Bởi vậy khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta phải chú ý đến một yếu tố đặc biệt quan trọng đó là điều kiện xác định của phương trình... (Không thỏa mãn)[r]
Trang 1Chủ đề 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1 Phương trình một ẩn:
Phương trình một ẩn: là một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x)
Trong đó, vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.
VD : 2x + 1 = x là một phương trình ẩn x.
2t –5 = 3.(4 –t) –7 là một phương trình ẩn t
Bài tập đề nghị : Hãy cho ví dụ về :
a) Phương trình với ẩn y
b) Phương trình với ẩn u
2.Phương trình tương đương :
-Hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập tập nghiệm.
Kí hiệu :Hai phương trình tương đương với nhau, ta dùng ký hiệu
VD1 : * x –1= 0 x = 1
* x = 2 x - 2 = 0
VD2: Phương trình x + 1 = 0 có nghiệm là x = -1 S1 = {-1}
Phương trình 4x = - 4 có nghiệm là x = -1 S2 = {-1}
Hãy so sánh 2 tập nghiệm của phương trình này? S1 = S2
Kết luận hai phương trình này tương đương với nhau
- Bài tập đề nghị :
Bài 1 : Trong các cặp phương trình sau hãy chỉ ra cặp phương trình tương đương,
không tương đương vì sao ?
a) 3x + 2 = 1 và x + 1 = 32 ;
b) x + 2 = 0 và x - 3 = 5;
3.Phương trình bậc nhất một ẩn.
-Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn
VD: 5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5 ; b = 8.
-2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4
-7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7 ; b = -3
4.Quy tắc biến đổi phương trình
Quy tắc chuyển vế : Trong phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang
vế kia và đổi dấu hạng tử đó : Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó : dấu (+) đổi thành dấu (-) và dấu (-) đổi thành dấu (+)
VD: a) Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2 từ vế trái sang vế phải và đổi
dấu thành +2 ta được x = 2
b) Cho phương trình: 32 + x = 0, chuyển hạng tử 32 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành - 32 ta được x = - 32
c) x – 4 = 0 x = 4 d) 43 + x = 0 x = - 43 e) 0,5 – x = 0 x = 0,5
Trang 2 Dấu ngoặc nhọn:
B
A
:có nghĩa là « VÀ », tức là : A và B đồng thời xảy ra ; nếu như chỉ có A, hoặc chỉ có B xảy ra thì thu được Kết quả là Sai !
Dấu ngoặc vuông :
B
A
: có nghĩa là « HOẶC », tức là : hoặc là A hoặc là B xảy ra thì đều có thể thu được kết quả đúng ! Không nhất thiết cả A và B phải cùng xảy ra đồng thời
c) Dấu :
-Dấu tương đương : để chỉ 2 phương trình tương đương với nhau, tức là
chúng có cùng tập nghiệm.
-Dấu suy ra : để chỉ 2 phương trình không tương đương với nhau, tức là
chúng không có cùng tập nghiệm.
VD1:
6
3 11 6
) 1 2 (
3 6
) 2 )(
1 3
.(
2.(3x – 1)(x + 2) – 3.(2x2 + 1) = 11.3 (2)
*Do phương trình (1) có mẫu chung là 6 : là một số tự nhiên không chứa biến x, nên nó không có điều kiện xác định để loại nghiệm, tức là mọi giá trị của x đều có khả năng làm nghiệm của nó
* Xét phương trình (2) cũng vậy Do nó không có mẫu nên mọi giá trị của x đều
có khả năng là nghiệm của nó
Vậy hai phương trình (1) và (2) tương đương với nhau
VD2 : 2(2 (2)( 2)2) 2((223)
x
x x x
x
x x
(1) 2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3) (2)
* Dễ thấy phương trình (1) có ĐKXĐ là
2
0 0
2
0
x
x x
x
, tức là ngoại trừ hai giá trị
x = 0 và x=2 là không thể làm nghiệm của (1), ngoài ra tất cả các giá trị khác đều có khả năng là nghiệm của (1)
*Còn phương trình (2), do nó không có mẫu nên mọi giá trị của x đều có khả năng là nghiệm của nó
Vậy hai phương trình (1) và (2) không có cùng tập nghiệm nên nó không tương đương, do đó ta phải dùng dấu
d)Quy tắc nhân với một số :
-Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
A.B = C.B (A,C # 0, B tùy ý) VD
: Cho phương trình: 21 x = 3, nhân hai vế của phương trình với 2 ta được: x = 6
-Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.
VD: Cho phương trình 3x = -2, chia hai vế của phương trình cho 3 ta được: x =32
Trang 3 Tổng quát , phương trình ax + b = 0( với a 0) được giải như sau :
ax + b = 0 a x = - b x = -b/a
Vậy phương trình bậc nhất một ẩn
ax + b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất x = - b/a
VD: Giải phương trình 3x – 9 =0
3x = 9 (Chuyển – 9 từ vê trái sang vế phải và đổi dấu thành 9)
x= 3 ( chia cả hai vế cho 3)
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 3x – 2 = 2x – 3 b) 3 – 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
c) 7 – 2x = 22 – 3x d) 8x – 3 = 5x + 12
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG ax + b = 0
Các bước giải phương trình gồm:
B1: Quy đồng mẫu 2 vế
B2: Nhân 2 vế với mẫu chung để khử mẫu.
B3: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang 1 vế, hằng số sang vế kia.
B4: Thu gọn và giải pt vừa nhận được
VD: Giải phương trình
2
11 2
1 2 3
) 2
)(
1
3
x
Giải:
Phương trình đã cho tương đương:
6
3 11 6
) 1 2 (
3 6
) 2 )(
1
3
.(
x
2.(3x – 1)(x + 2) – 3.(2x2 + 1) = 11.3
2
(6 2)( 2) (6 3) 33
10 40
4
x
x
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = {4}
Chú ý: *Khi giải một phương trình ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó về
dạng đơn giản nhất ax + b = 0 hay ax = - b
* Quá trình giải có thể dẫn đến hệ số của ẩn bằng 0 Khi đó phương trình có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm
VD1: x+1 = x –1 x – x = -1 –1
0.x = - 2 Phương trình vô nghiệm
VD2: x +1 = x+1
x – x = 1- 1 0.x = 0 Phương trình có vô số nghiệm Hay nghiệm đúng với mọi x
Trang 4Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
a) x3 2 523x b) 1 6 9 x
12
3 x
5
13 5 5
3 x
8
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Trong một tích, nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng 0 Ngược lại, nếu tích bằng
0 thì ít nhất một trong các thừa số của tích bằng 0
a.b = 0 a = 0 hoặc b = 0 (a,b là hai số)
Phương trình tích có dạng:
A(x).B(x) = 0
A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
VD
: Giải phương trình (2x-3).(x+1) = 0
Giải :
(2x-3).(x+1) = 0
1 2
3 1
3 2 0 1
0 3 2
x
x x
x x
x
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S ={-1; 23 }
-Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)(3x – 2).(4x + 5) = 0 b) (2,3x – 6,9).(0,1x + 2) = 0
c)(4x + 2).(x 2 + 1) = 0 d) (2x + 7).(x – 5).(5x + 1) = 0
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể không tương đương với phương trình đã cho Bởi vậy khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta phải chú ý đến một yếu tố đặc biệt quan trọng đó là
điều kiện xác định của phương trình Tìm điều kiện xác định của phương trình là
tìm tất cả các giái trị của ẩn làm cho các mẫu thức trong phương trình đều khác 0
VD1: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau :
2
1
2
x
x
1 12
1
2 )
x b
Giải:
a) ĐKXĐ: x –2 # 0 x # 2
b)ĐKXĐ:
2
1 02
01
x
x x
x
Trang 5(Không thỏa mãn)
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận) Tìm các giá trị thoả mãn ĐKXĐ.
VD1: Giải pt chứa ẩn ở mẫu x 2
x
= 2(2x x32)
Giải:
+Bước 1 : Tìm ĐKXĐ của phương trình ĐKXĐ:
0
2
x
x
+Bước 2 Quy đồng khử mẫu hai vế của phương trình:
2( 2).( 2) (2 3)
2 ( 2) 2.( 2)
2(x + 2).(x - 2) = x.(2x + 3)
+Bước 3 : Giải phương trình
2(x + 2).(x - 2) = x.(2x + 3) x = - 38
+Bước 4 : x = -8/3 thoả mãn ĐKXĐ của phương trình Vậy S =
{-3
8
}
VD 2: Giải phương trình: 1 11
1
1
x x
x
Giải: -ĐKXĐ: x 1 0 x 1
Khi đó phương trình tương đương:
2
2
2
2
2
.( 1) 1 1.( 1) 1
.( 1) 1 1.( 1) 1
1 1 1
2 1 0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải phương trình:
2
a
x x x x
2 2
)
(2)
Hướng dẫn:
Phương trình đã cho tương đương:
2
2( 3) 2( 1) ( 1)( 3)
a
x x x x
-ĐKXĐ:
1
3 0
1
0 3
x
x x
x
Khi đó:
Trang 6.( 1) ( 3) 2.2 (1)
2( 3).( 1) 2.( 1).( 3) 2.( 1).( 3) ( 1) ( 3) 2.2
2 1
1
x
x
x
x (1)
Giải: ĐKXĐ : x 0
(1)