ĐỀ CƯƠNG HƯỚNG DẪN TỰ HỌC TOÁN ĐẠI 9_CHỦ ĐỀ 2

[r]

PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 MỘT ẨN SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2

I-

Kiến thức trọng tâm

1-Phương trình bậc hai một ẩn:

ĐN: Phương trình bậc hai một ẩn là pt cĩ dạng a x2 + bx + c = 0

trong đĩ x là ẩn số ; a , b , c là những số cho trước a0

V í dụ : (sgk ) phương trình bậc hai một ẩn

a) x2+50x-15000= 0: các hệ số a=1; b=50; c=-15000

b) - 2x2 + 5x = 0: các hệ số a= -2; b= 5; c= 0

c) 2x2 - 8 = 0: các hệ số là a=2; b=0; c = - 8

2-Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai

Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0 )

và biệt thức = b2- 4ac

.> 0 : pt cĩ 2 nghiệm phân biệt

x1 = +

2a

b

x2 =

-2a

b

.= 0 : pt cĩ nghiệm kép x1 = x2 =

2

b a



. < 0 : pt vơ nghiệm

Ví dụ: Áp dụng cơng thức nghiệm để giải các phương trình

a) 5x2 – x + 2 = 0

a = 5; b = -1; c = 2

= (-1)2 – 4.5.2 = 1 - 40 = -39

< 0 nên phương trình vơ nghiệm:

b) 4x2 – 4x + 1 = 0

a = 4; b = -4; c = 1

= (-4)2 – 4.4.1 = 16 – 16 = 0

= 0 nên phương trình cĩ 2 nghiệm kép

x1= x2 = 4 1

8 2

c) -3x2 + x + 5 = 0

a = -3; b = 1; c = 5

= 12 – 4 (-3.)5 = 1 + 60 = 61

> 0 Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: x1= -1 61

-6

 ; x2 = 1 61

6



Cơng thức nghiệm thu gọn

* Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0)

Có b = 2b’,  ' b2  ac

 '> 0 : Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt

x1 = , + ,

a

b

  ; x2 = ,- ,

a

b

. '= 0 : pt có nghiệm kép x1 = x2 = b,

a



 '< 0 : pt vô nghiệm

Ví dụ : Giải PT: a) 5x2 +4x -1 = 0 ( a = 5 ; b’ = 2 ; c = -1 )

'

 = 22 -5 (-1) =4+ 5 = 9 > 0    ' 3 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x    x   

b) Giải PT 3x2 + 8x + 4 = 0 ( a = 3; b’ = 4; c = 4 )

'

 = b’–ac =16 – 12 = 4 > 0   ' = 2

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x    x   

4/ Phương trình trùng phương

*Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a0)

Ví dụ :Ví dụ 1: Giải phương trình

x4 – 13x2 + 36 = 0

Giải: Đặt x2 = t ĐK: t  0

Phương trình trở thành:

t2 -13t +36 = 0

= (-13)2 -4 1 36 = 25   5

(TMĐK t  0)

.t1= x2 = 4  x1,2 = 2

t2= x2 = 9  x3,4 = 3

Vậy phương trình có 4 nghiệm: x1 = -2, x2 = 2, x3 = -3, x4 = 3

5/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Ví dụ : Giải phương trình :

3

x



 

  (ĐK: x 5; x 2)

(x + 2)(2 - x) + 3(x - 5)(2 - x) = 6(x-5)

 4 – x2 – 3x2 + 21x – 30 = 6x -30

 4x2 – 15x – 4 = 0

 = (-15)2 + 4 4 4 = 225 + 64 = 289  =17

1

15 17

4

8

x    (TMĐK)

1

15 17 1

x    (TMĐK)

6/ Phương trình tích

Ví dụ : Giải phương trình : x3 + 3x2 + 2x = 0

 x( x2 + 3x + 2 ) = 0

 x1 = 0 hoặc x2 + 3x + 2 = 0

*Giải x2 + 3x + 2 = 0

Có a- b + c = 1- 3 +2 = 0

x2 = - 1; x3 = -2

Phương trình có 3 nghiệm là: x1 = 0; x2 = - 1; x3 = -2

II- Bài tập mẫu

Bài 12/42 SGK: Giải các phương trình:

a) x2 – 8 = 0  x2 = 8

 x = 8 hoặc x =  8

Vậy phương trình có 2 nghiệm : x1= 8 hoặc x2 = - 8 b) – 0,4x2 + 1,2x = 0  x(-0,4x + 1,2) = 0

 x = 0 hoặc x = -1, 20, 4= -3

Vậy phương trình có nghiệm x1= 0 hoặc x2 = -3

c) (2x - 2)2 – 8 = 0  (2x - 2)2 = 8

 2x - 2 = ± 8

*2x - 2 = 2 2  2x = 3 2  x = 3

2 2

*2x - 2 = -2 2  2x = - 2  x = - 2

2 Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3

2 2; x2 = - 2

2 Bài 16/45 SGK : Giải các phương trình

a) 2x2 -7x + 3 = 0 (a = 2, b = -7; c = 3 )

 = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > 0,   5

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = 7 5 12 3

2.2 4



  , x2 = 7 5 2 1

2.2 4 2



 

b) 6x2 + x + 5 = 0 (a = 6, b = 1; c = 5)

 = (1)2 – 4.6.5 = 1 – 120 = -119 < 0

Phương trình vô nghiệm

c) y2 – 8y + 16 = 0 (a = 1, b = - 8 ; c = 16 )

 = (-8 )2 – 4.1.16 = 64 - 64 = 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm kép:

y1 = y2 = 8 4

2.1



*Bài 21/49 Giải các phương trình:

a, x2 = 12x + 288

2 12 288 0

x x

'

 = 36 + 288 = 324 > 0

 = 18

Phương trình có hai nghiệm:

x1 = 6 + 18 = 24; x2 = 6 - 18 = -12

Bài 35b/56: Giải phương trình: x 2 3 6



 

 (1) Điều kiện : x  5; x  2 )

2 )(

5 (

) 5 ( 6 )

2 )(

5 (

)) 2 )(

5 ( 3 ) 2

)(

2

(

x x

x x

x

x x

x x























 -4x2 + 15x + 4 = 0

= 152 – 4.(4).(-4) = 225 + 64 = 289 > 0

= 17

8







 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy: Phương trình có một nghiệm x = 4

Bài 39/57: Giải phương trình:

x3 + 3x -2x – 6 = 0  x2(x + 3)- 2(x + 3) = 0

 (x2 – 2)(x + 3) = 0

 hoặc x + 3 = 0

 vàx3 = - 3

Bài 40a/57 :Giải phương trình:

3(x2 + x)2 -2(x2 + x) -1 = 0

Nếu t = x2 + x, ta có pt 3t2 – 2t - 1 = 0

’ = (-1)2 – 3.(-1) = 4 > 0 ;  '= 2

t1 = 1 2

3



= 1

t2 = 1 2

3



= 1

3

 (không thỏa mãn điều kiện)

t = 1, ta có: x2 = 1 Þ x1= 1, x2 = -1

Vậy: pt có hai nghiệm : x1= 1, x2 = -1

III-Bài tập đề nghị và hướng dẫn giải

Bài 25a/41: Giải phương trình có chứa tham số

Hướng dẫn giải

mx2 +(2m – 1 )x +m + 2 =0

a = m, b = 2m – 1, c = m + 2

+ Nếu m = 0 thì phương trình trở thành

–x +2 = 0

+Nếu m  0 thì  = (2m- 1)2 – 4m(m + 2)

= 1- 12m

Phương trình có nghiệm khi   0

 1- 12m  0  m  1

12

2

x  2 = 0

*Bài 24/50-Sgk.

Cho phương trình:

x2 - 2(m-1)x + m2 = 0

Hướng dẫn giải

'

 = (m - 1) 2 - m2

= m2 - 2m + 1 - m2 = 1- 2m

+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt   ' > 0

+ Phương trình có nghiệm kép  ' = 0

+ Phương trình vô nghiệm  ' < 0

Bài tập1 : Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu :

120

1

125

x - 5

Hướng dẫn giải

- TìmĐKXĐ

- Quy đ đđồng và bỏ mẫu

x2 – 10 x – 600 = 0

- Giải phương trình

Bài 2 : Giải phương trình trùng phương :

3(x2 + x)2 -2(x2 + x) -1 = 0

Hướng dẫn giải

Nếu t = x2 + x, ta có pt 3t2 – 2t - 1 = 0

Giải phương trình

Bài 3 : Đưa pt về dạng pt tích

Hướng dẫn giải

b) x3 + 3x -2x – 6 = 0

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng PP nhóm hạng tử , đưa pt về dạng pt tich (x2 – 2)(x + 3) = 0

Giải phương trình

V- Bài tập học sinh tự giải

Bài tập 1 Xác định hệ số a , b , c của các pt sau :

a) x2 - 2= 0

c) 2x2 + 3,7x = 0

e ) - 15x2 = 0

Bài tập 2: Giải các phương trình:

a) 2x2 -7x +5 = 0

b) 6x2 + x + 5 = 0

c) 3x2 + 8x + 4 = 0

d) 3x2 - 4 6x – 4 = 0

Bài tập 3: Giải các phương trình:

a) x(x - 7) 1 x x - 4

b)

c) 5x4 +3x2 - 8 = 0

d) 2x - x + 3x + 6 = 0 3 2

Bài tập 4: Giải các phương trình chứa tham số m:

a) x2 + 2mx + m2 – 1 = 0

b) mx2 + ( 2m-1) x + m+2 = 0

Chúc các em thành công