V% bên ngoài các hình bình hành ABIF; BCPQ; CARS.[r]
Trang 1TÓM T T LÝ THUY T
CÂU H I GIÁO KHOA
Câu 1: Cho 5 i m A, B, C, D, E Có bao nhiêu vect khác vect - không có i m u và i m cu i
là các i m ó
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O Tìm các vect t o nên t 2 trong 5 i m A, B, C ,
D , O th a i u ki n
a) B ng vect AB ; OB
b) Có dài b ng OB
Câu 3: Cho t giác ABCD, g i M, N, P, Q l n l t là trung i m AB, BC, CD, DA Ch ng minh
MQ NP QP
Câu 4: Cho tam giác ABC có tr c tâm H và O tâm là ng tròn ngo i ti p G i B’ là i m i
x ng B qua O Ch ng minh: AH = B ' C
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD D ng AM = BA , MN = DA , NP = DC , PQ = BC
Ch ng minh AQ= 0
Chuyên 1: VÉCT
1 nh ngh a: Véct là m t o n th ng có nh h ng Ký hi u: , , , a b x ho c
, ,
AB CD
Xét véct AB, ta g i: A là i m u; B là i m cu i; o n AB : = AB là dài c a vect AB
Vect không, ký hi u 0 , là véct có i m u và i m cu i trùng nhau
2 Các phép toán trên vect :
*) T ng c a hai véct : Cho hai véct ,a b T m t i m A tùy ý ta d ng hai véct
;
AB=a BC= Khi ó, a bb + = AC
*) Hi u c a hai véct : Cho véct a Khi ó t n t i duy nh t véct b sao cho
0
a+b = Ta g i b là véct i c a véct a và ký hi u a−
nh ngh a a− = + −b a ( b)
*) Nhân m t s v i m t vect : Cho vect a và s th c k Khi ó, ka là m t vect
xác nh b i
0, 0
ka k a
k
=
>
<
=
Trang 2Câu 6: Phát bi u nào sau ây là úng:
a) Hai vect không b ng nhau thì có dài không b ng nhau
b) Hi u c a 2 vect có dài b ng nhau là vect – không
c) T ng c a hai vect khác vect –không là 1 vect khác vect -không
d) Hai vect cùng ph ng v i 1 vec t khác 0 thì 2 vec t ó cùng ph ng v i nhau Câu 7: Cho hình ch nh t ABCD, goi O là giao i m c a AC và BD, phát bi u nào là úng
c) OA + OB + OC + OD = 0 d) AC - AD = AB
Câu 8: Cho tam giác u ABC c nh a, tr ng tâm là G Phát bi u nào là úng
c) | AB + AC | = 2a d) AB + AC =
2
3
AB - AC Câu 9: Cho AB khác 0 và cho i m C Có bao nhiêu i m D th a AB = CD
Câu 10: Cho a và b khác 0 th a a = b Phát bi u nào sau ây là úng:
a) a và b cùng nàm trên 1 ng th ng b) a + b = a + b
c) a - b = a - b d) a - b = 0
Câu 11: Cho tam giác ABC , tr ng tâm là G Phát bi u nào là úng
c) | AB + BC | = AC d) | GA + GB + GC | = 0
Câu 12: Cho hình bình hành ABCD có O là giao i m c a AC và BD Tìm câu sai
2
1 ( BA + CB )
Câu 13: Phát bi u nào là sai
a) N u AB = AC thì | AB | =| AC | b) AB = CD thì A, B,C, D th ng hàng c) 3 AB +7 AC = 0 thì A,B,C th ng hàng d) AB - CD = DC - BA
Câu 14: Cho t giác ABCD có M, N là trung i m c a AB và CD Tìm giá tr x th a
AC+ BD= xMN
a) x = 3 b) x = 2 c) x = -2 d) x = -3
Câu 15: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có tr ng tâm l n l t là G và G’ Ký hi u
P = AA ' + BB ' + CC ' Khi ó ta có
a) P = GG ' b) P = 2GG ' c) P = 3GG ' d) P = -GG '
Câu 16: Cho tam giác u ABC c nh a, tr ng tâm là G Phát bi u nào là úng
a) AB = AC b) | AB + AC | = 2a c) GB+GC = 3
3
a
d)AB+ AC= 3AG Câu 17: Cho tam giác ABC, có bao nhiêu i m M th a MA + MB + MC = 5
a) 1 b) 2 c) vô s d) Không có i m nào
Câu 18: Cho tam giác u ABC c nh a có I, J, K l n l t là trung i m BC, CA và AB Giá tr c a
|AI + BJ + CK| là
2
a
c) 3 2 a
d) 3a
Trang 3Câu 19: Cho tam giác ABC, I là trung i m BC, tr ng tâm là G Phát bi u nào là úng
c) AB + IC = AI d) GB + GC = 2GI
V n 1: Ch ng minh m t ng th c vect
BÀI T P Bài 1: Cho 7 i m A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Ch ng minh r ng :
a) AB + CD + EA = CB + ED
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bài 2: Cho tam giác OAB Gi! s" OA + OB = OM , OA − OB = ON Khi nào i m M n m trên
ng phân giác trong c a góc AOB? Khi nào N n m trên ng phân giác ngoài c a góc AOB ? Bài 3 : Cho ng# giác u ABCDE tâm O Ch ng minh: OA OB OC+ + +OD OE+ = 0
Bài 4 : Cho tam giác ABC G i A’ la i m i x ng c a B qua A, B’ là i m i x ng v i C qua B, C’ là i m i x ng c a A qua C Ch ng minh r ng: OA OB OC+ + =OA'+OB'+OC',∀O
Bài 5: Cho l$c giác u ABCDEF có tâm là O CMR:
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
b) OA + OC + OE = 0
c) AB + AO + AF = AD
d) MA + MC + ME = MB + MD + MF , ( M tùy ý )
Bài 6: Cho tam giác ABC V% bên ngoài các hình bình hành ABIF; BCPQ; CARS Ch ng minh
r ng:RF + IQ + PS = 0
Bài 7: Cho tam giác ABC n i ti p trong ng tròn tâm O, tr c tâm H V% ng kính AD
a) Ch ng minh r ng HB + HC = HD
b) G i H’ là i x ng c a H qua O Ch ng minh r ng HA + HB + HC = HH '
Bài 8: Tìm tính ch&t tam giác ABC, bi t r ng: CA + CB = CA - CB
Bài 9: Ch ng minh r ng: G là tr ng tâm tam giác ABC khi và ch' khi 0
Ph ng pháp: ch ng minh m t ng th c véct ta ch ng minh
v này thành v kia ho c hai v cùng b ng m t v th ba
Chú ý: +) AB= −BA
+) AB=AM +MB=MB−MA,∀M +) I là trung i m c a o n AB ⇔IA+IB= 0
⇔OA OB+ =2OI +) ABCD là hình bình hành ⇔ AD=BC
⇔AC=AB+AD
Trang 4Bài 10: Cho tam giác ABC có G là tr ng tâm và H là i m i x ng v i B qua G G i M là trung
i m BC Ch ng minh r ng;
AH = AC− AB CH= − AB+AC
MH = AC− AB
Bài 11: Cho tam giác ABC soa cho t(n t i i m O sao cho OA OB+ +OC=0 và OA OB OC OD, , ,
có dài b ng nhau Ch ng minh r ng ABC là tam giác u
Bài 12: Cho t giác ABCD, bi t r ng t(n t i i m O sao cho OA OB OC OD, , , có dài b ng nhau
và OA OB+ +OC+OD= Ch ng minh r ng ABCD là hình ch nh t 0
Bài 13: Cho tam giác ABC có G là tr ng tâm G i M là i m trên o n BC sao cho BM = 3MC Phân tích véct AG AM, theo hai véct AB AC,
Bài 14: Cho tam giác ABC có tr ng tâm G G i I là i m trên c nh BC sao cho 2CI = 3BI; J là
i m trên c nh BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC
a) Tính AI AJ, theo AB AC,
b)Tính AG theo AI AJ,
Bài 15: Cho tam giác ABC, g i I là i m trên BC kéo dài sao cho IB = 3IC
a) Tính AI theo AB AC,
b) G i J và K l n l t là hai i m trên hai c nh AC, AB sao cho JA = 2JC bà KB = 3KA Tính JK theo AB AC,
c) Tính BC theo AB AC,
Bài 15: Cho tam giác ABC, g i H là i m i x ng v i tr ng tâm G qua B
a) Ch ng minh r ng HA−5HB+HC= 0
b) Tính AB AC, theo AG AH,
Bài 16: Cho hình bình hành ABCD tâm O G i I là trung i m BO; G là tr ng tâm tam giác OCD Tính theo AB AD, các véct AI BG,
Bài 17: Cho tam giác ABC v i BC = a, CA = b, AB = c G i D, E, F l n l t là chân ng phân giác trong xu&t phát t A, B, C
a) Tính ADtheo AB AC,
b) Ch ng minh r ng n u AD+BE+CF= thì ABC là tam giác u 0
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông t i A có ng cao AH Ch ng minh r ng:
Chú ý: +) Cho ,a b là hai véct không cùng ph ng Khi ó, v i
m i véct x , t n t i duy nh t c p s ( , )m n sao cho x=ma+nb
+) Phân tích véct x theo hai véct ,a b là hai véct không cùng ph ng ngh a là tìm c p s ( , )m n th a x=ma+nb
Trang 5V n 2: Xác nh i m th a ng th c véct cho tr c
BÀI T P Bài 1: Cho tam giác ABC, hãy d ng các i m M, N, P, Q bi t r ng:
a) MA−2MB= ; 0 b) NA−NB−2NC= 0
c) PA PB PC BC+ + = ; d) 2QA QB− +3QC= AC+AB
Bài 2: Cho tam giác ABC, hãy d ng các i m M, N, P bi t r ng:
a) MA−3MB= AC; b) NA−NB+2NC= 0
c) PA+2PB=2CB
Bài 3: Cho tr c hai i m A, B và hai s ,α β v i α+β ≠ Ch ng minh r ng t(n t i duy nh&t 0
i m I sao cho αIA+βIB= T ó suy ra 0 αMA+βMB=(α+β)MI v i m i i m M
Bài 4: Cho tr c ba i m A, B, C và ba s , ,α β γ v i α+β γ+ ≠ Ch ng minh r ng t(n t i duy 0 nh&t i m I sao cho αIA+βIB+γIC=0 T ó suy ra αMA+βMB+γMC=(α β γ+ + )MI v i
m i i m M
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Xác nh i m I c nh và tìm s k sao cho các ng th c sau
th a v i m i i)m M
a) MA+2MB=k MI; b) 2MA MB MC k MI+ − = ; c) MA+MB+MC+3MD=k MI Bài 6: Cho t giác ABCD Xác nh i m I c nh và tìm s k sao cho các ng th c sau th a v i
m i i)m M
a) MA MB MC k MI+ − = ; b) MA+MB+2MC=k MI;
c) MA MB MC MD k MI+ + + = ; d) 2MA−3MB+2MD=k MI
Bài 7: Cho tam giác ABC, hãy d ng các i m M, N, P, Q bi t r ng:
a) MA MB− +2MC= AB; b) NA+NB+NC= AB−2AC
c) PA+PB+2PC= ; 0 d) 3QA−2QB+QC= 0
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O D ng các i m M, N, P bi t r ng:
a) MA+MB+MC=4MD; b) 2NA+2NB=3NC−ND
c) 4PA+3PB+2PC+PD= 0
Bài 9: Cho hình vuông ABCD c nh a., M là m t i m b&t k* Ch ng minh r ng các véct sau ây không i và tính dài c a chúng
3
u= MA MB− −MC−MD; w=4MA−3MB+MC−2MD
Ph ng pháp: Ta ã bi t, v i A là i m c nh và w là véct không
i, ng th c AM =w xác nh duy nh t m t i m M Do ó, d ng
i m M ta bi n i ng th c véct cho tr c v d ng AM =w, trong
ó, A là i m c nh và w là véct không i
Trang 6V n 3: Ch ng minh ba i m th ng hàng – Ch ng minh ng th ng i qua
m t i m c nh – Tìm t p h p i m
BÀI T P Bài 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuy n.G i I là trung i m AM và K là m t i m trên
c nh AC sao cho AK = 1
3AC Ch ng minh ba i m B, I, K th ng hàng
Bài 2: Cho ∆ ABC và M, N c xác nh b+i BC+MA=0;AB−NA−3AC= Cmr: MN // AC 0 Bài 3: Cho tam giác ABC ; trên BC l&y D và E th a BD = DE = EC G i I là trung i m BC; S là
i m th a SA = AB + AD + AE + AC Ch ng minh r ng ba i m I; S; A th ng hàng
Bài 4: Cho ∆ABC i m I n m trên AC th a CI = 1
4CA; J là i m th a
BJ = AC− AB a) Ch ng minh: 3
4
BI= AC−AB b) Ch ng minh B, I, J th ng hàng
c) Hãy d ng i m J th a i u ki n bài
Bài 5: Cho hình ch nh t ABCD tâm O, M là m t i m b&t k* Tính MS = MA + MB + MC +
MD theo MO T ó suy ra ng th ng MS quay quanh 1 i m c nh
Bài 6: Cho tam giác ABC n i ti p trong ng tròn tâm O G i H là tr c tâm; G là tr ng tâm tam giác ABC và AD là ng kính c a ng tròn (O) Ch ng minh:
a) HBDC là hình bình hành
b) HA+HB+HC=2HO và OA OB OC OH+ + =
c) O, H, G th ng hàng
Bài 7: Cho tam giác ABC, g i I, J là hai i m th a IA=2IB và 3JA+2JC= Ch ng minh r ng 0
ng th ng IJ qua tr ng tâm G c a tam giác ABC
Bài 8: Cho tam giác ABC và véct w=3MA−2MB−MC v i M là i m b&t k*
a) Ch ng minh w là véct không i
b) V% AD w= Ch ng minh r ng ng th ng AD luôn i qua m t i m c nh
c) V% MN =w, g i P là trung i m c a CN Cmr: MP luôn i qua m t i m c nh
Bài 9: Cho hình bình hành ABCD, g i M, N l n l t là hai i m trên o n Ab và CD sao cho 3AM
= AB; 2CN = CD G i G là tr ng tâm tam giác BMN
a) Tính AN theo AB AC, ; b) Tình AG theo AB AC,
c) G i I là i m nh b+i BI =k BC Tình AI theo AB AC, và k nh k AI qua G Bài 10: Cho tam giác ABC Tìm t p h p các i m M sao cho
a) k MA+(1−k MB) = ; 0 b) MA k MB+ +k MC= ; 0 c) 2MA+(3−k MB) +k MC= 0 Bài 11: Cho hai i m A, B phân bi t có nh Tìm t p h p các i m M th a i u ki n
a) MA MB+ = MA MB− ; b) 2MA MB+ = MA+2MB
Ph ng pháp: ch ng minh ba i m th ng hàng ta ch ng minh hai véct t o nên t ba i m cùng ph ng
Chú ý: a cùng ph ng v i b ∃ ∈k :a =kb