- Dạng lượng giác của số phức, các phép toán nhân chia số phức và công thức Moivre. - Phương pháp giải một số bài toán ứng dụng[r]
Trang 1Tiết 83 - Tuần 32
Ngày soạn:31/3/2013
BÀI TẬP DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
I MỤC TIÊU :
+ Về kiến thức :Giúp học sinh củng cố kiến thức:
Acgumen của số phức; dạng lượng giác của số phức; công thức nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác; công thức Moivre
+ Về kỹ năng :Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng:
- Viết số phức dưới dạng lượng giác, tìm acgumen của số phức
- Thực hiện phép tính nhân chia số phức dưới dạng lượng giác, biết cách áp dụng để giải một
số dạng bài tập
+ Về tư duy và thái độ
Liên hệ được nhiều vấn đề trong thực tế với bài học
Rèn luyện tư duy sáng tạo, logic, biết tổng hợp kiến thức
Phát huy tính độc lập, sáng tạo trong học tập
II.CHUẨN BỊ:
+ Giáo viên : Giáo án điện tử, hệ thống bài tập, phiếu học tập, máy chiếu.
+ Học sinh: SGK, vở ghi,vở bài tập Ôn tập các kiến thức đã học về số phức Chuẩn bị MTCT
III PHƯƠNG PHÁP:
Kết hợp các phương pháp: thuyết trình; gợi mở vấn đáp; hoạt động nhóm
IV TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:
1 Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số.
2 Kiểm tra bài cu:
H1: Viết dạng đại số và dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 ?
Hãy chỉ ra mođun và một acgumen của z?
H2: Nêu công thức nhân, chia hai số phức dưới dạng lượng giác?
H3: Nêu công thức Moivre?
Sau mỗi câu trả lời của HS, GV chiếu bài trong Slide 3
3 Bài mới:
Hoạt động 1: Củng cố và rèn luyện kỹ năng viết dạng lượng giác của số phức.
-GV gọi HS1 lên bảng làm
bài và kiểm tra vở bài tập của
Bài 28a(Sgk)
Trang 2- Yêu cầu HS cả lớp viết
dạng đại số của số phức
z1
z2
Từ đó suy ra giá trị đúng của
s 7 π
12 và sin
7 π
12 ?
z1=2(1
2−
√3
2 i)
¿2[cos(−π
3 )+isin(−π
3 ) ]
z2=√2( 1
√2+
1
√2i)
¿√2[cos(π4)+isin(π4) ]
z1
z2=
1−i√3
1+i =2[cos(−7 π12 )+isin(−7 π12 ) ]
- HS:
z1
z2=
1−i√3
1+ i =
1−√3
1+√3
2 i
⇒cos 7 π
12=
√2−√6 4 sin7 π
12=
√2+√6 4
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
z1=1−i√3
z2=1+i;z1
z2=
1−i√3
1+i
Hoạt động 2: Áp đụng công thức Moivre để thực hiện các phép tính luy thừa.
H1: Viết (1+ i) và (1- i) dưới
dạng lượng giác?
- Gọi HS2 lên bảng làm tiếp
câu a
HS khác nhận xét
GV chỉnh sửa, đánh giá và
cho điểm
H2: Muốn tính được B phải
tìm được số phức z mà z là
nghiệm của pt(1),Hãy giải
pt(1)?
GV gọi HS3 lên bảng làm bài
H3: Viết dạng lượng giác của
số phức z và tính z2013?
Từ đó suy ra B?
(GV hướng dẫn cho HS3 nếu
cần)
HS khác nhận xét
GV đánh giá và cho điểm
- HS1: 1+i=√2(cosπ
4+isin
π
4)
1−i=√2[cos(−π
4 )+isin(−π
4 )]
¿
¿
⇒ A=¿
√2
¿
¿
+¿
¿√22013(−√2
2 −√
2
2 i)+√22013(−√2
2 +√
2
2 i)
¿ −21007
- HS3: z+1
z=1(đk : z ≠ 0)
⇔ z2
−z +1=0
⇒ z=1
2+
i√3 2 z=1
2−
i√3 2
2+
i√3
2 =cos
π
3+isin
π
3
⇒ z2013
=cos2013 π
3 +isin
2013 π
II.Bài tập bổ sung:
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A=(1+i)2013+(1−i)2013
b) B=z2013+ 1
z2013
biết z+1
z=1 (1)
Trang 3⇒ B=−1+ 1
−1=−2
+Với
z=1
2−
i√3
2 =cos (
−π
3 )+isin (
−π
3 )
⇒ z2013
=cos−2013 π
3 +isin
−2013 π
⇒ B=−2
Hoạt động 3: Áp dụng công thức Moivre và công thức khai triển nhị thức Newton để tính
tổng các số C n k
H4: Nhìn vào tổng S1, S2 các
em liên tưởng đến công thức
nào đã học?
- GV yêu cầu HS làm bài 2
theo nhóm
- Chọn nhóm làm tốt nhất
theo hai cách cử đại diện
trình bày
GV chiếu bài của HS, và
nhận xét
GV chỉnh sửa và đánh giá
- GV tổng kết lại các cách
làm
- GV: Nếu thay số 2013 bằng
một số tự nhiên bất kì ta có
bài toán tổng quát
H5: Hãy tính tổng A và B?
-GV yêu cầu HS về nhà tự
chứng minh bài toán tổng
quát
- GV: Kết hợp công thức
Moivre và công thức khai
triển nhị thức Newton ta có
một số kết quả khá thú vị
Các em về nhà hãy tìm thêm
một số bài toán tương tự
- HS: công thức khai triển nhị thức Newton
- HS thảo luận theo nhóm và cử đại diện trình bày
Cách 1:
(1+i)2013=(C20130 −C20132 +…+C20132012) +i(C12013−C20133 +…+C20132013)
√2
¿
¿
(1+i )2013=¿
⇒ S1=(√2)2013cos2013 π
4 =−(√2)
2012
S2=(√2)2013sin2013 π
4 =−(√2)
2012
⇒ S1 =− 21006và S2 =−21006
Cách 2:
(1+i)2013=(C20130 −C20132 +…+C20132012) +i(C12013
−C20133
+…+C20132013
) (1−i)2013=(C20130 −C20132 +… +C20132012)
−i(C20131
−C20133
+… +C20132013
)
⇒ S1=(1+i )2013+(1−i )2013
1006
S2=(1+i )2013−(1−i)2013
1006
-HS:
A=(√2)ncosnπ
4 =
(1+i)n+(1−i)n 2
B=(√2)nsinnπ
4 =
(1+i) n−(1−i)n
2
Bài 2: Tính tổng
S1=(C20130
−C20132
+C20134
−…+C20132012
)
S2=(C20131 −C20133 +C20135 −…+C20132013)
Bài toán tổng quát: Tổng:
A=C n0−C n2+C n4−…
¿ (√2)ncosnπ
4 =
(1+ i)n+(1−i)n
2
B=C n1−C n3+C n5−…
¿ (√2)nsinnπ
4 =
(1+i)n−(1−i)n 2 ( n N*)
Hoạt động 4: Áp dụng công thức Moivre vào lượng giác.
Trang 4Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung
- GV hướng dẫn HS:
H6: Tính A + Bi?
H7: Biểu thức (cos2x +
isin2x) có đưa được về lũy
thừa không? Dựa vào công
thức nào?
H8: Đặt z = cosx + isinx thì
A+Bi = ?
H9: Có nhận xét gì về dãy
số1, z, z2
,…, z9 ?
H10: Nêu công thức tính tổng
n số hạng đầu của cấp số
nhân?
- GV: cần điều kiện z 1,
suy ra x?
H11: Nếu z = 1x=? thì có
tính được tổng không?
H12: trong trường hợp
z1,viết dạng lượng giác của
số phức 1-z10 và 1-z Từ đó
suy ra A và B?
GV yêu cầu HS về nhà tự
tính tiếp
- HS:
A + Bi = 1 + (cosx + isinx) + (cos2x + isin2x) + …+ (cos9x + isin9x)
¿1+(cosx+isinx )+(cosx+isinx )2
+…+(cosx+isinx )9
-HS:Đó là một cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội q = z
- HS trả lời
A +Bi=1+z +…+z9=1−z10
1−z
- HS: x ≠ k2 π (kZ)
z = 1 thì x = k2 π (kZ)
A = 10 và B = 0 + HS:
1 – z = 1 – cosx – isinx
=
2 sin x
2[cos(2x−
π
2)+isin(2x−
π
2)]
1 – z10 = 1 – cos10x – isin10x
=
2 sin5 x [cos(5 x− π
2)+isin(5 x − π
2)]
⇒ A+Bi= sin 5 x
sinx 2
(cos9 x
2 +isin
9 x
2 )
Bài 3:
Rút gọn biểu thức:
A = 1 + cosx + cos2x +…+ cos9x
B = 1 + sinx + sin2x +…+ sin9x
Trang 54 Củng cố:
Qua bài học này các em cần nhớ
- Dạng lượng giác của số phức, các phép toán nhân chia số phức và công thức Moivre
- Phương pháp giải một số bài toán ứng dụng
5 Bài tập về nhà:
- Hoàn thành các bài 32; 34;35 trong SGK trang 207
- Làm các bài tập 4.24; 4.27; 4.32 trong SBT trang 181-182
- Chuẩn bị bài Ôn tập chương