Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phương pháp đánh giá.. Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm..[r]
Trang 1TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN
I.Xác định số hạng trong khai triển của nhị thức Niu-tơn:
Bài 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: a /(2 x2 3/ ) ; /(1/ x3 10 b 3 x2 4 x3 17)
Giải: a/ Ta có:
(2 3/ ) k (2 ) k(3/ )k k 2 k k3 k
Do 20 5 k 0 k 4 nên số hạng không chứa x trong khai triển là C104 2 36 4 1.088.640.
b/ Ta có:
Do 136 17 k 0 k 8 nên số hạng không chứa x trong khai triển là C 178 24.310
Bài 2: Biết hệ sô của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức ( x2 x 3 x x / )n bằng 36 Tìm số hạng thứ 7
Giải: Từ GT Cn2 n n ( 1) / 2 36 n 8 Vậy số hạng thứ 7 trong khai triển bằng
6 5/ 2 2 2 / 3 6
Bài 3: Tìm hệ số của x4 trong khai triển của: (1 2 x 3 ) x2 10
Giải: Ta có:
10
k
k
10
k l k l l k
k
l k
là: (8;0), (9;2) và (10;4) Vậy hệ số của x4 bằng: C108.32 C C109 .2 392 2 C104.24 8.085.
Bài 4: Tìm hệ số của x10 trong khai triển của: (1 x x2 x3 5)
0 ; 5
k l
thỏa mãn là: (0;5), (2;4) và (4;3) Vậy hệ số của x10 trong khai triển bằng:
C C C C C C
Bài 5: Trong khai triển P(x) = (1 3 ) x 8thành đa thức:
P(x) = a a x a x0 1 1 2 2 a x8 8 Tìm max ( , , , ) a a1 2 a8
Giải: Ta có:
8 8
8 0
(1 3 ) k k3 k
k
Giả sử ak1 lớn nhất thì:
Trang 21 1
23/ 4 27 / 4 6 3/( 1) 1/(8 )
k k k k
k k
k k k k
k k
k
Vậy max( , , , ) a a1 2 a8 =a7 C86 63 20.412
II Tính tổng:
Bài 6: Khai triển (x-2)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100 a) Tìm a97 b) T= a0+a1+…+a100
c) S=a0-a1+a2-a3+….+a100 d/P=a1+2a2+3a3+…+100a100
Giải: a/ Do
100
0
( 2) k k( 2)k ( 2) 1.293.600
k
b/ T (1 2)100 1
c/ S ( 1 2)100 3100
d/ Từ khai triển trên, đạo hàm hai vế ta được:
100( x 2) a 2 a x 3 a x 100 a x P 100(1 2) 100
Bài 7: Khai triển: (1+2x+3x2)10= a0+a1x+….+a20x20
a) Tìm a1, a20 , a4 b) Tính S = a0+a1+…+a20
Giải: a/ Ta có:
10
k
k
k l k l l k
k
l k
4 10.3 10 .2 39 10.2 8.085.
b/ Ta có: S (1 2.1 3.1 ) 2 10 610
Bài 8: Khai triển (1+x+x2)1996=a0+a1x+…+a3992x3992
a/Tính T=a0+a1+…+a3992 ; b) H= a0-a1+a2-….+a3992 ; c) CMR a0+2a1+22a2+…+23992a3992 chia hết 2401
Giải: a/ Ta có: T (1 1 1 )2 1996 31996
b/ Ta có: H 1 ( 1) ( 1) 2 1996 1
c/ Ta có: a0 2 a1 22a2 2 3992a3992 (1 2 2 )2 1996 71996 74 2401
Bài 9: Tính giá trị các biểu thức: / 1 1 2 2 3 3 2 n n 1;
/ 2 3 ( 1)n n; / 2 2.3 3.4 ( 1) n n
(1 )n n k k (1 )n n k k
a/ Cho x = a ta được: S1 n a ( 1)n1
Trang 3b/ Cho x = -1 ta được: S 2 0.
c/ Đạo hàm hai vế của hệ thức trên ta được:
3 2
( 1)(1 )n n k ( 1) k ( 1)(1 )n
n k
Bài 10: Tính:
n
n
n
Giải: Ta có:
2
x
Bài 11: Tính:
!(2002 )! (2 1)!(2003 2 )!
Giải: Ta có:
2 1
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1/Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức niwtơn của
1 2
n
x
x ,biết rằng n là số
n n
n n n n
n n ĐS: n = 7 ; hs = 21/4 2/Tìm số hạng chứa x trong khai triển của
3 4
1 n
x
x trong đó n là nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình: C n0 C n1 C n n 512 ĐS: n = 10 ; hs = C 104 210
n
4/Khai triển đa thức P(x)=1x2 x37 ta có P(x)=a x21 21 a x20 20 a x1 a0 Tìm hệ số a11
5/Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức NiuTơn của 13 5
( x )n
x , biết rằng
1
(n là số nguyên dương, x > 0 ) n = 12; hs = 495.
6/ Với n là số nguyên dương, gọi a3 3n là hệ số của x3 3n trong khai triển thành đa thức của 2
( x 1) (n x 2)n Tìm n để a3 3n 26 n.ĐS: n = 5
7/ Giả sử: 1 2 10
3 3 x =
0 1 2 10
a a x a x a x Tìm max ( , , , ) a a1 2 a10 ĐS: a7
ĐS: 3/ (3/ 2)n1 1 /( n 1); 4/ a 315
Trang 48/ Tỡm giỏ trị của x sao cho số hạng thứ ba của khai triển: ( x x lgx)5 là 1.000.000
sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn
Bài toán 1: Tìm L =
0
lim
x
x
Giải : Đặt f x( ) ( x2 2009) 1 95 x 2009; do f x ( ) 0nên
L =
0
( ) (0)
0
x
f x
2 5
4 5
9( 2009) '( ) 2 1 9
5 (1 9 )
x
x
9.2009
5
Bài toán 2: Tìm L =
2 3
0
lim
x
sinx
Giải : Đặt f x( ) 2x 1 3 x2 thì f(x) = 0 và 1 3 2 2
'( )
x
f x
0
0
( ) (0)
0
1 lim
x x
f x
sinx x
Bài toán 3: Tìm L =
0
lim
x
Giải: Đặt f x( ) 1 2x 1 sinx; g x( ) 3x4 2 x f(0) 0; (0) 0 g
0
0
( ) (0)
( ) (0) '(0) 1/ 2 lim
0
x
x
f x
L
x
Bài toán 4: Tìm L =
sin 2
0 lim
x sinx x
sinx
Giải:Đặt f x( )esin 2x e sinx f(0) 0; '( ) 2 f x cos xe2 sin 2x cosxe sinx f '(0) 1
0
( ) (0)
1 lim
x x
f x
L
sinx x
Bài toán 5: Tìm L =
3 2 4
1 lim
x
tanx sin x
Trang 5Giải: Đặt ( ) 3 1; ( ) 2 2 1 ( ) 0; ( ) 0
2 / 3 2 1
'( ) tan (1 tan ); '( ) 2sin 2 '( / 4) 2/ 3 & '( / 4) 2
3
Nhận xét: nếu các bài này không sử dụng
định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn thì sẽ rất phức tạp Sau đây ta xét một số bài toán về giới hạn
mà nếu không sử dụng định nghĩa đạo hàm thì không giải đợc
Bài toán 6: Tìm L =
3
1 2
lim
x x
x x x
Giải: Đặt f x( ) 2x 23 x 6; ( )g x 2x 21 x f(2) 0; (2) 0g
'( ) 2 ln 2 2 ln 2; '( ) 2 ln 2 2 ln 2 '(2) 2ln 2; '(2)
2
2
( ) (2)
( ) (2) '(2) (ln 2) / 4 lim
2
x
x
f x
L
x
Bài toán 7: Tìm L =
2
0
1 lim
ln(1 )
x x
x
3
0
0
( ) (0)
0
lim
x
x
f x
L
x x
Bài toán 8: Tìm L =
0
t lim ln(1 2 )
x x
e anx
x
Giải: Đặt ( ) t '( ) t 2 ; (0) 0; '(0) 1
x
cos x
0
0
( ) (0)
2
x
x
f x
L
x x
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
/ 4
/ 4
( ) ( / 4)
/ 4
lim
/ 4
x
x
f x
L
x
Trang 6Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phương pháp đánh giá.
I.Sử dụng một số BĐT cơ bản:
Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì: a a1; ; (2 a n n 2)ta luôn có:
1 2
( )
n n
n
a a a I n
; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a1 a2 an BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì ( ; ; ),( ; ; ) a a1 2 an b b1 2 bn ta luôn có:
( a b a b a bn n) ( a a an)( b b bn)( ) II ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ Khi: 1 2
n
n
a
b b b BĐT:
a b c ab bc ca III ; dấu bằng xảy ra khi a b c
BĐT:
2
n
IV
a a a a a a ; trong đó a a1, , 2 an là các số dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau
Bài 1: Cho a b 0 Chứng minh:
Dấu bằng xảy ra khi b 1; a 2.
Bài 2: Cho a > 1; b > 1 Chứng minh: a b 1 b a 1 ab
1 ( 1).1
a b a b a ; tương tự ta cũng có:
1
2
ab
b a Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2
Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1 Chứng minh: ab bc ca abc 8/ 27
(1 )(1 )(1 )
1 a b c ab bc ca abc ab bc ca abc 8/ 27
a = b = c =1/3
Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c Chứng minh: a3 b3 c3 a2 bc b 2 ca c 2 ab
Trang 7Giải: Theo BĐT (I) ta có: 4 a3 b3 c3 66 a3 4b c3 3 6 a2 bc ; tương tự ta cũng có:
4 b c a 6 b ca c ;4 a b 6 c ab cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản
ta sẽ được BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z Chứng minh: ( x y z ) /6 xy z2 3 432
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức P ( x y ) /9 x y3 6trong đó x,y là các số dương
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
9
3 6 9.
x y
Vậy GTNN của P bằng 3 / 29 6 khi y = 2x
Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: a6 b6 c6 3 Hãy tìm GTLN của biểu thức
Giải: Theo BĐT (I) ta có: a6 1 1 3 ; a b2 6 1 1 3 ; b c2 6 1 1 3 c2 9 3 S 3 S
Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1
Bài 6: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 0 x 3;0 y 4 Tìm GTLN của biểu thức:
Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3
3
6 A 6 A 36
Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2
Bài 7: x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1 Tìm GTLN của biểu thức:
P xyz x y y z z x
Bài 8: a,b,c là các số dương Chứng minh: ( , *)
m n m n m n
n n n
n
Tương tự
giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Chú ý: Nếu m n 1 thì ta được BĐT:
.
a b c
b c a
Bài 9: Cho 3 số thực dương a,b,c Chứng minh:
.
b c a c a b a b c
Trang 8Giải: Theo BĐT (I) ta có:
3
có:
;
giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x y z 6 Tìm GTNN của biểu thức:
S
Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a b c 6 Tìm GTNN của biểu thức:
(1 )(1 )(1 )
P
Bài 12: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức: x y z 0 Chứng minh:
3 4x 3 4y 3 4z 6
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 4x 1 1 1 4x 4 44 x 2.2x/ 4
Tương tự ta cũng có:
3
3 4y 2.2 ; 3 4y z 2.2z S 2(2x 2y 2 ) 2.3 2z x y z 6
Dấu bằng xảy ra khi x y z 0
Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng bằng 1 Tìm GTNN của biểu thức:
S
Giải: Dễ thấy S dương Theo BĐT (I) ta có:
2 3
3
3 x xy 3 y xy 3( x y ) S 2 S 2
Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a b c 3 Tìm GTNN của biểu thức:
S
Bài 15: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a2 b2 c2 1. Chứng minh:
3
ab bc ca
S
Bài 16: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1 Chứng minh BĐT:
Trang 93 2
xy z yz x zx y
Giải: Do xy z xy z x y z ( ) ( x z y z )( ) nên theo BĐT (I) ta có:
1
2
1 2
2
Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi x y z 1/ 3
Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: x y 6 Tìm GTNN của biểu thức:
6 8
3 2
x y
2 2 .6
P
6 4 9 19
Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4
Bài 18: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 2 xy xz 1 Tìm GTNN của biểu thức:
3 yz 4 xz 5 xy S
Giải: Theo BĐT (I) ta có: S yz xz 2 yz xy 3 xy xz 2 z 4 y 6 x
2( x z ) 4( x y ) 4 xz 8 xy 4 Vậy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3
Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện: x y 4;3 x y 6
Tìm GTLN của biểu thức: P 9.3 x 4 y
3.3 1.1 2 3 3( 2) ( 3)
2 3 3 9 2 3
9 4 3
( Do a 3 b 3 & a b 2/ 3 a (2 3 3) / 2 & b (9 2 3) / 6 )
Vậy MaxP 9 4 3 khi x 1& y 3
Bài 20: Cho 3 số dương a,b,c Chứng minh BĐT:
2 a b c a 2 b c a b 2 c 4 a b c
Trang 10Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có: 1 1 1 1 1
2 a b c ( a b ) ( a c ) 4 a b a c
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1
Tương tự ta cũng có:
1
2
a b c
1 1 2 1
16 a b c
2
a b c
1 1 1 2
16 a b c
.Cộng các vế của các BĐT này lại
rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a b c
Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng bằng 1 Chứng minh các BĐT sau:
ab a b ab a b
Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 1 2 1 2 1 1 2 1 2
ab a b ab ab a b
2 4 6 ( a b ) 2 ab a b (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi a b 1/ 2.
1/ 2.
Bài 22: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a b c 3/ 2. Chứng minh:
Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích bằng 1 Chứng minh: x2 y2 z2 x y z
Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = 3 ta có:
2
3
x y z
x y z x y z
3
3
x y z
(đpcm) Dấu bằng xảy ra khi x y z 1
Chú ý: Từ BĐT trên ta suy ra BĐT:
b c a b c a với a,b,c là các số dương.
Bài 24: Cho a c 0; b c 0 Chứng minh: c b c ( ) c a c ( ) ab
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ( c ; a c ) & ( b c c ; ) ta được:
2 ( c b c ( ) c a c ( )) ( c a c b c c )( ) ab từ đó suy ra BĐT ccm Dấu bằng xảy ra khi
Bài 25: Cho 4 số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện: a x a b x y ; Chứng minh:
Trang 11Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số x ; a x & ( x y ; a b x y )
ta
được:
2
( )
từ đó suy ra BĐT ccm Dấu
bằng xảy ra khi bx = ay
Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: a2 b2 c2 d2 1; x là số thực bất kì Chứng minh:
( x ax b ) ( x cx d ) (2 x 1)
Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta có: ( x2 ax b )2 ( x2 x2 1 )(2 x2 a2 b2);
( x cx d ) ( x x 1 )( x c d ) ( x2 ax b )2 ( x2 cx d )2
(2 x 1)( x a b x c d ) (2 x 1) (đpcm) Dấu bằng xảy ra khi b=d=1&x=a=c
Bài 27: Cho 5 số dương x,y,z,p,q bất kì Chứng minh: x y z 3
py qz pz qx px qy p q
Giải: Theo BĐT (III) ta có: x py qz ( ) y pz qx ( ) z px qy ( ) ( p q xy yz zx )( )
2
( p q x y z )( ) / 3 (*) Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số x ; y ; z
py qz pz qx px qy
và
( x py qz ( ); y pz qx ( ); z px qy ( )) ta được:
py qz pz qx px qy
Kết hợp với BĐT (*) ta sẽ được BĐT ccm Dấu bằng xảy ra khi; py qz pz qx px qy Bằng cách giải tương tự ta sẽ chứng minh được các BĐT sau:
2
b c a c b a với a,b,c là các số dương bất kì
b c d c d a a b với a,b,c,d là các số dương bất kì
3/
2
b c a c b a
4/
a b c
b c a a c b b a c với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác 5/ a b c 3 với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Trang 12Bài 28: Cho các số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: x2 y2 u2 v2 1 Chứng minh:
u x y v x y
Giải: Theo BĐT (II) :
u x y ( ) v x y ( ) 2 ( u2 v2) ( x y )2 ( x y )2 2( x2 y2) 2
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi u x y ( ) v x y ( ).
Bài 29: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện: a2 b2 c2 1. Chứng minh:
2
b c a c b a
a b c b a c c b a
( a b c ) ( a b c ) ab bc ca Từ đó ta suy ra BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a b c 3 / 3
Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x x ( 1) y y ( 1) z z ( 1) 4 / 3 Chứng minh:
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: ( x 1/ 2)2 ( y 1/ 2)2 ( z 1/ 2)2 25/12 Áp dụng BĐT (II) ta được:
1.( x 1/ 2) 1.( y 1/ 2) 1.( z 1/ 2) 2 3 ( x 1/ 2)2 ( y 1/ 2)2 ( z 1/ 2)2 25/ 4
(đpcm) Dấu bằng xảy ra khi x y z 4/ 3
Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: a2 b2 16 8 a 6 b Chứng minh:
Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: ( a 4)2 ( b 3)2 9 Áp dụng BĐT (II) ta được:
4( a 4) 3( b 3) 2 ( a 4)2 ( b 3) (42 2 3 ) 9.252 4 a 3 b 25 15
(đpcm) Dấu bằng xảy ra khi a = 24/5,b = 24/3 hoặc a = 16/5, b = 6/5
Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x2 y2 z2 4 x 2 z 0. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
Bài 33: Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức: a b c 3.Tìm GTNN của biểu thức:
S a ab b c cb b a ac c
Trang 13Giải: Theo BĐT (II) ta có:
a ab b a a a b
2 2 3( ) / 2
Tương tự ta cũng có: c2 cb b 2 3( c b ) / 2 ;
c ca a c a S a b c Vậy MinS = 3 khi a b c 3 / 3
II.Sử dụng phương pháp đánh giá:
Bài 34: Cho 3 số dương a,b,c Chứng minh các BĐT sau:
2
a
a b c b
Giải:a/Ta có:
a b abc a b a ab b abc a b ab abc ab a b c
c
a b abc ab a b c abc a b c
;
c b abc abc a b c c a abc abc a b c Cộng các vế của các BĐT này lại
rồi giản ước ta sẽ được BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a b c
2
bc b c
;
giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a b c
Bài 35: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x2 y2 z2 3. Tìm GTNN của biểu thức:
.
P
Bài 36: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 2 Chứng minh: 1.
S
Bài 37: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1/ a 1/ b 1/ c 3. Tìm GTLN của biểu thức: