Thuyết minh đề tài các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng

THUYẾT MINH ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU XUẤT SẮCTên đề tài tiếng Việt Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng Tê

THUYẾT MINH ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU XUẤT SẮC

Tên đề tài (tiếng Việt) Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều

khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng

Tên đề tài (tiếng Anh) Optimality conditions and numerical methods for

nonsmooth optimal control problems governed by partial differential equations

Thời gian thực hiện 24 tháng , tháng 1/2021-12/2022

1 Giới thiệu tóm tắt

Bài toán chuyển pha (phase transitions) xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như khí hậu học (sự tan của băng), khoa học vật liệu (kỹ thuật luyện thép, sự đúc kim loại), khoa học thực phẩm (sự chuyển hóa của thức ăn), (xem Meirmanov [23]

và Visintin [31]) Trong nhiều trường hợp, miền ranh giới (mushy region) giữa các pha (băng – nước, rắn – lỏng) có thể biến đổi tự do theo thời gian Chẳng hạn xét bài toán 2 pha Stefan (two-phase Stefan problem) được cho bởi phương trình biến phân sau:

(1){¿ −v , φt>+ ¿∇ y , ∇ φ≥¿u , φ>∀ φ ∈ H1

(Q T): φ (., T )=0 y=ϑ (v ),

ở đó y là hàm mật độ năng lượng trong (internal energy density function), u

là nguồn nhiệt trong (internal heat source) và v là enthalpy Hàm ϑ là hàm không

trơn và được cho bởi phương trình sau:

ϑ (r )={0, r r , r< 0 ∈[0,1]

r−1, r > 1.

Khi đó miền ranh giới giữa các pha được cho bởi

{( x , t ) ∈Q T : y ( x , t )=0}.

Với mỗi u ∈ L2(Q T¿, phương trình (1) có nghiệm duy nhất y ∈ L2

(0,T ; H1(Ω)) và duy nhất v ∈ L2(Q T¿ (xem [Chương II, 31]) Do hàm ϑliên tục và không khả vi nên ánh xạ nghiệm

S : L2(QT)∋ u↦ y ∈ L 2

(0, T ; H1(Ω))

là liên tục nhưng không khả vi.

Sự tối ưu nguồn nhiệt u dẫn tới việc nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu

(ĐKTƯ) không trơn

(2){min1

2‖S(u)− y d‖2+α

2‖u‖

2

sao cho u ∈U ad ,

ở đó α >0 là hệ số Tikhonov và tập ràng buộc U ad được cho, chẳng hạn, bởi

U ad={f ∈ L ∞(QT)|a≤ f ≤ b , a a ( x , t ) ∈Q T}.

Việc tìm nghiệm tối ưu của bài toán (2) đòi hỏi sự nghiên cứu các điều kiện

tối ưu (bậc 1, bậc 2) cũng nhưkhảo sátsự hội tụ và đánh giá sai số của các bài

toán rời rạc (dựa trên các phương pháp như phương pháp phần tử hữu hạn— finite element method (FEM), phương pháp rời rạc hóa gradient—gradient discretization method (GDM)) của (2)

2 Tổng quan tình hình nghiên cứu và sự cần thiết tiến hành nghiên cứu

2.1 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Các chủ đề nghiên cứu về điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán ĐKTƯtrơn với ràng buộc được cho bởi phương trình đạo hàm riêng đã và đang

được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm Sau đây là một số tác giả, những người đang nghiên cứu lĩnh vực này: W Alt, N Arada, J F Bonnans, E Casas,C Christof, C Clason, V Dhamo, B.T Kien, K Malanowski, V H Nhu, N J.-P Raymond,A Rösch, N H Son,R Temam, B

A Ton, F Tröltzsch, D Wachsmuth,…

Gần đây,một vàitài liệu nghiên cứu điều kiện tối ưucho bài toán ĐKTƯ

không trơn đã được công bố bởi một số tác giả.Đó là: Meyer và Susu (2017)

[25] và Betz (2019) [4]cho bài toán ĐKTƯ với phương trình parabolic nửa tuyến tính không trơn; Christof và các đồng tác giả (2018) [14] cho bài toán ĐKTƯ với phương trình elliptic nửa tuyến tính không trơn;Clason và các đồng tác giả (2018, 2020) [15,16] cho bài toán ĐKTƯ với phương trình elliptic tựa tuyến tính không trơn

Dưới đây là một số công trình liên quan tới hướng nghiên cứu của đề tài

[1] W Alt and K Malanowski, The Lagrange-Newton method for nonlinear

optimal control problems, Comp Optim Appl., 2(1993), 77-100.

[2] W Alt and K Malanowski, The Lagrange-Newton method for state

constrained optimal control problems, Comp Optim Appl., 4(1995),

217-239

[3] N Arada, E Casas and F Tröltzsch, Error estimate for the numerical

approximation of a semilinear elliptic control problem, Comp Optim.

Appl., 23(2002), 201-229

[4] L M Betz, Second-order sufficient optimality conditions for optimal

control of non-smooth, semilinear parabolic equations, SIAM J Control

Optim., 57(2019), 4033–4062

[5] T Bewley, R Temam and M Ziane, Existence and uniqueness of optimal

control to the Navier-Stokes equations, C R Acard Sci Paris,

330(2000), 1007-1011

[6] J F Bonnans, Second-order analysis for control constrained optimal

control problems of semilinear elliptic systems, Appl Math Optim 38

(1998), 305–325

[7] J F Bonnans and H Zidani, Optimal control problems with partially

polyhedric constraints, SIAM J Control Optim 37 (1999), 1726–1741.

[8] E Casas and V Dhamo, Error estimates for the numerical approximation

of a quasilinear Neumann problem under minimal regularity of the data,

Numer Math 117 (2011), 115–145

[9] E Casas, J.-P Raymond and H Zidani, Pontryagin's principle for local

solutions of control problems with mixed control-state contraints, SIAM

J Control Optim Vol 39, 4(2000), 1182-1203

[10] E Casas and M Mateos, Uniform convergence of the FEM.

Applications to sate constrained control problems, Comput Appl Math.,

to appear

[11]E Casas and F Tröltzsch, Numerical analysis of some optimal control

problems governed by a class of quasilinear elliptic equations, ESAIM:

COCV, 17(2011), 771-800

[12]E Casas and F Tröltzsch, First- and second-order optimality conditions

for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equations,

SIAM J Control Optim 48 (2009), 688–718

[13]S Cherednichenko and A Rösch, Errorestimates for the discretization

of elliptic control problems with pointwise control and state constraints,

Comput Optim Appl, 44(2009), 27-77

[14]C Christof, C Clason, C Meyer, S Walther,Optimal control of a

non-smooth semilinear elliptic equation,Mathematical Control and Related Fields 8 (2018), 247-276.

[15]C Clason, V H Nhu, A Rösch, Optimal control of a non-smooth

quasilinear elliptic equation, Mathematical Control and Related Fields,

accepted 2018(to appear in 2021)

[16]C Clason, V H Nhu, A Rösch,No-gap second-order optimality

conditions for optimal control of a non-smooth quasilinear elliptic

equation, revised 2020.

[17]B T Kien and V H Nhu, Second-order necessary optimality

conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints, SIAM J Control and Optim., 52(2014),

1166-1202

[18]B T Kien, N V Tuyen and J.-C Yao, Second-order KKT optimality

conditions for multi-objective optimal control problems, SIAM J Control

Optim., 56(2018), 4069-4097

[19]B T Kien, X Qin, C.-F Wen and J.-C Yao,Second-order optimality

conditions for multiobjective optimal control problems with mixed pointwise constraints and free right end point, SIAM J Control

Optim., 58(4), 2658-2677

[20]K Kunisch and D Wachsmuth, Sufficient optimality conditions and

semi-smooth Newton methods for optimal control of stationary variational inequalities, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of

Variations 18 (2012), 520–547

[21]K Malanowski, Sufficient optimality conditions for optimal control

subject to state constraints, SIAM J Control Optim., 35(1997), 205-227.

[22] K Malanowski, Second-order sufficient conditions for

state-conditioned optimal control problems, J Optim Th Appl.,123(2004),

595-617

[23] A Meirmanov, Mathematical Models for Poroelastic Flows, Atlantis Press, Paris, 2014

[24] C Meyer, A Rösch and F Tröltzsch, Optimal control of PDEs with

regulized pointwise state constraints, Comp Optim Appl., 33(2006),

209-228

[25] C Meyer and L M Susu, Optimal control of nonsmooth, semilinear

parabolic equations, SIAM J Control Optim 55 (2017), 2206-2234.

[26] A Rösch and F Tröltzsch, Sufficient second-order optimality

conditions for an elliptic optimal control problem with pointwise control-state constraints, SIAM J Optim 17 (2006), 776-794.

[27] A Rösch and D Waschsmuth, Semi-smooth Newton method for an

optimal control problem with control and mixed control state constraints, Optim Meth Sof.,26(2011), 169-186.

[28] J.-P Raymond and H Zidani, Pontryagin's principle for

state-constrained control problems governed by parabolic equationswith unbounded controls, SIAM J Control Optim.,36(1998),1853-1879.

[29] N.H Son, B T Kien and A Rösch, Second-order optimality

conditions for boundary control problems with mixed pointwise constraints, SIAM J Optim., 26(2016), 1912-1943.

[30] B A Ton, An optimal control free boundary problem for the

Navier-Stokes equations, Nolinear Analysis, 63(2005), 831-839.

[31] A Visintin, Models of Phase Transitions, Birkhäuser, Boston, 1996

2.2 Sự cần thiết tiến hành nghiên cứu

Qua khảo sát các công trình trên chúng tôi thấy rằng có hai vấn đề chưa

được giải quyết Vấn đề thứ nhất là việc đưa racác điều kiện tối ưu(bậc 1 và bậc

2) cho bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình parabolic tựa

tuyến tính (chẳng hạn bài toán ĐKTƯ (2)) Vấn đề mở thứ hai là nghiên

cứuphương pháp số, trong đó khảo sát sự hội tụ và đánh giá sai số cho các bài

toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ không trơn

Khi nghiên cứu các điều kiện cực trị cho bài toán ĐKTƯ không trơn, các tác giả trong [4,14,15,25] đã sử dụng lược đồ sau: xấp xỉ bài toán ĐKTƯ gốc bằng các bài toán ĐKTƯ trơn (regulization scheme), sau đó nhận được tính compact của tập các nghiệm tối ưu cho các bài toán xấp xỉ, và cuối cùng thông qua giới hạn thu được hệ các điều kiện cực trị cho bài toán gốc Tuy nhiên đối

với bài toán ĐKTƯ (2), thành phần không trơn xuất hiện trong toán tử đạo hàm

cấp cao hơn và đo đó chúng ta không nhận được tính compact của tập các nghiệm tối ưu cho bài toán ĐKTƯ xấp xỉ Vì vậy lược đồ trên không thể áp dụng trực tiếp cho bài toán (2)

Để nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá sai số cho các bài toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ trơn, một phương pháp được sử dụng rộng rãi là việc áp dụng điều

kiện cần tối ưu bậc 1 và điều kiện đủ tối ưu bậc 2 (xem [3,8,10,11,13]) Tuy

nhiên theo tìm hiểu của chúng tôi, hiện chưa có một tài liệu nào nghiên cứu sự

hội tụ và đánh giá sai số cho bài toán ĐKTƯ không trơn

Do đó để nghiên cứu hai vấn để mở nêu trên, chúng ta cần phải đưa ra các phương pháp mới, công cụ mới và kỹ thuật chứng minh mới, hoặc ít nhất cần phải cải tiến các phương pháp tiếp cận hay các kỹ thuật đã được sử dụngtrước đó.Việc nghiên cứu các vấn đề mở đó sẽ góp phần vào sự phát triển của nhóm nghiên cứu ĐKTƯ ở Việt Nam và đồng thời tạo nên hướng nghiên cứu mới cho nhóm

3 Mục tiêu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là đưa ra một số kết quả mới về các điều kiện tối ưu và

phương pháp số cho các bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình

đạo hàm riêng

4 Nội dungnghiên cứu

Nghiên cứu các điều kiện tối ưu (bậc 1 và bậc 2) cho bài toán ĐKTƯ

không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng.

Nghiên cứu phương pháp số, trong đó bao gồm sự hội tụ và đánh giá sai số

của các bài toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng

5 Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu

Để thu được kết quả nghiên cứu đã nói ở trên, trước tiên chúng tôi sẽ khảo sát và nghiên cứu thật chi tiết các công trình liên quan trước đó Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiếp cận hai vấn đề cần giải quyết như sau

- Về các điều kiện cực trị: Trước hết chúng tôi cần nghiên cứu các tính chất

định tính của phương trình đạo hàm riêng liên quan tới bài toán ĐKTƯ Sau đó

sử dụng các công cụ và kỹ thuật mới (hoặc được cải tiến từ các kỹ thuật đã biết)

để nhận được các điều kiện tối ưu bậc 1 và bậc 2

- Về việc chứng minh tính hội tụ và đánh giá sai số: Chúng tôi sẽ nghiên

cứu các bài toán rời rạc (dựa trên các phương pháp rời rạc hóa như FEM và GDM) của phương trình trạng thái, của phương trình liên hợp và của bài toán ĐKTƯ Sau đó sử dụng các điều kiện cần tối ưu bậc 1 và điều kiện đủ tối ưu bậc

2 (đã được nghiên cứu ở trên) để đưa ra sự hội tụ cũng như đánh giá sai số của nghiệm tối ưu rời rạc so với nghiệm tối ưu của bài toán liên tục

6 Kế hoạch triển khai

đề tài

2 Vũ Hữu Nhự Trường Đại học Phenikaa Thành viên chính

3 Nguyễn Quốc Tuấn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Thành viên chính

Nội dung, công việc chủ yếu

(các mốc đánh giá chủ yếu)

Sản phẩm cần đạt

Thời gian

(bắt đầu, kết thúc)

Người thực hiện

1 - Nghiên cứu các tính chất định tính

của phương trình đạo hàm riêng

liên quan tới bài toán ĐKTƯ cần

xét.

01 công trình sẽ được xuất bản cho chủ đề nghiên cứu này.

12 tháng (từ 01/2021 – 12/2021)

Bùi Trọng Kiên,

Vũ Hữu Nhự, Nguyễn Quốc

- Đưa ra các điều kiện cực trị cho

bài toán ĐKTƯ không trơn.

Tuấn

2 - Nghiên cứu bài toán rời rạc của

phương trình trạng thái, phương

trình liên hợp, bài toán ĐKTƯ.

- Chứng minh sự hội tụ và đánh giá

sai số của nghiệm tối ưu rời rạc và

nghiệm tối ưu của bài toán ĐKTƯ

liên tục.

01 công trình sẽ được xuất bản cho chủ đề nghiên cứu này.

12 tháng (từ 01/2022 – 12/2022)

Bùi Trọng Kiên,

Vũ Hữu Nhự, Nguyễn Quốc Tuấn

7 Dự kiến kết quả đề tài

7.1 Dự kiến kết quả nghiên cứu

Đưa ra 02 công trình cho các kết quả mới về các điều kiện tối ưu và sự

hội tụ và đánh giá sai số.

7.2 Dự kiến công trình công bố

1 Tạp chí SCI-E của Web of Science 02 Tạp chí uy tín

8 Tổng kinh phí đăng ký tài trợ:

8.1 Tổng hợp

TT

Mục

Chia ra các năm

1 6650 Hội nghị, hội thảo

2 6700 Đi công tác trong nước

3 6800 Đi công tác nước ngoài

4 6850 Đoàn vào

5 7000 Tiền công lao động trực tiếp 377.178.600 189.319.400 187.859.200

Thành viên nghiên cứu chính, thư

ký khoa học

202.967.800 102.214.000 100.753.800

Tổng cộng: 400.000.000 200.000.000 200.000.000

8.2 Chi tiết:

a Tiền công lao động:

TT Họ và tên

Chức danh thực hiện đề tài

Hệ số tiền công (hstc) Tổng

số

Năm 2021

Năm 2022

b Chi tiết các khoản còn lại:

Năm 2021 Năm 2022

7000 In ấn tài liệu, văn phòng phẩm 2.821.400 680.600 2.140.800

TRUNG TÂM Hà Nội, ngày tháng năm 20

Chủ nhiệm đề tài

Bùi Trọng Kiên