CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1..[r]
Trang 1CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM VÀ BẢNG ĐẠO HÀM:
1 Qui tắc tính đạo hàm:
k
2 Bảng đạo hàm:
1 ( ) 'C 0, ' 1x ( ) 'kx k
(u) '.u 'u
3
'
2
'
2
4 ' 1
2
x
x
2
u u
u
5 (sin ) 'x cosx (sin ) 'u u'.cosu
6 (co s ) 'x sinx (cos ) 'u u'.sinu
7 (tan ) ' 12 1 tan2
cos
x
cos
u
u
8 (cot ) ' 12 (1 cot2 )
sin
x
2
'
sin
u
u
9 (e ) 'x ex (e ) 'u e 'u u
10 (a x) 'a x.lna (a u) 'a u.ln 'a u
11 (ln ) 'x 1
x
u
12 (log ) ' 1
ln
a x
ln
a
u u
II NGUYÊN HÀM
1.Định nghĩa:
Cho hàm số f x( )xác định trên K (Klà khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng)
Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( )trên Knếu F x'( ) f x( ), x K Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )thì họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )
f x được kí hiệu là: f x dx F x( ) ( )C C,
2 Các tính chất của nguyên hàm:
Trang 2
( 0)
1 4)
k
C a
kf x dx = k f x dx
3 Sự tồn tại của nguyên hàm: Mọi hàm số f x( ) liên tục trên Kđều có nguyên hàm trên K
4 Bảng nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng:
2
1
x
1
+
+
1
ax b
+
1 ( + )
+
4 1dx ln x C
5 12dx 1 C
+
( 1) ( 1)
( 1) (ax b) dx a( 1)(ax b) C
8
ln
x
x
+
+
cos
1
cos
( + )+
( + )
1
( + )+
( + )
III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1 Phương pháp đổi biến số:
Tính f u x u' x ( ) ( )dx
1) Nếu t = u x( )dt = u' x dx( )
2) Tính f u x u' x dx = f t dt ( ) ( ) ( )
Thường được áp dụng cho các dạng sau:
Trang 31 Luỹ thừa bậc lẻ đối với sinx t =cosxdt = -sinxdx
2 Luỹ thừa bậc lẻ đối với cosx t =sinxdt = c xdxos
3 Luỹ thừa bậc lẻ cả hai đối với sinx và cosx t =sinxhoặct =cosx
4 Luỹ thừa bậc chẵn cả hai đối với sinx và
1 tan
cos
x
5 Chứa căn bậc hai f x t = f x( )t = f x 2 ( )
7 Chứa 1 và lnx
1
x
8 Q x P x( )( )dx cĩQ' x = k.P x( ) ( )(cĩ mẫu) t = Q x( )(t = mẫu)
3 Phương pháp nguyên hàm từng phần: udv = uv - vdu
Thường được áp dụng cho các dạng sau:
1
sin cos
( ) ( + ) ( ) ( + ) ( )
phần còn lại
u = P x
dv =
( )
dv = P x dx
+ ) ( )
3
sin cos
x
x
+ +
( + )
từng phần 2 lần còn lại
x
u = e dv
+
4 x 2±a dx
2
dv = dx
±
IV MỘT SỐ KĨ THUẬT TRONG VIỆC TÍNH NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm hàm số hữu tỉ: ( )
( )
P x dx
Q x
a) Nếu bậc của tử thức P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thức Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức P(x) cho Q(x)
b) Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì ta xét các trường hợp sau:
Nếu Q’(x) = k.P(x) thì sử dụng pp đổi biến số đặt t = Q(x)
Nếu Q(x) cĩ nghiệm thì ta sử dụng PP hệ số bất định
Trang 42 2
2
( ) 1)
( )
x a
x a
Nếu Q(x) vơ nghiệm ta biến đổi về dạng:
1
Dạng:
2
n m
x dx
ax
Nếu n lẻ thì ta đổi biến số t = a + x 2
Nếu n chẵn ( n = 2k ) thì ta xét 2 khả năng sau:
Đổi biến số: x = a.tant
PP từng phần:
1
2
n
m
xdx dv
Nguyên hàm của hàm số vơ tỉ: (Xem phương pháp đổi biến số)
2
2
1)
1
xdx
x
x
2
2
2
2
3)
1
.ln 1
.ln 2
x
x
x
Đặt
Nguyên hàm của hàm số lượng giác Xét các TH sau:
Luỹ thừa bậc lẻ đối với sinx thì đặt t = cosx
Trang 5 Luỹ thừa bậc lẻ đối với cosx thì đặt t = sinx
Luỹ thừa bậc lẻ đối với cả sinx và cosx thì đặt t = sinx hoặc t = cosx
Luỹ thừa bậc chẵn đối với sinx hoặc cosx hoặc cả hai thì:
Sử dụng công thức hạ bậc: sin2x1 cos 2 2 x ;cos2x1 cos 2 2 x
Sử dụng CT sin2 x + cos 2 x = 1 đưa về hàm bậc chẵn theo một hàm sinx hoặc cosx
Đặt t = tanx
B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (50 câu)
Câu 1: Tìm họ nguyên hàm F x( ) của hàm số F x( ) 3sinx 2
x
, ta được kết quả là
A F x( )3cosx2 ln xC B F x( ) 3cosx2 ln xC
C F x( )3cosx2 ln x C D F x( ) 3cosx2 ln x C
Câu 2: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 1
f x
x
là
A ( ) 1ln 2 5 2017
2
F x x B F x( )ln 2x5 C
2
2
F x
x
D
2
1
F x
x
Câu 3: Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( )
1
x
f x x
là
A F x( )ln x 1 C B.F x( ) x ln x 1 C
C F x( ) x ln x 1 C D F x( )2 ln x 1 C
Câu 4: Một nguyên hàm của hàm số 2
sin 2 3
A F x cos 2x6 x B 1cos 2 6
2
cos 2 2
cos 2 2
Câu 5: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) x2 3 2 x
x
A
3
3
4
x
3
3
2
x
C
3
3 2
x
x
3
3
4
x
Câu 6: Kết quả của 2
tan xdx
A.tanx x C B tanx 1 C C 2
cot x C D 2 2
1 tan x C Câu 7: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số 2
( ) x
f x e là
( ) x
( ) 2 x
2 1
( )
x
e
F x
x
( ) 2
x
Câu 8:Tính ( ) sin3
2
x
Trang 6A ( ) 2cos3
x
x
C ( ) 3cos3
x
x
Câu 9: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x ( ) 3x là
A ( ) 3
ln 3
x
1
3 ( )
1
x
F x
x
C ( ) 3x
1
x
F x
x
(
A
4
sin
4
x
4
si
4
x x
4
cos
4
x
D
4
co
4
x x
Câu 11: Họ nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 2
1
x
f x x
là
2
( ) ln 1
x
x
Câu 12: Tìm F x( )lnxdx
A F x( )xlnx x C B F x( )xlnx x C C F x( )xlnx C D
1
( )
x
Câu 13: Tính F x( ) e x 3 52x dx
x e
A ( ) 3 14
2
x
x
2
x
x
C ( ) 3 14
2
x
x
2
x
x
Câu 14: Tính F x( )xsinxdx?
A F x( )xsinxcosx C B F x( )xcosxsinx C
C F x( ) xsinxcosx C D F x( ) xcosxsinx C
Câu 15: Nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )xe x là
A F x( )e xC B F x( )e xx1C
C F x( )e xx1C D
2
( ) 2
x
x
f x x x x Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F 1 0 là
A
4
( )
x
4
( )
x
C
4
4
x
4
4
x
Trang 7Câu 17: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) x 2x 1
x
biết 1 1
2
A
2
2
x
2
2
x
C
2
1
x
2
1
x
Câu 18: Cho hàm số
2
2
( )
f x
Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F(1)0 là:
1
x
1
x
1
x
D F x( )x2 ln 1 x2 Câu 19: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( ) 3x4 biết F 0 2
A ( ) 2 3 43 2
(
C 2 3 43 10
( )
( )
Câu 20: Cho hàm số f x( )2xsinx2 cosx Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa (0) 1
( ) cos 2 sin
( ) cos 2 sin 2
C F x( ) 2 cosx2sinx D 2
( ) cos 2 sin 2
x
A
3
3
x
2
1
x
Câu 22: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )x34 là
A 34
( )
4
x
( )
5
x
( )
3
x
2
1
x
( )
3
x
x
( ) 3 x
x
( ) 3 x
x
( ) 3
x
x
Câu 24: Nguyên hàm F x( ) của hàm số 3 5
2
x y x
là
A F x( )3x4 ln x2 C B F x( ) 3xln x2C
C F x( )3xln x2C D F x( )3xln x2C
Câu 25: Họ nguyên hàm F x( ) của hàm số 2
( ) sin
Trang 8A 1 sin 2
x
x
C 1 sin 2
x
2
Câu 26: Nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 3cos 12
sin
x
A F x( ) 3sinxtanx C B.F x( ) 3sinxcotx C
C F x( )3sinxcotx C D F x( )3sinxcotx C
Câu 27:Ta có
2
( )
2 1
f x
x x
Tính f x dx( ) F x( )C
1
x
C ( )F x 3ln x 1 ln x2C D ( ) 3ln 1 1
2
x
Câu 28: Nguyên hàm F x( )của hàm số
1 ( )
3
f x
x x
là
A ( ) 1ln
x
x
x
x
C ( ) 1ln 3
3
x
x
3
x
x
Câu 29: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số sin
( ) cos x
( ) sin x
2
3
4
Câu 31: Tính F( )x lnxd x
A F x( )xlnx x C B F x( )xlnx x C
C F x( ) xlnx x C D F x( ) xlnx x C
Câu 32: Tính F(x)x.cosx dx
A F x( )xsinxcosx C B F x( )xsinxcosx C
C F x( ) xsinxcosx C D F x( ) xsinxcosx C
Câu 33: Tính F x( ) lnx dx
x
( ) ln
2
( ) ln 2
2
1 ( ) ln
x
Câu 34: Họ các nguyên hàm của hàm số f x( )tanx là
A ( ) 12
cos
x
sin
x
C F x( )ln cosx C D F x( ) ln cosx C
Trang 9Câu 35: Tính ( )
3
x
e
e
A F x( ) e x 3 C B F x( )2 e x 3 C
C F x( )e x 3 C D ( )
3
x x
e
Câu 36: Cho hàm số f x( )x e x Một nguyên hàm F x( ) của f x( ) thỏa F(0) 1 là
A F x( ) (x1)ex1 B F x( ) (x1)ex2
C F x( )(x1)ex1 D F x( )(x1)ex2
Câu 37: Tìm hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( )xcos 3x, biết F(0) 1
A ( ) 1 sin 3 1cos 3
( ) sin 3
6
Câu 38: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số 2
( ) tan
f x x, biết 1
4
F
A tan
4
B tan
4
C
tan
4
D tan
4
Câu 39: Một nguyên hàm F x( ) của hàm số ( )
2
x x
e
f x e
thỏa F(0) ln 3 là
A ( ) ln x 2 ln 3
C ( ) ln x 2 ln 3
Câu 40: Tìm một nguyên hàm F x( ) của hàm số 2
( ) sin 2
f x x biết
8 16
F
A ( ) 1 1sin 4 1
C ( ) 1 1sin 4 1
Câu 41: Nguyên hàm của hàm số 3
.3
x x
A
3
3
3
ln 3
x
e
e
3
3
ln 3
x
e
e
C
3
3
ln 3
x
e
e
3
ln 3
x
e
Câu 42: Tính ( ) 2 1 2
sin cos
A F x( )2 tan 2x C B F x( ) 2 cot 2x C
C F x( )4 cot 2x C D F x( )2 cot 2x C
Trang 10Câu 43: Nguyên hàm của hàm số f x x x 2 x
x
A F x 2x 1 C
x
2
x
x
C F x 2 3 x C
x
x
Câu 44: Tính ( ) 3.2x
ln 2 3
x
ln 2 3
x
3.ln 2 3
x
ln 2
x
Câu 45: Nguyên hàm của hàm số 3 2
2 3x x
A
3ln 2 2 ln 3
ln 72
C
2 3
ln 6
x x
72
Câu 46: Nguyên hàm của hàm số 1 2 3
3 x.2 x
A
8
9
8 ln
9
x
9 8
8 ln 9
x
C
8
9
8 ln
9
x
8 9
9 ln 8
x
Câu 47: Nguyên hàm của hàm số
1
3 4
x x
f x
là
A
4 3
3 ln
4
x
3 4
3 ln 4
x
2
x
3 4
3 ln 4
x
Câu 48: Nguyên hàm của hàm số 3
.3
x x
Trang 11A
3
3
3
ln 3
e
e
3
3
ln 3
x
e
e
C
3
3
ln 3
x
e
e
3
ln 3
x
e
Câu 49: Tính ( ) 2 1
3
x
1
3
x
3
x
1
3
x
Câu 50: Tính
2
1
x
A
2
2
x
2
2
x
C
2
2
x