B
Trang 4=> 𝐻𝑀 = 1
2𝐵𝑀 =
1
4𝐵𝐶 Xét ∆𝐴𝐻𝑀 𝑣à ∆𝐴𝐾𝑀 có
AM là cạnh huyền chung
𝐻𝐴𝑀̂ = 𝐾𝐴𝑀̂ (gt)
=> ∆𝐴𝐻𝑀 = ∆𝐴𝐾𝑀 (cạnh huyền – góc nhọn)
=> 𝐻𝑀 = 𝐾𝑀 (hai cạnh tương ứng)
=> 𝐾𝑀 =1
4𝐵𝐶 =
1
2𝑀𝐶 Xét ∆𝑀𝐾𝐶 có 𝑀𝐾𝐶̂ = 900, KM = 1
2 MC
=> 𝐶̂ = 300 khi đó ta tính được 𝐵̂ = 300, 𝐴̂ = 900
Vậy 𝐵̂ = 300, 𝐴̂ = 900, 𝐶̂ = 600
Bài toán 5 Cho ∆𝑨𝑩𝑪, 𝑪̂ = 𝟑𝟎𝟎 Đường cao AH AH = 𝟏
𝟐 BC D là trung điểm của AB Tính 𝑨𝑪𝑫̂ ?
Hướng giải
𝑋é𝑡 ∆𝐴𝐻𝐶 𝑐ó𝐶̂ = 300, 𝐴𝐻𝐶̂ = 1𝑉 => 𝐴𝐻 =1
2𝐴𝐶
𝑚à 𝐴𝐻 = 1
2𝐵𝐶 (𝑔𝑡) => 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶
=> ∆𝐴𝐶𝐵 cân tại C => CD là phân giác => 𝐴𝐶𝐷̂ = 150
Nhận xét
Suy nghĩ chứng minh ∆𝐴𝐶𝐵 cân xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ ∆𝐴𝐻𝐶 vuông có 𝐶̂ = 300 và AH
= 1
2 BC Thực sự hai yếu tố này đã giúp ta nghĩ đến tam giác vuông có một góc bằng 300
Bài toán 6 Cho ∆𝑨𝑩𝑪 có ba góc nhọn Về phía ngoài của ∆𝑨𝑩𝑪 ta vẽ các tam giác đều ABD và ACE
I là trực tâm ∆𝑨𝑩𝑫, H là trung điểm BC Tính 𝑰𝑬𝑯 ̂?
Phân tích
∆𝐻𝐸𝐼 là một nửa tam giác đều
=>, vẽ thêm đường phụ để xuất hiện nửa tam giác đều (còn lại)
=> Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF
Hướng giải
Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF
Ta có ∆𝐵𝐻𝐹 = ∆𝐶𝐻𝐸 (𝑐 𝑔 𝑐) => 𝐵𝐹 = 𝐶𝐸
Ta có IA = IB và 𝐴𝐼𝐵̂ = 1200 (vì ∆𝐴𝐵𝐷 đều)
𝐼𝐴𝐸̂ = 300+ 𝐵𝐴𝐶̂ + 600 = 900+ 𝐵𝐴𝐶̂
Mà 𝐼𝐵𝐹̂ = 3600− (𝐼𝐵𝐴̂ + 𝐴𝐵𝐶̂ + 𝐻𝐵𝐹̂ )
= 3600− (300+ 𝐴𝐵𝐶̂ + 𝐸𝐶𝐻̂ )
D H B
A
C
I
H
E
D
A
Trang 5= 3600− (300+ 𝐴𝐵𝐶̂ + 𝐴𝐶𝐵̂ + 600)
= 3600− (900+ 1800−𝐵𝐴𝐶̂) = 900+ 𝐵𝐴𝐶̂
=> ∆𝐼𝐵𝐹 = ∆𝐴𝐼𝐸 (𝑐 𝑔 𝑐) => 𝐼𝐹 = 𝐼𝐸
=> ∆𝐹𝐼𝐸 cân tại I mà 𝐴𝐼𝐵̂ = 1200
=> 𝐹𝐼𝐸̂ = 1200 => 𝐼𝐸𝐻̂ = 300
*Dạng 3 Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông cân
Bài toán 7 Cho ∆𝑨𝑩𝑪, M là trung điểm của BC, 𝑩𝑨𝑴̂ = 𝟑𝟎𝟎, 𝑴𝑨𝑪̂ = 𝟏𝟓𝟎 Tính 𝑭𝑷𝑰̂ ?
Phân tích
Khi đọc kĩ bài toán ta thấy 𝐵𝐴𝑀̂ = 300, 𝑀𝐴𝐶̂ = 150, 𝐵𝑀 = 𝑀𝐶, quan sát hình vẽ rồi nhận dạng bài toán ta biết được nó có nguồn gốc từ Bài toán 3 Mặt khác 𝐵𝐴𝐶̂ = 450, điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam giác vuông cân
Hướng giải
Cách 1
Hạ 𝐶𝐾 ⊥ 𝐴𝐵 (Dễ chứng minh được tia CB nằm giữa hai tia CA và CK)
Ta có ∆𝐴𝐾𝐶 vuông cân tại K (vì 𝐵𝐴𝐶̂ = 450) => 𝐾𝐴 = 𝐾𝐶
Vẽ ∆𝐴𝑆𝐶 vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC)
Do ∆𝐵𝐾𝐶 vuông tại K => KM = 1
2 BC = MC
=> ∆𝐾𝑀𝐶 cân tại M
Dễ thấy ∆𝐾𝐴𝑀 = ∆𝐶𝑆𝑀 (𝑐 𝑔 𝑐) => 𝐶𝑆𝑀̂ = 300
=> 𝐴𝑆𝑀̂ = 600 và 𝑆𝐴𝑀̂ = 600
=> ∆𝐴𝑆𝑀 đều => AS = SM = AK
=> ∆𝐴𝐾𝑀 cân tại A=> 𝑀𝐾𝐶̂ = 𝑀𝐶𝐾̂ = 900− 750 = 150 => 𝐵𝐶𝐴̂ =
450− 150 = 300
Cách 2
Lấy D đối xứng B qua AM => ∆𝐵𝐴𝐷 cân tại A
Mà 𝐵𝐴𝑀̂ = 300 (𝑔𝑡) => 𝐵𝐴𝐷̂ = 600 => ∆𝐴𝐵𝐷 đều
Ta có DC // MI (vì MB = MC, IB = ID), (𝐵𝐷 ∩ 𝐴𝑀 = {𝐼})
Mà 𝑀𝐼 ⊥ 𝐵𝐷 => 𝐶𝐷 ⊥ 𝐵𝐷
Mặt khác xét ∆𝐴𝐵𝐷 có
𝐶𝐴𝐷̂ = 150(𝑔𝑡), 𝐴𝐷𝐶̂ = 600+ 900 = 1500
=> 𝐷𝐶𝐴̂ = 150 => ∆𝐴𝐷𝐶 cân tại D => AD = CD
Mà AD = BD (∆𝐴𝐵𝐷 đều)
Vậy ∆𝐵𝐷𝐶 vuông cân tại D => 𝐷𝐶𝐵̂ = 450
=> 𝐵𝐶𝐴̂ = 450− 𝐷𝐶𝐴̂ = 450− 150 = 300
M K
A
C B
S
I
D
M
A
C B
Trang 6Bài toán 8 Cho ∆𝑨𝑩𝑪, 𝑨̂ = 𝟏𝑽, 𝑨𝑪 = 𝟑𝑨𝑩 D là điểm thuộc đoạn AC sao cho AD = 2DC Tính 𝑨𝑫𝑩̂ + 𝑨𝑪𝑩̂ =?
Hướng giải
Kẻ 𝐸𝐾 ⊥ 𝐴𝐶 sao cho EA = ED, 𝐸 ∈ 𝐴𝐷 với EF = AD (B, F khác phía so với AC)
Ta có ∆𝐵𝐴𝐷 = ∆𝐷𝐸𝐹 (c.g.c) (*)
=> 𝐵𝐷 = 𝐹𝐷, 𝐵𝐷𝐹̂ = 1𝑉 => ∆𝐵𝐷𝐹 vuông cân tại D
=> 𝐷𝐹𝐵̂ = 450 (1)
Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho AI = 2AB
Dễ thấy ∆𝐼𝐵𝐹 = ∆𝐴𝐶𝐵 (c.g.c) => 𝐴𝐶𝐵̂ = 𝐼𝐵𝐹̂ = 𝐸𝐹𝐵̂ (2)
Từ (*), (1) và (2) ta có 𝐴𝐷𝐵̂ + 𝐴𝐶𝐵̂ = 𝐵𝐹𝐷̂ = 450
* Dạng 4 Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác cân khi biết một góc
Bài toán 9 Cho ∆𝑨𝑩𝑪, 𝑨̂ = 𝟖𝟎𝟎, 𝑨𝑪 > 𝐴𝐵 D là điểm thuộc đoạn AC sao cho DC=AB M, N theo thứ
tự là trung điểm của AD và BC Tính 𝑪𝑴𝑵 ̂ ?
Hướng giải
Trên tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK = DC
Nối K với B ta có ∆𝐴𝐾𝐵 cân tại A (vì AB = DC)
=> 𝐵𝐾𝐴̂ =1
2𝐵𝐴𝐶̂ =1
2∙ 80
0 = 400 (𝑡 𝑐⁄ 𝑔ó𝑐 𝑛𝑔𝑜à𝑖) Mặt khác ta có MA = MD => MK = MC, BN = NC
=> MN là đường trung bình của ∆𝐾𝐵𝐶
=> 𝑁𝑀𝐶̂ = 𝐵𝐾𝐶̂ = 400
F I
C D
E B
A
A
D K
Trang 7Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây
dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt
điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành
cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các
môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu
tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí