De HSG Toan 12 Soc Trang 2008 2009

[r]

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

-/// -Đề chính thức

Môn: Toán - Lớp 12

(Thời gian 180 phút, không kể phát đề)

_

Đề thi này có một trang Bài 1: (2 điểm)

Cho a và b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: a, b – 1 và a + b = 1 Chứng minh rằng:

a  b 

Bài 2: (4 điểm)

Giải hệ phương trình:

65 20

x y y x







Bài 3: (2 điểm)

Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn điều kiện:

f(2 – x) + xf(x) = x (x R\{1})

Bài 4: (4 điểm)

Giải phương trình:

tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC có số đo các góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q = 2 Chứng minh rằng:

sinA sinB sinC

Bài 6: (4 điểm)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, chân đường cao trùng với tâm O của đáy Từ trung điểm I của đường cao SO hạ đoạn vuông góc với cạnh bên SC và đoạn vuông góc với mặt bên SBC, hai đoạn vuông góc này

có độ dài lần lượt là a và b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b

Hết

-SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

-/// -Đề chính thức

Hướng dẫn chấm Toán - Lớp 12

Bài 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski đối với 2 cặp số (1 ; 1) và

( a1; b1):

1 a 1 1 b 1 1 1 1   a b 1 (1 điểm)

 a 1 b 1 6 (vì a + b = 1) (0,5 điểm)

dấu “=” xảy ra khi a + 1 = b + 1  a = b = 1

Bài 2:

65 20







Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0, hệ phương trình biến đổi thành: (0,5 điểm)

2

20





Đặt u = x  y , v = xy (u, v ≥ 0) (1) trở thành:

3 65

20

uv









2 60

65 20

u u

u uv

    



 



(1 điểm)

5

4

u

v





 

4

xy







Giải hệ này được nghiệm:

16

1

x

y





 

1 16

x y





 

Bài 3: Từ f(2 – x) + xf(x) = x (1)

Thay x bởi 2 – x ta được:

f(x) + (2 – x)f(2 – x) = (2 – x) (2) (0,5 điểm)

Nhân (1) cho 2 – x:

(2 – x)f(2 – x) + x(2 – x)f(x) = x(2 – x) (3) (0,5 điểm)

(2) – (3): f(x) – x(2 – x)f(x) = (2 – x) – x(2 – x)

f(x)(1 – x(2 – x)) = x2– 3x + 2

f(x)(x2– x2 + 1) = x2– 3x + 2 Với x ≠ 1 thì:

2

( )

1

f x

x



Thử lại thấy hàm số ( ) 2

1

x

f x

x





 thỏa mãn điều kiện.

Vậy hàm số cần tìm là: ( ) 2

1

x

f x

x





Bài 4: Điều kiện: x ≠

2

k 

(0,5 điểm) tanx + tan2x + tan3x + cotx + cot2x + cot3x = 6

 (tanx + cotx) + (tanx + cotx)2– 2 + (tanx + cotx)3– 3(tanx + cotx) = 6

 (tanx + cotx)3 + (tanx + cotx)2– 2(tanx + cotx) – 2= 6

Đặt t = tanx + cotx (t≥ 2), ta được: t3 + t2 – 2t – 8= 0 (1 điểm)

 (t – 2)(t2 + 3t + 4) = 0

 (t – 2) = 0 (vì t2 + 3t + 4>0)  t = 2 (1 điểm)

Vậy:tanx + cotx = 2

tan

x

x

x – 2tanx + 1 = 0  tanx = 1

4

x  k  kZ

Thỏa mãn điều kiện Vậy nghiệm của phương trình là:

4

x  k  kZ

(0,5 điểm) Bài 5: Ta có:

2 4

A B C



  



 



 



(1 điểm)

Ta cần chứng minh: 1 12 14

s in s in



S

K

H I

D C

O

E

3 2s in cos

sin sin

 

 

2sin cos



 

  

)

1

sin

7



Bài 6:

SE IH EO SI EO

IH

SE

SI





 

2 2

16



Xét hai tam giác đồng dạng SKI và SOC ta có: (1 điểm)

SI KI

SI OC KI SC

 

2 2



(1 điểm) (1) & (2)

2 2 2

2 2 2

2 2

8a b

x

a b



 (1 điểm)

-

Hết -Kẻ IK SC

Kẻ IH SE IH (SBC) (0,5điểm)

Gọi x, y lần lượt là cạnh đáy và chiều

cao của khối chóp, ta có:

2

1

3

V  x y

Xét hai tam giác đồng dạng SHI và SOE

ta có: