Tìm các mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều. b) Phép dời hình f biến tứ diện đều ABCD thành chính nó nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện đó thành một đỉnh của tứ diện đó... [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG GIỮA HỌC KÌ 1
NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN, LỚP 12
Thời gian làm bài : 90 phút
Mã đề : 01
Câu I (5điểm).
Cho hàm số y =- x4 + 2 x2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng
1
3 c) Tùy theo các giá trị của m , hãy biện luận số nghiệm của phương trình
Câu II (1điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 3 2
f x =- x + x + trên
đoạn
1
1;
2
Câu III (1điểm).
Tìm k để hàm số y = - 2 2 x + k x2- 4 x + 5 có cực đại
Câu IV (1điểm)
Tìm các mặt phẳng đối xứng của hình chóp tứ giác đều.
Câu V (2điểm).
Cho khối tứ diện đều ABCD.
a) Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, BDA
và ABC Chứng minh A’, B’, C’, D’ là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
b) Phép dời hình f biến tứ diện đều ABCD thành chính nó nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện đó thành một đỉnh của tứ diện đó Tìm tập hợp các điểm M sao cho M=f(M) trong trường hợp f(A)=B, f(B)=C, f(C)=A.
- Hết
Trang 2-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG GIỮA KÌ 1
NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN, LỚP 12(Mã đề 01)
Chú ý : Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài.
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết ,lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác
đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng
I
(5đ)
a) (3,5đ)
A.Tập xác định :
B.Sự biến thiên
1.Giới hạn của hàm số tại vô cực
lim , lim
2.Chiều biến thiên
3
3
0
1
x
x
é = ê ê
¢= Û - + = Û ê
=-ê = ë
Ta có bảng biến thiên
x -1 0 1
y ' + 0 - 0 + 0
-y 1 1
0
Hàm số đồng biến trên (- ¥ -; 1) và ( )0;1
,nghịch biến trên (- 1; 0) và (1;+¥ )
Hàm số đạt cực đại tại x=- 1 và tại x=1;giá trị cực đại của hàm số là
( )1 ( )1 1
y - =y =
Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 ;giá trị cực tiểu của hàm số là y( )0 =0
3.Đồ thị
+)Giao của đồ thị với trục tung:(0; 0)
+)Giao của đồ thị với trục hoành:(0; 0 ,) (- 2; 0 ,) ( 2;0)
+)Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
0,25 0,25
0,5
0,5
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,75
Trang 3f(x)=-x^4+2x^2 f(x)=2/3
-2 -1
1 2
x y
O
b)(0,5đ)
Ta có
9 3
yæ öç ÷
=
çè ø ;
9 3
y æ öç ÷
¢ç ÷=
çè ø
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng
1
3 là :
y x
8 3 3
y x
0,25
0,25
c)(1đ)
Ta có x4- 2x2- + = Û -2 m 0 x4+2x2= -m 2 (1)
Số nghiệm của phương trình đã cho hay số nghiệm của (1) là số điểm chung của đồ
thị (C) và đường thẳngy= -m 2nên nhìn vào hình vẽ ở câu a)ta có :
)m 2 0 m 2
+ - < Û < thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
)m 2 0 m 2
+ - = Û = thì phương trình đã cho có ba nghiệm.
) 0 m 2 1 2 m 3
+ < - < Û < < thì phương trình đã cho có bốn nghiệm.
)m 2 1 m 3
+ - = Û = thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
)m 2 1 m 3
+ - > Û > thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Kết luận
)m 2
+ < thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
)m 2
+ = thì phương trình đã cho có ba nghiệm.
) 2 m 3
+ < < thì phương trình đã cho có bốn nghiệm.
)m 3
+ = thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
)m 3
+ > thì phương trình đã cho vô nghiệm.
0,25
0,25 0,25
0,25
II
(1đ) Tập xác định :
1
Trang 4
max f x f min f x f
III
(1đ)
Tập xác định :
2
Điều kiện cần để hàm số có cực đại là y¢¢< Þ0 k<0(vì mẫu của y¢¢luôn dương).
Khi đó y có cực đại khi và chỉ khi y¢=0 có nghiệm
y¢= Û k x- = x - x+ Û k x- = x- +
(1)
2
kt t
ì > ì <
(1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm âm ,tức là phải có k2- 4> Û0 k >2.
Kết hợp với k<0 ta được đáp số :k<- 2.
0,25 0,25 0,25 0,25
IV
(1đ)
O S
M
N
P
Q
Giả sử hình chóp tứ giác đều đã cho là S.ABCD
Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA
Ta thấy phép đối xứng qua mặt phẳng (SAC) biến hình chóp S.ABCD thành chính
nó, nên mặt phẳng (SAC) là một mặt phẳng đối xứng của hình chóp S.ABCD
Tương tự các mặt phẳng (SBD), (SMP), (SNQ) cũng là các mặt phẳng đối xứng của
hình chóp S.ABCD
Vậy hình chóp đều S.ABCD có 4 mặt phẳng đối xứng là (SAC), (SBD), (SMP) và
(SNQ)
0,25
0,25 0,25
0,25
V a)(1đ)
0,25
Trang 5
B
C
D A'
A
D'
B' C'
G
Gọi G là trọng tâm của tứ diện đều ABCD thì phép vị tự tâm G tỉ số
1 3
k
biến các
điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C’, D’.
Suy ra
3
AB BC CD DA AC BD
Vì tứ diện ABCD đều nên tứ diện A’B’C’D’ cũng là tứ diện đều.
0,25 0,25 0,25
b)(1đ)
Theo giả thiết f A B f B, C f C, A
Do f M M nên ta cóMA MB MC
Suy ra tập hợp các điểm M là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
0,5 0,5
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG GIỮA HỌC KÌ 1
NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN, LỚP 12
Thời gian làm bài : 90 phút
Mã đề : 02
Câu I (5điểm).
Cho hàm số
m
có đồ thị ( ) Cm , với m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2 .
b) Tìm k để phương trình x3- 3 x2+ - 1 3 k = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Trang 6Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= ( ) 3 2
f x =- x + x +
trên đoạn
1
;3 2
Câu III (1điểm)
Chứng minh rằng hàm số y = x + x2- x + 1 luôn đồng biến trên .
Câu IV (1điểm)
Tìm các mặt phẳng đối xứng của hình chóp cụt tam giác đều.
Câu V (2điểm).
Cho khối tứ diện đều ABCD.
a) Gọi E, F, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các các cạnh AB, CD, AC,
BD, AD, BC Chứng minh E, F, P, Q, R, S là các đỉnh của khối tám mặt đều.
b) Phép dời hình f biến tứ diện đều ABCD thành chính nó nghĩa là biến mỗi
đỉnh của tứ diện đó thành một đỉnh của tứ diện đó Tìm tập hợp các điểm M
sao cho M=f(M) trong trường hợp f(A)=B, f(B)=C, f(C)=D.
- Hết
-Họ tên thí sinh: Số báo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG GIỮA KÌ 1
NĂM HỌC 2009-2010 MÔN TOÁN, LỚP 12(Mã đề 02)
Chú ý : Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài.
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác
đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng
I
(5đ)
a) (3,5đ)
3 2
m= Þ y= x - x +
A Tập xác định :
B Sự biến thiên
1 Giới hạn của hàm số tại vô cực
lim , lim
2 Chiều biến thiên
0,25
0,25
Trang 72 0
2
x
x
é = ê
¢= - ¢= Û
ê = ë
Ta có b ng bi n thiên ả ế
x 0 2
y ' + 0 - 0 +
y
1
3
- 1
Hàm số đồng biến trên (- ¥; 0)
và (2;+¥ )
;nghịch biến trên (0;2)
Hàm số đạt cực đại tại x=0 ;giá trị cực đại của hàm số là ( )0 1
3
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 ;giá trị cực tiểu của hàm số là y( )2 =- 1
3 Đồ thị
+) Giao của đồ thị với trục tung:
1 0;
3
æ ö÷
çè ø
+) Đồ thị qua :
1 3;
3
æ ö÷
çè ø , (- 1; 1- )
+) Đồ thị nhận điểm
1 1;
3
Uæçç - ÷ö÷
÷
çè ølàm tâm đối xứng
f(x)=((1/3)x^3)-x^2+1/3 f(x)=-1/2
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4
x y
O 1/3
0,5
0,5
0,25 0,25 0,25
0,5
0,75
b)(0,5đ)
x - x + - k= Û x - x + = kÛ x - x + =k
(1)
Số nghiệm của phương trình đã cho hay số nghiệm của (1) là số điểm chung của đồ
thị (C) và đường thẳngy=knên nhìn vào hình vẽ ở câu a) ta có kết quả:
1 1
3
k
0,25 0,25
Trang 8( ) (1 1) hay ( 1) 2 ( )
y+ =y¢- x+ y= m+ x+ + V
song song với (d) :5x y 0( hay y 5 x) khi và chỉ khi
Vậy m=4
0,25 0,25
0,25
II
(1đ) 2.Tập xác định :
Hàm số xác định và liên tục trên
1
;3 2
2
x
x
+)
Vậy
max f x f min f x f
0,25 0,25 0,25 0,25
III
(1đ) Tập xác định :
2
y
+ +
0,
x
Vậy y¢> "0, x nên hàm số đồng biến trên .
0,5
0,5 IV
(1đ)
Giả sử hình chóp cụt tam giác đều đã cho là ABC.A’B’C’
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA và M’, N’, P’ lần lượt là trung
điểm của A’B’, B’C’, C’A’
Dễ thấy A, N, N’, A’ đồng phẳng
Ta thấy phép đối xứng qua mặt phẳng (ANN’A’) biến hình chóp chóp cụt tam giác
đều ABC.A’B’C’ thành chính nó, nên mặt phẳng (ANN’A’)là một mặt phẳng đối
xứng của hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’
Tương tự các mặt phẳng (BPP’B’), (CMM’C’) cũng là các mặt phẳng đối xứng của
hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’
Vậy hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có ba mặt phẳng đối xứng là
(ANN’A’), (BPP’B’) và (CMM’C’)
0,25 0,25 0,25
0,25
Trang 9
A'
B'
C' N' M'
B N
P M
P'
V
(2đ)
a)(1đ)
B
C
D Q
F S
A
E
R P
Tám tam giác EPR, ERQ, EQS, ESP, FPR, FRQ, FQS, FSP là những tam giác đều
bằng nhau, chúng làm thành khối đa diện với các đỉnh là E, F, P,R, Q, S mà mỗi đỉnh
là đỉnh chung của bốn cạnh
Vậy nó là khối tám mặt đều
0, 25
0,25
0,25 0,25 b)(1đ)
Theo giả thiết f(A)=B, f(B)=C, f(C)=D.
Do f(M)=M nên ta có MA=MB = MC=MD.
Suy ra tập hợp các điểm M là một điểm duy nhất, đó là trọng tâm của tứ diện ABCD. 0,50,5