-Ph¸t triÓn, hoµn thiÖn kÜ n¨ng chøng minh h×nh cho häc sinh.[r]
Trang 1Chơng I
Số hữu tỉ-số thực
Phần I:
Tập hợp Q các số hữu tỉ-bốn phép tính
A-Kiến thức cần nhớ
1.Khái niệm: Mọi số hữu tỉ đợc viết dới dạng a
b (a,b Z, b ≠ 0)
Tập hợp Q các số hữu tỉ kí hiệu : Q
N Z Q
2.So sánh hai số hữu tỉ
x; y Q: x = a
m; y =
b
m (a, b, m Z; m > 0)
x < y nếu a < b
x > y nếu a > b
x = y nếu a = b
x < y -x > -yx > -x > -yy
x < y khi đó trên trục số nằm ngang điểm x ở bên trái điểm y
3.Phát triển
-x > -yPhần nguyên của số hữu tỉ x kí hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vợt quá x: [x] x [x] + 1
-x > -yPhần lẻ của số hữu tỉ x kí hiệu {x} đợc tính: {x} = x – [x]
4.Phép cộng, trừ hai số hữu tỉ
a) Phép cộng, trừ hai số hữu tỉ
Viết hai số hữu tỉ x, y dới dạng: x = a
m, y =
b
m (a,b,m Z, m >0)
x + y= a
m+
b
m=
a+b m
x − y= a
m −
b
m=
a− b m
b) Quy tắc chuyển vế
Với mọi x, y, z Q ta có:
x + y = z x = z – y c) Hai số hữu tỉ có tổng bằng 0 gọi là hai số đối nhau
5.Phép nhân, chia số hữu tỉ
a)Nhân hai số hữu tỉ
Với hai số hữu tỉ x = a
b, y =
c
d ta có:
x y = a
b.
c
d=
a c
b d
b)Chia hai số hữu tỉ
Với hai số hữu tỉ x = a
b, y =
c
d (y ≠ 0) ta có:
x : y = a
b:
c
d=
a
b.
d
c=
a d
b c
c)Thơng của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y ≠ 0) gọi là tỉ số của x và y,
kí hiệu là x
y hay x:y.
d)Hai số hữu tỉ có tích bằng 1 gọi là hai số nghịch đảo của nhau
Trang 2e) Chú ý
-x > -yNếu một tích của nhiều thừa số bằng 0 thì ít nhất 1 trong các thừa số đó bằng 0 -x > -yTích của 2n (n N*) thừa số mang dấu âm có kết quả là số dơng
-x > -yTích của 2n + 1 (n N) thừa số mang dấu âm có kết quả là số âm
6.Tổng kết các tính chất của phép cộng, phép nhân.
Phép tính
Kết hợp x + (y + z) = (x + y) + z x (y z) = (x y) z
Tính chất của phép nhân
B Ví dụ
Bài 1 Cho hai số hữu tỉ a
b và
c
d (b > 0, d > 0; a, b, c, d Z)
Chứng tỏ a
b<
c
d ⇔ad <bc
(Bài toán trên cũng đúng với a, b, c, d Q; b > 0, d > 0)
Bài 2 Tìm [x]; {x} biết:
a) x = 1
2 b) x = -x > -y
5
4 c) x = 3,15 d) x = 4 e) x = -x > -y8
b) 2 < x < 9
4 b)-x > -y1 x < 0 c)−
7
2<x< −3d)−
11
3 <x<−
10 3
Bài 3.Tính
a)
0 ,375 −0,3+ 3
11+
3 12
−0 , 625+0,5 − 5
11−
5 12
+ 1,5+1− 0 ,75
2,5+5
3− 1, 25
b)
1
3−
1
7−
1
13
2
3−
2
7−
2
13
⋅
1
3−0 , 25+0,2
11
6− 0 , 875+0,7
+ 6 7
c) -x > -y660(12−
1
3+
1
11)+123(− 38)+62(− 123)
d) 8
9−
1
72−
1
56 −
1
42−
1
30 −
1
20 −
1
12−
1
6−
1 2
Phần IV
Tỉ lệ thức và tính chất của nó Tính chất của d y tỉ số bằng nhau ãy tỉ số bằng nhau
A.Kiến thức
1.Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
Dạng tổng quát a
b=
c
d hoặc a : b = c : d
2.Tính chất
a)Tính chất cơ bản
a
b=
c
d ⇔ ad=bc (b , d ≠ 0)
b)Tính chất hoán vị
Trang 3Từ tỉ lệ thức a
b=
c
d ⇔ ad=bc (a , b , c , d ≠ 0)ta có thể suy ra ba tỉ lệ thức khác nhau
bằng cách:
-x > -yĐổi chỗ ngoại tỉ cho nhau
-x > -yĐổi chỗ trung tỉ cho nhau
-x > -yĐổi chỗ ngoại tỉ cho nhau và đổi chỗ trung tỉ cho nhau
c)Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Nếu a
b=
c
d=
e
f =k thì
a ± c ±e
b ± d ± f=k (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý
Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c ⇔x
a=
y
b=
z c
Ta còn viết x : y : z = a : b : c
Nâng cao
1.Nếu a
b=
c
d=
e
f thì
k1a+k2c+k3e
k1b+k2d +k3f =k
2
(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
B.Ví dụ
Ví dụ 1 Cho tỉ lệ thức a+b
c+ d=
a −2 b
c −2 d với b, d ≠ 0 Chứng minh rằng:
a
b=
c d
Giải:
Từ a+b
c+ d=
a −2 b
c −2 d ad = bc
a
b=
c d
Ví dụ 2 Tìm x, y, z biết x
y=
10
9 ;
y
z=
3
4 và x – y + z = 78
Giải:
x
y=
10
9 ⇒ x
10=
y
y
z=
3
4=
9
12 ⇒ y
9=
z
12 (2)
Từ (1) và (2) suy ra x
10=
y
9=
z
12=
x − y +z
10 −9+12=
78
13=6
Do đó x = 6 10 = 60; y = 6 9 = 54; z = 6 12 = 72
Ví dụ 3 Cho bốn số a, b, c, d sao cho a + b + c + d ≠ 0
Biết b+c +d
c +d +a
d +a+b
a+b+c
d =k
Tính giá trị của k
Giải: Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số đã cho ta đợc:
b+c +d
a +1=
c +d +a
b +1=
d +a+ b
c +1=
a+b+c
d +1 a+b+ c+d
a+b+ c+d
a+b+c +d
a+b+ c+d d
Vì a + b + c + d ≠ 0 nên a = b = c = d
d
d c b
b
d
c b
a
c
d c a
b
Trang 4Suy ra k =3 a
a =3
C.Bài tập
Dạng 1: Tìm thành phần cha biết của tỉ lệ thức
Bài 1 Tìm x, biết:
a) 3,5
x =
1 , 24
−1 ,64
8 , 51 =
|x|
−3 , 11
c)
|2 x − 1|
1
2
= 18
3:1
1
3=26 :(2 x +1)
Bài 2 Tìm x, biết:
a) 1
5x :3=
2
9:0 , 25 b) 2,5 : (2x) = 0,25 : 0,2
c) 3,5 : 4x = 1,2 : 6,4 d) 3
2 x +3=
5
3 x −2
e) 31 −2 x
x+23 =
9
3 x+2
5 x +7=
3 x − 1
5 x − 3
g) x+3
8 =
2
x − 3
Dạng 2: Chứng minh các tỉ lệ thức
Chơng III
Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác
Các đờng đồng quy trong tam giác
A-x > -yMục tiêu
I-x > -yKiến thức trọng tâm cần khắc sâu
-x > -yQuan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
-x > -yQuan hệ giữa đờng vuông góc-x > -yđờng xiên, đờng xiên-x > -yhình chiếu, bất đẳng thức tam giác
-x > -yTính chất tia phân giác của một góc, trung trực một đoạn thẳng
-x > -yTính chất 3 trung tuyến-x > -yphân giác-x > -ytrung trực-x > -yđờng cao trong tam giác
II-x > -yKĩ năng cần rèn cho học sinh
-x > -yKĩ năng chứng minh về quan hệ >, < của góc, cạnh
-x > -yKĩ năng vận dụng tính chất các đờng đặc biệt trong tam giác
-x > -yPhát triển, hoàn thiện kĩ năng chứng minh hình cho học sinh
III-x > -yKiến thức cần bổ sung
-x > -yVới 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + BC AC, dấu “=” xảy ra B [AC] -x > -y2 phân giác ngoài và phân giác trong (của đỉnh còn lại) của một tam giác đồng quy
-x > -yQuan hệ về góc và cạnh đối diện trong hai tam giác có 2 cặp cạnh bằng nhau -x > -yPhơng pháp tìm cực trị hình học
B-x > -yBài tập
I-x > -yQuan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
-x > -yKĩ năng cần rèn cho học sinh
Chứng minh về quan hệ >, < về góc và cạnh trong tam giác, kẻ thêm đờng phụ Bài 1 Cho tam giác ABC có AB < AC Phân giác các góc B và góc C cắt nhau ở
I Chứng minh rằng: BI < CI
Hớng dẫn: Tam giác BIC, góc B > góc C BI < CI
Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A, D là một điểm thuộc miền trong tam giác sao cho góc ADB > góc ADC Chứng minh rằng: BD < CD
Hớng dẫn: Kẻ tia Ax thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B sao cho góc xAC = góc BAD, lấy E sao cho AE = DA suy ra tam giác ABD = tam giác
Trang 5ACE, suy ra gãc ADB = gãc AEC, CE = BD, tam gi¸c CDE suy ra CD > CE suy
ra CD > BD