tài liệu ôn thi « cao học kinh tế

Baøi 13 : Moät loâ haøng goàm a saûn phaåm loaïi I vaø b saûn phaåm loaïi II ñöôïc ñoùng gôùi ñeå göûi cho khaùch haøng. Nôi nhaän kieåm tra laïi thaáy thaát laïc 1 saûn phaåm. Choïn [r]

ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ

(Biên soạn: Trần Ngọc Hội - 2007)

PHẦN II: XÁC SUẤT

A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

§1 ÔN VỀ TỔ HỢP

1.1 Định nghĩa: Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có

thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho

Ví dụ: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là:

n C

1.3 Bài tóan lựa chọn:

Một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có NA sản phẩm loại A và N- NA sản phẩm lọai B Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N) Với mỗi số nguyên k thỏa 0 k NA, 0 n-k N-NA Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A

Theo nguyên lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A là:

§2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

2.1 Phép thử và biến cố

1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện

xác định nào đó Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết

quả được gọi là một biến cố

Ví dụ: Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Các

biến cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…

2) Biến cố tất yếu, kí hiệu (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra

khi thực hiện phép thử

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số

chấm không quá 6” là biến cố tất yếu

3) Biến cố bất khả, kí hiệu , là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực

hiện phép thử

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số

chấm lớn hơn 6” là biến cố bất khả

4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra

khi thực hiện phép thử Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm”

là một biến cố ngẫu nhiên

Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6) là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm”

5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A B) là biến

cố định bởi:

A + B xảy ra A xảy ra hoặc B xảy ra

Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra Minh họa:

Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2,…, An như sau:

A1 + A2 +…+ An xảy ra Có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2,…, An xảy ra

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có

số chấm không quá 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta có:

A = A1 + A2

B = A2 + A4 + A6

6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A B) là biến cố định

bởi:

AB xảy ra A xảy ra và B xảy ra

Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra

Minh họa:

Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A1, A2,…, An như sau:

A1A2…An xảy ra Tất cả n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy ra

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn

B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5

C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5

Ta có: AB = A6 và ABC =

7) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới

dạng tổng của hai biến cố khác

Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất không thể phân chia đươc nữa Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp

nào đó, ta gọi những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A Như vậy, mọi

biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố bất khả

Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là Aj (j = 1,2,…,6) Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ Khi đó:

A = A1 + A3 + A5

Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A1, A3, A5

8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = , nghĩa là A và B

không bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn

B : Xuất hiện mặt 1 chấm

C : Xuất hiện mặt có số không quá 2

Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A2)

9) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A, là biến cố định bởi

A xảy ra A không xảy ra Minh họa:

Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = , nghĩa là nhất thiết phải có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử

Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố

A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn

B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ

Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A

10) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi

thực hiện phép thử

Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ

cấp Aj (j = 1,2,…,6) là đồng khả năng

2.2 Định nghĩa xác suất.

Giả sử khi tiến hành một phép thử ø, có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A

Tổng

A cho lợi thuận cấp

sơ cố biến ố

S

2.3 Công thức tính xác suất lựa chọn.

Xét một lô hàng chứa N sản phẩm, trong dó có NA sản phẩm loại A, còn lại là loại B Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra n sản phẩm (0< n < N) Khi đó, với mỗi 0 k NA thỏa 0 n-k N-NA, xác suất để trong n sản phẩm chọn ra có đúng k sản phẩm loại A là:

n n

N

p

C

§3 CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

3.1 Công thức cộng xác suất

1) Công thức cộng xác suất thứ nhất

Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có

P(A+B) = P(A) + P(B) Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đôi, ta có:

P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

2) Hệ quả:

Với A là một biến cố bất kỳ, ta có

P(A) 1 P(A)

3) Công thức cộng xác suất thứ hai:

Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Ví dụ 1: Một lô hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có:

a) Số sản phẩm tốt không ít hơn số sản phẩm xấu

b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu

Lời giải

Gọi Aj (j = 0,1,…,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và (4-j) sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra Khi đó A0, A1,…,A4 xung khắc từng đôi và theo Công thức tính xác suất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n = 4 (ở đây loại A là loại tốt), ta có:

(

Từ đó ta tính được:

1365

210 )

(

; 1365

600 )

(

1365

450 )

(

; 1365

100 )

(

; 1365

5 )

(

4 3

2 1

0

A P A

P

A P A

P A

1365

450 1365

600 1365

210

) ( ) ( ) ( ) ( A P A4 P A3 P A2P

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra Khi đó, biến cố đối lập B là biến cố không có sản phẩm xấu nào trong 4 sản phẩm chọn ra nên B = A4 Suy ra xác suất của B là

8462 , 0 1365

210 1

) ( 1 ) ( 1 )

Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Toán,

70 sinh viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Anh văn Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn

Lời giải

Gọi

- A là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Toán

- B là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Anh văn

Khi đó

- AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và Anh văn

- A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh văn

Do đó

9 , 0 100

40 100

70 100

60 )

( ) ( ) ( )

P

§4 CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

4.1 Xác suất có điều kiện

1) Định nghĩa: Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi

Ví duï: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Xét các biến cố sau:

- A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn

- B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ

- C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4

- D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4

Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A) Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy ra Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau:

2) Tính độc lập: Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến

cố B không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B

4.2 Công thức nhân xác suất thứ nhất

Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có

P(AB) = P(A) P(B) Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi 1 i j n , Ai và Aj độc lập, ta có:

P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An)

4.3 Công thức nhân xác suất thứ hai

Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có

P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B) Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ , ta có:

P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/ A1)… P(An/ A1 A2 …An-1)

Chẳng hạn:

P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB)

Ví dụ: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu

Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm

a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu

b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I

45 )

(

; 105

50 )

(

; 105

10 )

(

2 15

0 5

2 10 2

2 15

1 5

1 10 1

2 15

2 5

0 10 0

C

C C

C C C

C C C

A P

A P

A P

- B0, B1, B2 xung khắc từng đôi và ta có:

105

28 )

(

; 105

56 )

(

; 105

21 )

(

2 15

0 7

2 8 2

2 15

1 7

1 8 1

2 15

2 7

0 8 0

C C C

C C C

C C C

B P

B P

B P

- Ai và Bj độc lập

a) Gọi A là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phảm xấu Ta có:

A = A0 B2 + A1B1 + A2 B0

Do tính xung khắc từng đôi, Công thức cộng xác suất cho ta:

P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0)

Từ đây, do tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:

3651 , 0

105

21 105

45 105

56 105

50 105

28 105 10

) )P(B P(A

) )P(B P(A

) )P(B P(A

b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Khi đó biến cố

A đã xảy ra Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A1/A)

Theo Công thức nhân xác suất thứ hai, ta có

/A) P(A)P(A

56 105

50 )

( ) ( ) (

) ( A1A P A1B1 P A1 P B1P

Do đó xác suất cần tìm là:

0,6957.

0,3651

0,2540 P(A)

A) P(A /A)

1

§5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES

5.1 Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi

Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu hai tính chất sau được thỏa:

- A1 + A2 +… + An = ;

- 1 i j n, AiAj = , nghĩa là các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một và chỉ một biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ

Nhận xét: Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1

Ví dụ: Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi Xét các biến cố sau:

- Ai (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2-i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I

- Bj (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2-j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II

Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi:

- A0 , A1 , A2

- B0 , B1 , B2

- A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2

- A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2

5.2 Công thức xác suất đầy đủ

Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Khi đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có:

a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu

b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I

Lời giải

Gọi

- A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II

- Aj (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 - j) sản phẩmxấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I

Khi đó A0, A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:

105

45 )

(

; 105

50 )

(

; 105

10 )

(

2 15

0 5

2 10 2

2 15

1 5

1 10 1

2 15

2 5

0 10 0

C C C

C C C

C C C

A P

A P

A P

a) Yêu cầu của bài toán là tính xác suất P(A)

Theo Công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2)

Ta có:

136

72 )

/

17

1 9

1 8 0

C C

C

A A P

136

70 )

/ (

136

72 )

/ (

2 17

1 7

1 10 2

2 17

1 8

1 9 1

C C C

C C C

A A P

A A P

Suy ra xác suất của biến cố A là

5231 , 0

136

70 105

45 136

72 105

50 136

72 105 10

) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( ) ( A P A0 P A A0 P A1 P A A1 P A2 P A A2P

b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II Khi đó biến cố A đã xảy ra Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(A1/A) Aùp dụng Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a)

ta có

0,5231 136

72 105

50 P(A)

) )P(A/A P(A

/A)

Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:

k k n k

6.2 Hệ quả: Với các giả thiết như trên ta có:

- Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là qn

- Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là pn

Ví dụ Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60% Cho máy sản xuất 5 sản phẩm Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có: a) 3 sản phẩm tốt

b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt

k k

n k k n

A

5( 0 , 6 ) ( 0 , 4 ) )

(

a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là:

3456 , 0 ) 4 , 0 ( ) 6 , 0 ( )

5

3 C

A P

b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là P(A3 + A4 + A5) Ta có:

68256 ,

0

) 6 0 ( ) 4 , 0 ( ) 6 , 0 ( 3456

, 0

) ( ) ( ) ( ) (

5 4

4 5

5 4

3 5

4 3

C

A P A

P A

P A

A A P

B - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

- PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

§1 KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.1 Định nghĩa: Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo kết quả của phép thử

Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên

Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên

Ví dụ: Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương Ta có T là một đại lượng ngẫu nhiên liên tục

1.3 Luật phân phối :

a) Trường hợp rời rạc:

Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần :

Lời giải

Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2 Aùp dụng Công thức tính xác suất lựa chọn ta được:

3

1 )

2 (

; 15

8 )

1 (

; 15

2 )

0 (

2 10

0 4

2 6 2

2 10

1 4

1 6 1

2 10

2 4

0 6 0

C C C C

C C

C C C

X P p

X P p

X P p

Vậy luật phân phối của X là

P 2/15 8/15 1/3

b) Trường hợp liên tục:

Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trị của X ở dòng trên,

ta chỉ ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó (a, b có thể hữu hạn hoặc vô hạn) Còn thay cho xác suất p0, p1,…, pn ta đưa ra hàm mật độ

f(x) thoả các tính chất sau:

- f(x) 0 với mọi x [a;b]

-

b

a

dx x

f ( ) 1

- P ( X ) f ( x ) dx

§2 CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

2.1 Mode: Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị

x0 của X được xác định như sau:

- Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn nhất trong số các xác suất P(X = x)

- Nếu X liên tục thì x0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất

Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy nhất Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau

Ví duï: Xét lại ví dụ trên, ta có

P 2/15 8/15 1/3

Do đó Mod(X) = 1

2.2 Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình)

1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được xác định như sau:

- Nếu X rời rạc có luật phân phối

M

0)

2) Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau:

Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính hằng số đó, nghĩa là:

2.3 Phương sai và độ lệch chuẩn

1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực không âm định bởi: