c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng (d) và (P).. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.[r]
Trang 1chuyên đề 1: Các bài toán liên quan đến hàm số
A Lí thuyết.
1 Điểm thuộc đồ thị
A(x1, y1) (d) y= ax +b y
1= ax1 +b A(x1, y1) (P): y = ax2 y
1 = a
2 1
x
2 Khoảng cách
Khoảng cách giữa hai điểm A(x1, y1) ; B(x2, y2) là AB =
( x x ) ( y y )
Khoảng cách giữa hai điểm A(x1, y1) ; O(0, 0) là OA=
x y
3 Toạ độ trung điểm M của AB là
2 2
M
M
x
y
4 Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
(d1) y= a1 x +b1
(d2) y= a2 x +b2
+d1//d2 a
1 = a2, b1 b2
+d1trùng với d2 a1 = a2, b1 = b2
+d1cắt d2 a1 a2
+ d1 d2 a1 a2=1
5. Vị trí tơng đối của (P) y = ax 2 và (d) y= mx +n là:
Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là:
ax2= mx +n
ax2– mx +n =0 (*)
Phơng trình (*) là pt bậc hai có m 2 4 an
+Nếu < 0 pt (*) Vô nghiệm (P ) và (d) không có điểm chung
+Nếu = 0 pt (*) Có nghiệm kép (P ) và (d) tiếp xúc
+Nếu > 0 pt (*) Có 2 nghiệm phân biệt (P ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
6 Tính đồng biến nghịch biến
+ Hàm số y=ax+b đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a< 0
+ Khi a>0 hàm số y= ax2 đồng biến với mọi x>0 và nghịch biến với mọi x<0
+ Khi a<0 hàm số y= ax2 đồng biến với mọi x<0 và nghịch biến với mọi x>0
B Ví dụ
Ví dụ 1 : cho (P): y=x2
và đờng thẳng (d): y= mx+m2-1
1) Tìm m để (P) và (d) không có điểm chung ?
2) Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc? Tìm tiếp điểm?
3) Tìm m để (P) cắt (d) tại Avà B? Tìm A, B trong đó điểm A có hoành độ bằng 1 ?
a Tính AB? Tìm M trên cung AB sao cho SMAB =3 ?
b Tìm SOAB = ? , POAB = ?
c Tính khoảng cách từ O đến (d) khi đó ?
4) m = ? để (P) cắt (d) tại 2 điểm A , B sao cho: P= xA2 + xB2 + 5 , đạt GTNN ?
5) m= ? để (P) cắt (d) tại Avà B thoả mãn yA+ yB + xAxB =1 ?
6) Tìm m để (P) cắt (d) tại Avà B thoả mãn một điều kiện nào đó của xA, xB?
7) Tìm M thuộc cung AB trong đó A(1;1) và B(2;4) sao cho diện tích tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất
Ví dụ 2
Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) y= 2x2 và (d) y=–3x +5
1 Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đi qua hai điểm A(1;1) và B(-3;4)
2 Lập phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua M(1,-2) tiếp xúc với (P)
3 Lập phơng trình đờng thẳng (d3)//(d) và tiếp xúc với (P)
Trang 24 Lập phơng trình đờng thẳng (d3) (d) và tiếp xúc với (P)
4 Lập phơng trình đờng thẳng (d4) tiếp xúc với (P) và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích là 1
5 Lập phơng trình đờng thẳng (d5) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lợt là 1 và
1 2
6 Lập phơng trình đờng thẳng (d6) đi qua C(0;1) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB= 10
7 Lập phơng trình đờng thẳng (d7) //d và cắt (P) tại điểm có hoành độ là -2
8 Lập phơng trình (d8) đi qua D( 0;2) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho
x x
Ví dụ 3 ( Đề thi vào THPT năm học 1997-1998)
Trong hệ trục toạ độ Oxy cho ba điểm A(- 3;6); B(1;0); C(2;8)
1,Biết điểm A nằm trên Parabol(P) có phơng trình y=ax2, xác định a
2, Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua hai điểm B và C
3, Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và Parabol (P)
Ví dụ 4 ( Đề thi vào THPT năm học 1998-1999)
a Trên hệ trục toạ độ vẽ đồ thị các hàm số y=
2
2
x
(P) và y=
3 2
x
(d)
b Dùng đồ thị cho biết nghiệm của phơng trình 2 x 3 x
Ví dụ 5 ( Đề thi vào THPT năm học 1999-2000)
Cho hàm số y=2x2 (P)
1 Vẽ đò thị hàm số (P)
2 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (0;-2) và tiếp xúc với (P)
Ví dụ 6 ( Đề thi vào THPT năm học 2002-2003)
Cho hàm số y= x+m (D) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D)
a Đi qua A(1;2003)
b Song song với đờng thẳng x-y +3=0
c Tiếp xúc với Parabol y=
2
1
4 x
Ví dụ 8 ( Đề thi vào THPT năm học 2003-2004)
Cho hàm số y=2x2 (P) và y=2(a2)x
-2
1
2 a
a Tìm a để (d) đi qua A(0;8)
b Khi a thay đổi xét số giao điểm của (P) và (d) tuỳ theo giá trị của a
c Tìm trên (P) những điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 3
Ví dụ 9 ( Đề thi vào THPT năm học 2004-2005)
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Pa rabol (P) :y=2x2, một đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua I(0;2)
1 Viết phơng trình (d)
2 CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
3 Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x1 và x2 CMR: x1 x2 2
Ví dụ 10 ( Đề thi vào THPT năm học 2005-2006)
Cho hàm số: y= (2m-3) x +n-4 (d) (m
3
2)
1 Tìm giá trị của m và n để đờng thẳng (d)
a Đi qua A(1;2) ; B(3;4)
b Cắt trục tung tại điểm có tung độ y=3 2-1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 1 2
2 Cho n=0, tìm m để (d) cắt dờng thẳng (d’) có phơng trình x-y+2=0 tại điểm M(x;y) sao cho biểu thức P =y2-2x2 đạt giá trị lớn nhất
Ví dụ 11 ( Đề thi vào THPT năm học 2006-2007)
Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y=x +2 và Parabol (p) : y= x2
1 Xác định tọa độ hai giao điểm A và B của (d) và (P)
2 Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m (với -1 m 2) CMR SMAB
27 8
Ví dụ 12 ( Đề thi vào THPT Hà Nội năm học 2006-2007)
Tìm toạ độ hai giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y=2x +3 và y= x2 Gọi D và C lần lợt là hình chiếu vuông góc của
A và B trên trục hoành Tính SABCD
Ví dụ 13 ( Đề thi vào THPT năm học 2007-2008)
Trang 3Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng (d) : y= 2(m–1) x–(m –2m) và đờng Parabol (P) : y=x.
1.Tìm m đẻ đờng thẳng d đi qua gốc toạ độ 0
2 Tìm toạ độ của (d) và (P) khi m=3
3 Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm có tung độ y1 và y2 thoả mãn y1 y2 8
Ví dụ 14 ( Đề thi vào THPT năm học 2008-2009)
Cho hàm số bậc nhất y= (m –2) x + m +1 (m là tham số )
1 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến;
2 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua M(2; 6);
3 Đồ thị cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B (A và B không trùng với gốc toạ độ ) Gọi H là chân đờng cao hạ
từ O của tam giác OAB Xác định giá trị của m, biết OH= 2
C Bài tập
Bài 1: Cho (P ) : yx và (d) : y2 2x 1
a) Vẽ (P) và (d) trờn cựng một mặt phẳng toạ độ Oxy
b) Chứng minh rằng: (P) và (d) chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất
c) Xỏc định toạ độ giao điểm giữa (P) và (d)
Bài 2 : Cho (P ) : ymx (m2 0), m là tham số và (d): y = ax + b
a) Tỡm a và b biết rằng (d) đi qua A( –1; 3) và B(2 ;0)
b) Tỡm m sao cho (P) tiếp xỳc với (d) vừa tỡm được Tỡm toạ độ giao điểm tiếp xỳc của (P) và (d)
Bài 3 : Cho (P ) : yx ; (d) : y2 m x
a) Vẽ (P)
b) Tỡm giỏ trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A, B Vẽ (d),xỏc định toạ độ của A và B khi m = 2
c) Tỡm giỏ trị của m để (d) tiếp xỳc với (P)
Bài 4 : Cho (P ) : y ax và (d) : y2 x m (m là tham số)
a) Xỏc định a để (P) đi qua điểm A( 2; 1) Vẽ (P) với a vừa tỡm được
b) Tỡm m để (d) khụng cắt (P)
c)Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt
d) Tỡm m để (d) cắt (P) tại một điểm duy nhất
e) Xỏc định toạ giao điểm tiếp xỳc của (P) và (d)
f) Xỏc định m để (P) và (d) cú ớt nhất một điểm chung
g) Xỏc định toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = – 3
Bài 5 : Cho (P ) : y x ; (d) : y2 2xm2 8 ( mlà thamsố )
a) Tỡm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 5
b) Tỡm m để (P) và (d) cú ớt nhất một điểm chung
Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P ) : y x và đ ờngthẳng(d) : y2 x 2
a) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trờn cựng một hệ trục toạ độ
b) Tỡm toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d) bằng phương phỏp đại số
c) Từ A và B vẽ AH xx’;BK x’x.Tớnh diện tớch của tứ giỏc AHBK
Bài 7 : Cho hàm số y = ax2 cú đồ thị (P)
a) Tỡm a biết rằng (P) qua A(1 ; –1) Vẽ (P) với a vừa tỡm được
b) Trờn (P) lấy B cú hoành độ bằng –2 Viết phương trỡnh của đường thẳng AB và tỡm toạ độ giao điểm D của đường thẳng AB và trục tung
c) Viết phương trỡnh đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xỏc định toạ độ giao điểm C của đường thẳng (d)
và (P) ( C khỏc O)
Bài 8.
Cho (P): y = x2
1 Vẽ (P) trờn hệ trục Oxy
2 Trờn (P) lấy hai điểm A và B cú hoành độ lần lượt là 1 và 3 Hóy viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A và B
3 Lập phương trỡnh đường trung trực (d) của AB
4 Tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
5.Tớnh diện tớch tứ giỏc cú cỏc đỉnh là A, B và cỏc điểm 1; 3 trờn trục hoành
Bài 9.
Trang 4Trong cùng một hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) lần lượt là đồ thị của các hàm số
2
x
4
a) Vẽ (P) và (d)
b) Dùng đồ thị để giải phương trình x2 4x 4 0 và kiểm tra lại bằng phép toán
c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ là - 4 Tìm giao điểm còn lại của (d1) với (P)
Bµi 10.
Cho (P): y =
2
1x
4 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P)
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm M trên cung AB của (P) tương ứng với hoành độ x chạy trong khoảng từ - 2 đến 4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất
Bµi 11.
.Cho (P): y = ax2
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(1; 1) Hàm số này đồng biến, nghịch biến khi nào
b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hoành độ m ( m ≠ 1) Viết phương trình (d) và tìm m để (d) và (P) chỉ có một điểm chung
Bµi 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-2; 2) và đường thẳng (d1):
y = -2(x+1)
a) Giải thích vì sao A nằm trên (d1)
b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị là (P) qua A
c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1)
d) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d2); C là giao điểm của (d1) với trục tung
Tìm tọa độ của B và C Tính diện tích của tam giác ABC
Bµi 14.
.Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2
a) Vẽ (P)
b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 2 Viết phương trình đường thẳng AB
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)