h­íng dén häc sinh khai th¸c kõt qu mét sè bµi to¸n néi dung vý dô 1 bµi to¸n 1 t×m ­íc chung nguyªn tè cña n 8 vµ 2n 5 n n gi¶i gäi d ­c n 8 2n 5 vµ d lµ sè nguyªn tè n 8 d vµ 2n 5 d 2n

[r]

Nội dung:

Ví dụ 1:

Bài toán 1 : Tìm ớc chung nguyên tố của n + 8 và 2n - 5 (n  N)

Giải: Gọi dc (n + 8; 2n - 5) và d là số nguyên tố

 n + 8 d và 2n - 5  d

 2n + 16  d và 2n - 5  d

 (2n + 16) - (2n - 5)  d

 21  d  d = 3 hoặc d = 7,

Nhận xét: Ta đã biết rằng một phân số

a

b đợc gọi là tối giản nếu UCLN (a,b) = 1

hay a, b nguyên tố cùng nhau, hay a, b không chứa thừa số nguyên tố chung Từ đó

ta có bài toán sau:

Bài toán 2:

Tìm n N để phân số

8

2 5

n n



 tối giản?

Giải:

Từ kết quả bài toán trên, để

8

2 5

n n



 tối giản thì n + 8  3 và n + 8  7 ( khi đó 2n - 5  3 và 2n - 5  7)

 n  3k - 8 hay n  3m + 1 (m  N)

và n  7k - 8 hay n  7u + 6 (u  N)

Nhận xét: Qua bài toán trên nếu ta thay “tối giản” bằng “rút gọn đợc” thì sao?

Bài toán 3:

Tìm nN để phân số

8

2 5

n n



 rút gọn đợc?

Đáp số: n = 3k + 1

hoặc n = 7m - 6 (k, m  N)

Nh vậy: phân số

a

b rút gọn đợc khi a và b có ớc chung nguyên tố.

Trờng hợp đặc biệt nếu a và b có ớc chung là b, hay nói cách khác a  b thì

a b

gọi là gì?

Bài toán 4:

Tìm nN để phân số

8

2 5

n n



 là số tự nhiên?

Giải: Để

8

2 5

n n



 là số tự nhiên thì: n + 8  2n - 5 (1)

và 2n - 5 > 0

Khi n + 8  2n - 5  n + 8 - ( 2n - 5)  2n -5

 13 - n  2n - 5, kết hợp với (1) ta có:

n + 8 + (13 - n)  2n -5 hay 21 2n -5

 2n - 5 = 1;3;7; 21

+ 2n - 5 = 1  n = 3

+ 2n - 5 = 3  n = 4

+ 2n - 5 = 7  n = 6

+ 2n - 5 = 21  n = 13

Nhận xét: ta thấy rằng 21 2n - 5 ở trên ta suy ra 2n - 5 = 1;3;7; 21

là bởi vì để

8

2 5

n

n



 là số dơng Nhng nếu không để ý đến

8

2 5

n n



 là số dơng hay âm thì 21

2n - 5 ta có 2n - 5 =     1; 3; 7; 21

Vậy từ đó ta có bài toán:

Bài toán 5:

Tìm nN để

8

2 5

n n



 là số nguyên?

Đáp số: n = -8; -1; 1; 2; 3; 4; 6; 13

8

2 5

n n



 là số tự nhiên Cụ thể n nhận một trong các giá trị: 3; 4; 6; 13

Ta biết rằng số nguyên tố là số là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ớc là 1 và chính

nó Hãy xét xem ứng với giá trị nào vừa tìm đợc của n thì

8

2 5

n n



 là số nguyên tố, từ

ý tởng đó ta có bài toán sau:

Bài toán 6:

Xác định nN để

8

2 5

n n



 là số nguyên tố

Đáp số: n = 3;6

Chú ý: Khi giải các bài toán 2; 3; 4; 5; 6 ta có thể sử dụng tính chất:

 Tổng (hiệu) của một số nguyên tố với một phân số tối giản là một phân số tối giản Do đó nhiều khi ta gặp các bài toán ta có thể đa về dạng tổng (hiệu) của một số nguyên tố với một phân số từ đó ta có cách giải gọn hơn, nhanh hơn

Ví dụ: Tìm n để a =

18 3

n n



 là số tự nhiên?

Giải: Ta có: a =

1

n



 

 Để a  N thì n + 3 là ớc của 15  n + 3 = 1;3;5;15

 n = 0;2;12

ở lớp 6 ta cũng thờng gặp những bài toán tính tổng các dãy số có quy luật hoặc đa

về các dãy số có quy luật

Ví dụ:

* Ví dụ 2:

Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đên 99 phải dùng bao nhiêu chữ số 1?

Giải:

Cách 1: Ta liệt kê các số chứa chữ số 1 đó là:

1; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81; 91

Đếm chữ số 1 ta đợc 20 chữ số 1.

Nhận xét:

Trong cách giải trên ta đã liệt kê các số chứa chữ số 1 rồi đếm số chữ số 1 đó cũng

là một cách giải hợp lệ Tuy nmhiên ta không bằng lòng với cách giải trên, đặc biệt trong trờng hợp số lợng các số phải liệt kê quá lớn (chẳng hạn, đếm các chữ số 1 trong các số tự nhiên từ 1 đến 999)

Có quy luật gì trong dãy số mà ta đã liệt kê ở trên không?

Phải chăng không tìm thấy quy luật gì để đếm các chữ số 1

Cách 2:

Bây giờ nếu ta xét riêng các chữ số ở hàng đơn vị thì các chữ số 1 đợc lặp lại sau

10 chữ số (1; 11; 21; …; 91) có 10 chữ số 1 ở hàng đơn vị Lại xét riêng các chữ số

ở hàng chục thì chữ số 1 cũng có mặt 10 lần trong các số từ 10 đến 19 Vậy chữ số

1 có mặt 20 lần

Ta đã tìm đợc cách đếm các chữ số 1 theo phơng pháp “bổ dọc” (đếm ở từng hàng đơn vị và hàng chục) Chúng ta vận dụng phơng pháp này để tìm các chữ số 1 trong bài toán sau:

Bài toán 2:

Khi viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 999 phải dùng bao nhiêu chữ số 1?

Giải: Các số chứa chữ số 1 ở hàng đơn vị là:

1; 11; 21; …; 991 gồm:

991 1

1 100 10



 

số (100 chữ số 1 ở hàng đơn vị) Các số chứa chữ số chứa chữ số 1 ở hàng chục:

10; 11; 12; …; 19 - gồm 10 số

110; 111; 112; …; 119 - gồm 10 số

…………

910; 911; 912; …; 919 - gồm 10 số

Các số chứa chữ số 1 ở hàng trăm là:

100; 101; 102; …; 199 Gồm 100 số (100 chữ số 1 ở hàng trăm)

Vậy có 100 + 100 + 100 = 300 chữ số 1

Với cách giải trên thì nếu thay “chữ số 1” bởi chữ số a khác 0 ta cũng tìm đợc kết quả bài toán Các bạn hãy giải bài toán tổng quát cho bài toán 2: thay “chữ số 1” bởi chữ số a khác 0 (kết quả không thay đổi)

Bài toán 2 nếu thay “chữ số 1” bởi “chữ số 0” thì sao?

Bài toán 3:

Khi viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 999 phải dùng bao nhiêu chữ số 0?

Giải:

Rõ ràng là số lợng các chữ số 0 ít hơn số lợng các chữ số khác 0, cụ thể là:

- ít hơn ở hàng đơn vị 1 chữ số (không viết số 0)

- ít hơn ở hàng chục 10 chữ số (không viết 00; 01; …; 09)

- ít hơn ở hàng trăm 100 chữ số (không viết 000; 001; …; 099)

ít hơn tất cả là: 1 + 10 + 100 = 111 chữ số

Nh vậy, khi viết các số tự nhiên từ 1 đến 999, số lợng mỗi chữ số khác 0 là 300, còn số lợng chữ số 0 là 300 - 111 = 189 số

Nhận xét:

Ta thấy nếu bổ sung các chữ số 0 vào để mọi số từ 1 đến 999 đều có 3 chữ số, thì mọi chữ số từ 0 đến 9 đều bình đẳng, số lợng mỗi chữ số đều nh nhau Do đó ta có thêm cách 3 để giải bài toán 1, cách 2 để giải bài toán 2, bài toán 3:

+ Xét các số từ 00  99 ta có 100 số gồm 2.100 = 200 chữ số

 Mỗi chữ số từ 0  9 là: 200 : 10 = 20

+ Xét các số từ 000  999 ta có 1000 số gồm 3.1000 = 3000 chữ số.

 Mỗi chữ số từ 0  9 là: 3000 : 10 = 300

Tổng quát ta có bài toán:

Khi viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 999…9 9 (n chữ số 9) phải dùng bao

nhiêu chữ số 1? Bao nhiêu chữ số 0?

Đáp số:

n 00…0 chữ số 1

(n - 1 chữ số 0)

n 000…0 - 111…1 chữ số 0

(n - 1 chữ số 0) (n - 1 chữ số 1)

Ví dụ 3:

Khi giải bài toán:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 - 3abc

Giải:

a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b)3- 3a2b - 3b2 + c3-3abc

= a b 3c3  3ab a b c   

=

a b c    a b 2 c a b  c2  3ab a b c   

= a b c a    2  2ab b 2  ac bc ca  .

= a b c a    2 b2 c2  ab bc ca  

= 1   2  2  2

2 a b c   a b  b c  c a 

Từ bài toán trên ta có thể giải bài toán sau:

Bài toán 1: (BT 70 sách “Nâng cao và phát triển toán 8 T1”)

Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dơng thì a = b = c

Giải:

Từ bài toán trên ta có nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 - 3abc = 0  1   2  2  2 0

2 a b c   a b  b c  c a  



0

a b c

a b c

  



  



Vì a, b, c > 0  a + b + c > 0  a = b = c

Từ kết quả bài toán trên ta có kết luận:

a b c

  



      

Từ kết quả này ta sẽ dễ dàng giải các bài toán sau:

Bài toán 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a, (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3

b, (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 +z2)3

Giải:

a Đặt a = x - y; b = y - z; c = z - x

Khi đó ta có: a + b + c = x - y + y - z + z - x = 0.

Từ kết luậ ở bài toán 1 ta có:

a + b + c = 0  a3 + b3 + c3 = 3abc

Hay (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x- y)(y- z)(z- x)

b Ta có: (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 +z2)3

= (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 + (- y2 - z2)3

Đặt a = x2 + y2; b = z2 – x2; c = - y2 - z2

Khi đó ta có: a + b + c = x2 + y2 + z2 – x2 - y2 - z2 = 0

Nh vậy ta có ngay:

(x2 + y2)3 + (z2 – x2) + (- y2 - z2)3 = 3(x2 + y2) (z2 – x2) (- y2 - z2)

= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x2 – z2)

= 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x – z)

Vậy (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 +z2)3 = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x – z)

Từ ý tởng của câu b ta đi đến bài toán:

Bài toán 3:

Giải phơng trình: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3

Ta cũng có thể biến đổi để đa về một phơg trình bậc 3 đối với ẩn x sau đó phân tích đa thức thành nhân tử để giải nhng nh thế không mấy thuận tiện Giải:

(3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3

 (3x – 2)3 – (x – 3)3 - (2x + 1)3 = 0

 (3x – 2)3 + (- x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 0 (1)

Biến đổi vế trái:

Đặt a = 3x – 2; b = - x + 3; c = - 2x – 1

Ta có: a + b + c = 3x – 2 – x + 3 – 2x – 1 = 0

Khi đó: (3x – 2)3 + (- x + 3)3 + (-2x - 1)3 = 3(3x – 2)(- x + 3)(-2x - 1)

Do đó (1)  3(3x – 2)(- x + 3)(-2x - 1) = 0



2

2

x x

x

x







 





    







   



Vậy tập nghiệm của phơng trình là: S =

;3;



Kết quả (*) sẽ đợc ứng dụng trong nhiều bài toán:

Bài toán 4:

Cho

1 1 1

0

x y z 

Tính: P = 2 2 2

z  x  y

Giải:

Đặt a =

1

x; b =

1

y ; c =

1

z

Vì a + b + c =

1 1 1

0

x y z  nên theo kết quả (*) ta có a3 + b3 + c3 = 3abc

Nh vËy:

1 1 1

0

Ta cã: P = 2 2 2

xyz

 

3

xyz xyz

 

 

  = 3 VËy P = 3

Bµi to¸n 5:

Cho abc  0 ; a3 + b3 + c3 = 3abc

TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A =

1 a 1 b 1 c

     

     

     

Gi¶i:

Tõ kÕt qu¶ (*)

a b c

  



      



+ NÕu a + b + c = 0  a + b = - c; b + c = - a; a + c = - b

A =

1 a 1 b 1 c a b b c a c

           

           

           

= c. a. b

  

= -1 + NÕu a = b = c th×:

A =

1 a 1 b 1 c

     

     

      = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2.2.2 = 8

VËy A = - 1 hoÆc A = 8