b) Chöùng minh raèng töø ñieåm M ( 3; 5 ) coù theå keû ñöôïc hai tieáp tuyeán ñeán ñöôøng troøn.. b) Tìm m ñeå (C m ) chaén treân truïc hoaønh moät daây cung coù ñoä daøi laø 2 √ 5. Chu[r]
Trang 1ÔN TẬP HÌNH HỌC HK II LỚP 10 LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
1 Các hệ thức lượng giác cơ bản:
sin2x + cos2x = 1
) 90 (
tan cos
, sin cot ( 0 ,180 )
cot = tan
1
; tan = cot
1
1 + tan2 = cos2
1 ; 1 + cot2 = sin2
1
tan cot cot = 1
2 Tích vô hướng của hai vectơ:
).
, cos(
b a b a b
a
a O b O
,
3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vectơ :
Trong mp tọa độ Oxy cho : a(a1;a2);b(b1;b2) a.b(a1b1a2b2)
4 Độ dài của vectơ: a a12 a22 b b12b22
Khoảng cách giữa 2 điểm A (x ; A y A) và B (x ; B y B) là:
AB = (x B x A)2(y B y A)2
5 Góc giữa 2 vectơ: cos(a b
, ) = a b
b a
= 12 22 12 22
2 2 1 1
b b a
a
b a b a
Góc giữa hai đường thẳng 1và 2có vectơ pháp tuyến là n 1 (a1;b1), n2=(a2;b2)là
= ( n1, n2) ta có :
cos = 1 2
2 1
n n
n
n
= 12 22 12 22
2 2 1 1
b b a
a
b a b a
6 Các hệ thức lượng trong tam giác:
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c , trung tuyến AM = m a
Định lý cosin :
a2 = b2 + c2 – 2bc.cot cosA ; b2 = a2 + c2 – 2ac.cot cosB ; c2 = a2 + b2 – 2ab.cot cosC
cosA = bc
a c b
2
2 2
2
cosB = ac
b c a
2
2 2
2
cosC = ab
c b a
2
2 2
2
Định lý sin:
C
c B
b A
a
sin sin
sin = 2R (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )
Độ dài đường trung tuyến của tam giác:
Trang 2) (
2 4 2
2 2 2 2
2 2
) (
2 4 2
2 2 2 2
2 2
4
) (
2 4 2
2 2 2 2
2 2
Các công thức tính diện tích tam giác:
S = 2
1 ab.cot sinC = 2
1 bc.cot sinA = 2
1 ac.cot sinB
S = R
abc
4
S = pr
S = p(p a)(p b)(p c) với p = 2
1 (a + b + c)
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
1.Phương trình tham số của đường thẳng :
2 0
1 0
tu y y
tu x x
với M (x0; y0) và u (u1;u2) là vectơ chỉ phương (VTCP)
2 Phương trình tổng quát của đường thẳng :
a(x - x0) + b(y - y0) = 0
hay ax + by + c = 0 (với c = -ax0- by0 và a2 + b2 0)
trong đó M (x0; y0) và n ( b a; ) là vectơ pháp tuyến (VTPT)
Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A(a ; 0) và B(0 ; b) là:
1
b
y a x
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M (x0; y0) có hệ số góc k có dạng :
y - y0= k (x - x0)
3 Khoảng cách từ mội điểm M (x0; y0) đến đường thẳng : ax + by + c = 0 được tính theo công
thức : d(M; ) = 2 2
0 0
b a
c bx ax
4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
1
= a1xb1yc1= 0 và 2= a2xb2yc2= 0
1
cắt 2 1
1
b
a
2
2
b
a
; 1 2 1
1
b
a
= 2
2
b
a
2
1
c
c
; 1 2 1
1
b
a
= 2
2
b
a
= 2
1
c c
(với a2,b2,c2khác 0)
5 Phương trình đường tròn:
Phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính R có dạng :
(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)
Trang 3hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2) với c = a2 + b2 – R2
Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a ; b) bán kính R
Đường tròn (C) tâm I (a ; b) bán kính R tiếp xúc với đường thẳng : x + y + = 0
khi và chỉ khi : d(I ; ) = 2 2
b a
= R
A- Bài tập về đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ :
I Phương pháp :
1.cot Đường thẳng (d) đi qua điểm M(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n=( A;B) thì có phương trình tổng quát là :
A(x-x0) + B(y – y0) = 0
2.cot Đường thẳng (d) đi qua điểm M (x0;y0) và có VTCP u=( a;b ) thì có
+ phương trình tham số là :
x=x0+a t y= y0+b t
¿{
¿
¿ (t là tham số )
+ phương trình chính tắc là :x − x0
a =
y − y0 b
II VDMH : 1)Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(3;-2) và có vectơ pháp tuyến n=( 1;4 ) ?
2)Viết PT đường thẳng d đi qua điểm M(-3;-2) và có VTCP u=( 2;3 )?
Giải : 1) Đường thẳng d đi qua điểm M(3;-2) và có vectơ pháp tuyến
n=( 1;4) có phương trình tổng quát là : 1(x-3) + 4(y +2 ) = 0
hay x+4y +5 = 0
2) Đường thẳng d đi qua điểm M(-3;-2) và có vectơ chỉ phương
u=( 2;3 ) có phương trình tham số là :
x=− 3+2 t
y =−2+3 t
¿{
¿
¿
III.Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Lập PTTQ , PTTS , PTCT của đường thẳng trong những trường hợp sau đây :
a) Đi qua điểm M(3;-1) và có VTPT n = (2;4).cot
b) Đi qua điểm M(3;-1) và vuông góc với đường thẳng BC , trong đó B(-1;3) và C(2;5).cot
c) Đi qua điểm M(3;-1) và có VTCP u = (4;-1).cot
d) Đi qua hai điểm A(-3;2) và B(1;-2).cot
e) Đi qua M (-5;-8) và có hệ số góc k = -3 cot
Bài 2 : Cho đường thẳng Δ có phương trình : 3x – 5y -11 = 0 cot Hãy lập phương trình đường thẳng d trong mỗi
trường hợp sau :
a) Đi qua M(2;-3) và song song với Δ.cot
b) Đi qua M(2;-3) và vuông góc với Δ.cot
c) Đi qua M(2;-3) và cắt trục hoành tại A , cắt trục tung tại điểm B sao cho cho OB = 2OA (A , B khác gốc O ).cot
Bài 3: Cho đường thẳng( d ) : 3x-y+1 = 0 cot
a) Viết phương trình đường thẳng (d1) qua A(2;3) và song song với đường thẳng (d) cot
Trang 4b) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua B(-3;4) và vuông góc với đường thẳng (d) cot
Bài 4 : Cho tam giác ABC có C(2;3) , trọng tâm G(23;1
3) , phương trình đường phân giác trong của góc A là
d : 2x+5y+7 = 0 cot Hãy xác định toạ độ các đỉnh A , B cot
Bài 5 : Cho tam giác ABC có B(-4;-3) , hai đường cao có phương trình là : 5x+3y+4=0 và 3x+8y+13 = 0 cot Lập phương trình các cạnh của tam giác cot
Bài 6 : Cho tam giác ABC có B(2;-7) cot Phương trình đường cao qua A là 3x+y+11 = 0, đường trung tuyến vẽ từ C là x+2y+7 = 0 cot Lập phương trình các cạnh của tam giác cot
Bài7:Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là M (1;1) , phương trình cạnh BC là 3x+4y-12 = 0 phương trình cạnh AC là x-y-6 = 0 cot Viết phương trình cạnh AB cot
Bài 8 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;3) và phương trình hai đường trung tuyến là x-2y+1=0 và y-1=0 cot
Bài 9:Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;2),cắt tia Ox tại A,cắt tia Oy tại B(A,B khác gốc O)sao cho :
a) OA + OB = 6 ;
b) Tổng 1
OA2+ 1
OB2 nhỏ nhất cot Bài 10 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-4) , phương trình đường cao qua A là 3x-4y+11 = 0 , phương trình đường phân giác trong qua C là x+2y-7 = 0 cot
Bài 11 : Cho hình vuông ABCD với B(4;1) và phương trình đường chéo AC là x+3y-11 = 0.cot Hãy tìm toạ độ các đỉnh A,C,D cot
Bài 12 : Cho hình thoi ABCD có phương trình cạnh AC là 2x+y-2=0 , D(-6;-1) và cạnh BC đi qua điểm E
(203 ;
8
3).cot Tìm toạ độ các đỉnh còn lại cot
Bài 13 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (-2;3) và cách điểm B(3;-5) một khoảng bằng 5.cot Bài 14:Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ Ovà tạo với đường thẳng (d):x-2y+6 = 0 một góc 450.cot Bài 15 : Cho hai đường thẳng (d1) : x-3y-2=0 , (d2) : 4x-y+1 = 0.cot Viết phương trình đường thẳng qua M(1;1) cắt Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB cot
Bài 16 : Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau :
a) Qua điểm M(3;2) và tạo với (d) : x+√3y +2 = 0 cot
b) Qua M(3;-4) và tạo với hai đường thẳng 2x+y-3 = 0 và 3x-6y+11 =0 các góc bằng nhau cot
c) Qua M(3;-4) và tạo với trục hoành một góc 450 cot
Bài 17 :Cho tam giác ABC cân tại C có phương trình cạnh (AB) : 2x-3y+11 = 0 , phương trình cạnh (AC) : x+5y-14 = 0.cot Cạnh BC đi qua điểm M(3;-3) cot Viết phương trình cạnh BC cot
Bài 18 : Cho tam giác ABC với A(2;0) , B(4;1) , C(1;2) cot
a) Viết phương trình các cạnh AB , AC cot
b) Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cot
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và cắt đường thẳng AB tại M , cắt đường thẳng AC tại N sao cho OM=− 2.ON
Bài 19 : Viết phương trình các đường trung trực của cạnh AB , BC của tam giác ABC có A(-2;-4) , B(2;-1) , C(-1;1) cot Từ đó suy ra toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cot
Bài 20 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A (2;-1) cot Hai đỉnh B , C thuộc đường thẳng
d : 3x-4y-12 = 0 cot Viết phương trình các cạnh bên của tam giác cân ABC cot
Bài 21 : Cho điểm M(1;2) cot Hãy lập phương trình đường thẳng qua M và chắn trên hai trục toạ độ hai đoạn có độ dài bằng nhau cot
Trang 5Bài 22 : Trong mp Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;3) , đường cao BH có phương trình :
2x -3y -10 = 0 cot
a) giả sử cạnh BC có phương trình 5x-3y -34 = 0 cot Xác định toạ độ các đỉnh B,C cot
b) giả sử cạnh AB có phương trình : 5x + y – 8 = 0 và tam giác ABC cân tại C cot Xác định toạ độ các đỉnh B,C cot
Bài 23 : Cho tam giác ABC , cạnh BC có phương trình 7x+5y-8 = 0 , các đường cao BI và CK có phương trình lần lượt là : 9x-3y-4= 0 và x+y – 2 = 0 cot Hãy lập phương trình các cạnh AB , AC và đường cao AH của tam giác đó cot
Bài 24 : Hai cạnh của một tam giác có phương trình : 5x-2y+6 = 0 và 4x+7y -21 = 0 cot Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biêt trực tâm trùng với gốc toạ độ O cot
Bài 25 :Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình x-2y+1 = 0 và y – 1 = 0 cot
B – Bài tập về đường tròn trong mặt phẳng toạ độ :
I Phương pháp : Đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R có PT: (x-a)2 + (y-b)2 = R2
II VDMH : Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;3) và đi qua điểm M( 3;4).cot
Giải : Đường tròn đã cho có bán kính R = IM = √17.cot
Từ đó đường tròn đã cho có phương trình là : (x+1)2+(y-3)2 = 17.cot
III.Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau :
a) Tâm I(-2;3) , bán kính R = 4 cot
b) Nhận AB làm đường kính với A(-2;6) , B(4;-2) cot
c) Tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng x-2y+7 = 0 cot
d) Qua ba điểm A(-2;4 ) , B(5;5) , C(6;-2)
Bài 2 : Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau :
a) Đi qua hai điểm A(5;7) , B(-2;4) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x+3y-18 = 0.cot
b) Có tâm nằm trên đường thẳng 4x+y+12 = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d: 2x+y-4 = 0 tại điểm M(1;2) cot
c) Đi qua điểm A( 4;2) và tiếp xúc với hai đường thẳng x-3y-2 = 0 và x-3y +18 = 0 cot
d) Tiếp xúc với đường thẳng (d1) :2x+y -3 = 0 tại A(1;1) và tiếp xúc với đường thẳng(d2):3x-4y-2 =
0 tại điểm B(-2;-2) cot
Bài 3 : Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau đây :
a) x2+y2-2x-4y-3 = 0
b) 2x2+2y2-8x-4y-7 = 0.cot
Bài 4 : Cho đường tròn (C ) có phương trình x2 + y2 -4x+6y +1 = 0.cot
a) Kiểm tra xem điểm M (-1;1) nằm bên trong hay bên ngoài đường tròn.cot
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M (-1;1) và cắt (C ) tại hai điểm A , B sao cho
AB = R √3
Bài 5 : Cho đường tròn ( C ) x2 + y2 +2x-4y+1 = 0 cot
a) Viết PTTT của đường tròn tại A(1;2) cot
b) Viết PT các TT của đường tròn , biết rằng các TT đó đi qua M(6;8) cot
Bài 6 : Cho đường tròn ( C ) (x-4)2 + (y + 3)2 = 25 cot Viết PTTT của ( C ) trong mỗi trường hợp sau :
a) TT song song với đườngthẳng -4x+3y +11 = 0 cot
b) TT vuông góc với đường thẳng 4x -3y -2007 = 0 cot
c) TT tạo với đường thẳng x-7y -2007 = 0 một góc 450 cot
Trang 6Bài 7 : Cho đường tròn (C) : x2+y2 -4x+2y-1 = 0 và đường thẳng ( d ) : y = x cot
a) Chứng minh rằng (d) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B cot
b) Viết phương trình đường tròn (C’) qua A , B và M (2;3) cot
Bài 8: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục toạ độ và :
a) Đi qua điểm M (1;2).cot
b) Có tâm nằm trên đường thẳng 3x+y-6 = 0
Bài 9 : Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau :
a) Có bán kính bằng 1 , tiếp xúc với trục hoành và có tâm nằm trên đường thẳng x+y-3 = 0 cot
b) Tiếp xúc với đường thẳng(d):x-2y+3 =0tại điểm A(1;2)và có tâm nằm trên đường thẳng x+y-1= 0.cot
Bài 10 :Cho đường tròn ( C ): x2+y2-2x+4y-4=0 và điểm M (-1;-3 ).cot Viết phương trình đường thẳng :
a) Qua M , cắt ( C ) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB cot
b) QuaM,cắt(C)tại hai điểm AvàB sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất,I là tâm của (C )
Bài 11 :Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C ) : (x-1)2 + (y-2)2 = 4 , biết tiếp tuyến :
a) Tạo với hai tia Ox , Oy một tam giác vuông cân.cot
b) Tạo với hai tia Ox , Oy một tam giác có diện tích bằng 4 cot
Bài 12 : Trong mp Oxy cho ba điểm : A (3;1) , B(0;7) , C(5;2) cot
a) CMR tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó cot
b) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cot CMR khi đó trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên một đường tròn cot Viết phương trình của đường tròn đó cot
Bài 13 : Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng1 Tìm
quỹ tích tâm của các đường tròn đó cot
Bài 14 : Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ và cắt đường tròn (C ) : (x-1)2+(y+3)2 = 25 thành một dây cung có độ dài bằng 8 cot
Bài 15 : Cho hai đường tròn : (C1):x2+y2-6x+5 = 0 và (C2) : x2+y2-12x-6y+44 = 0.cot
a) Tìm tâm và bán kính của hai đường tròn đã cho cot
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho cot
c) Viết phương trình đường tròn (C3)đi qua tâm của các đường tròn (C1),(C2)và gốc toạ độ O.cot
Bài 16 : Cho ba điểm A(1;2) , B(-3;1) , C(4;-2 ) cot
a) Chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x;y) thoả mãn MA2 + MB2=MC2 là một đường tròn.cot
b) Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn nói trên cot
Bài 17 : Cho đường tròn ( C ) : x2+y2 -4x-2y + 3 = 0 cot
a) Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của đương tròn ( C ) cot
b) Tìm m để đương thẳng y = x + m có điểm chung với đường tròn ( C ).cot
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn ( C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d :
x – y +2006 = 0 cot
Bài 18 : Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 -4x+2y -20 = 0 và đường thẳng (d) : 2x + y – 5 = 0
a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và ( C ).cot Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tại các giao điểm trên cot
b) Chứng minh rằng từ điểm M ( 3; 5 ) có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn cot Tính khoảng cách từ M đến đưòng thẳng đi qua hai tiếp điểm cot
Bài 19 :Một đường tròn đi qua hai điểm A(2;2) , B(9;9) và tiếp xúc với chiều dương của trục hoành tại điểm
M.cot Lập phương trình của đường tròn và tìm hoành độ của M ;Viết PTTT của đường tròn tại hai điểm A , B cot
Bài 20 : Cho đường cong (Cm ) có phương trình : x2 + y2 -2mx +4(m-1)y – 4 = 0
Trang 7a) CMR:với mọi m,(Cm ) luôn là một đường tròn.cot Hãy xác định m để (Cm) có bkính nhỏ nhất.cot b) Tìm m để (Cm ) chắn trên trục hoành một dây cung có độ dài là 2√5.cot
Chú ý: Trong đây có một số bài tập nâng cao đòi hỏi học sinh phải biết suy luận tốt
Chúc các em làm bài thi thật tốt !