Xin giới thiệu 2 cách giải cho bài toán trên, một là biến đổi lượng giác, hai là sử dụng số phức. Cách 1 : Đặt vế trái là A.[r]
Trang 1VỀ MỘT BÀI TOÁN CHỨNG MINH
ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC KINH ĐIỂN
Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - Hanoi National University of
Education
Lượng giác là một phân môn kết nối giữa Đại số, Hình học, Giải tích Nó mang trong mình
sự đẹp đẽ, kiêu hãnh bởi các phép biến đổi Xin giới thiệu một đẳng thức lượng giác khá nổi tiếng sau
Bài toán Chứng minh rằng
tan3π
11 + 4 sin
2π
11 =
√ 11
Lời giải Đây là một bài toán chứng minh đẳng thức khó, cái khó ở đây éo phải là do mấy cái biểu thức lượng giác cồng kềnh mà ở đây sự xuất hiện của các góc khó chịu 3π
11,
2π
11 khiến các cách biến đổi của chúng ta rất hay lạc lối Xin giới thiệu 2 cách giải cho bài toán trên, một
là biến đổi lượng giác, hai là sử dụng số phức
Cách 1 : Đặt vế trái là A Ta có
A2 = sin
3π
11
cos3π11 + 4 sin
2π 11
2
=
sin3π
11 + 4 sin
2π
11 cos
3π 11
2
cos2 3π 11
=
sin3π
11 + 2 sin
5π
11 − 2 sin π
11
2
cos2 3π 11
=
sin2 3π
11 + 4 sin
2 5π
11 + 4 sin
2 π
11+ 4 sin
3π
11 sin
5π
11 − 4 sin3π
11 sin
π
11− 8 sin5π
11 sin
π 11 cos2 3π
11
Trang 2Đến đây sử dụng công thức hạ bậc và tích thành tổng rút gọn ta được
A2 =
9
2 − 2 cos2π
11 − 2 cos4π
11 +
7
2cos
6π
11 − 2 cos8π
11 − 2 cos10π
11 cos23π
11
=
9
2 +
11
2 cos
6π
11 − 2
cos2π
11 + cos
4π
11 + cos
6π
11 + cos
8π
11 + cos
10π 11
cos2 3π 11 Chú ý rằng
2
cos2π
11 + cos
4π
11 + cos
6π
11 + cos
8π
11 + cos
10π 11
=
sin11π
11 − sin π
11 sin π 11
= −1 Vậy
A2 =
11 2
1 + cos6π
11
cos23π 11
= 11
Từ đó có tan3π
11 + 4 sin
2π
11 =
√
Ta thấy rằng đây là một cách giải rất tự nhiên bằng biến đổi lượng giác thuần túy, tuy nhiên có những đoạn biến đổi khá táo bạo và cần nhãn quan tốt
Còn một hướng đi khác đó là sử dụng số phức để giải
Ta biết rằng
cos ϕ = e
iϕ+ e−iϕ
2 , sin ϕ =
eiϕ− e−iϕ
2i Cách 2 (Dựa theo ý tưởng của Kee-wai Lau và Bob Prielipp )
Đặt x = e2πi11 thế thì
2(2i sin2π
11) = 2(e
2πi
11 − e−2πi11 ) = 2(e2πi11 − e20πi11 ) = 2(x − x10) và
i tan3π
11 =
e6πi11 − 1
e6πi11 + 1 =
x3− 1
x3+ 1
Để ý 1 = e33πi11 = x33 Vậy
i tan3π
11 =
x3− x33
x3+ 1 = x
3− x6+ x9− x + x4− x7+ x10− x2+ x5− x8
Đặt S = x + x3+ x4+ x5+ x9 và S0 = x10+ x8+ x7+ x6+ x2 = x−1+ x−2+ x−4+ x−5+ x−9 Thế thì i
tan3π
11 + 4 sin
2π 11
= S − S0
Ta có
1 + S + S0 = x
11− 1
x − 1 = 0 ⇒ S + S
0
= −1
Trang 3Đồng thời
S.S0 = 5 + 2(S + S0) = 3 Suy ra
(S − S0)2 = (S + S0)2− 4S.S0 = −11 ⇒ S − S0 = i√
11 Tức là
i
tan3π
11 + 4 sin
2π 11
= i√
11 ⇒ tan3π
11 + 4 sin
2π
11 =
√ 11
Có thể nói đây là một chứng minh đậm chất kĩ thuật của 2 tác giả trên, qua đó mới thấy
số phức đóng vai trò to lớn như thế nào trong việc xử lí các bài toán Đại số
Bài tập tự luyện Chứng minh rằng
1 tan2π
11 − 4 sin5π
11 = −
√ 11
2 tan4π
11 + 4 sin
π
11 =
√ 11
3 tan5π
11 − 4 sin4π
11 =
√ 11
4 tanπ
9 + 4 sin
π
9 =
√ 3
5 tanπ
7 − 4 sin2π
7 = −
√ 7
6 tan3π
7 − 4 sinπ
7 = −
√ 7 Bài viết có tham khảo trên diễn đàn Mathscope