Điểu khiển hạ độ cao vật bay sử dụng lý thuyết mờ và đại số gia tử

Một trong những vấn đề thường gặp đối với các hệ thống điều khiển đang được sử dụng rất rộng rãi hiện nay là bài toán điều khiểnbám theo quỹ đạo cho trước với sai số nhỏ nhất.. Trong nhữ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi tổng hợp và thực hiện Các kết quả phântích hoàn toàn trung thực, nội dung bản thuyết minh chưa được công bố Luận văn có

sử dụng các tài liệu tham khảo đã nêu trong phần tài liệu tham khảo

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hoa

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Vũ Như Lân đã hướng dẫn tận

tình, chỉ bảo cặn kẽ để tôi hoàn thành luận văn này Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy giáo, cô giáo Khoa Công nghệ tự động hóa đào tạo sau đại học và các bạn đồng nghiệp Trường Đại học CNTT&TT- ĐHTN

Bắc Ninh, ngày tháng 11 năm 2020

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hoa

(Đại số gia tử) Fuzzy Conditional(Điều khiển mờ)Quantitative semantic mapping(Ánh xạ ngữ nghĩa định lượng)Hedge Algebra Fuzzy Control(Điều khiển mờ dựa trên Đại số gia tử)Semantic Associative Memory

L, M, S, NZ Large, Medium, Small, Near Zero

UL, US, Z, DS, DL Up Large, Up Small, Zero, Down Small, Down Large

viii

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay, cùng với sự phát triển của các ngành kỹ thuật, công nghệ thông tingóp phần cho sự phát triển của kỹ thuật điều khiển và tự động hoá Trong công nghiệp,điều khiển quá trình sản xuất đang là mũi nhọn và then chốt để giải quyết vấn đề nângcao năng suất và chất lượng sản phẩm Một trong những vấn đề thường gặp đối với các

hệ thống điều khiển đang được sử dụng rất rộng rãi hiện nay là bài toán điều khiểnbám theo quỹ đạo cho trước với sai số nhỏ nhất

Trong quá trình điều khiển trên thực tế, người ta luôn mong muốn có một thuật toánđiều khiển đơn giản, dễ thể hiện về mặt công nghệ và có độ chính xác càng cao càngtốt Đây là những yêu cầu khó thực hiện khi thông tin có được về tính điều khiển được

và về mô hình động học của đối tượng điều khiển chỉ được biết mơ hồ dưới dạng trithức chuyên gia theo kiểu các luật IF – THEN Để đảm bảo độ chính xác cao trong quátrình xử lý thông tin và điều khiển cho hệ thống làm việc trong môi trường phức tạp.Hiện nay một số kỹ thuật mới được phát hiện và phát triển mạnh mẽ đã đem lại nhiềuthành tựu bất ngờ trong lĩnh vực xử lý thông tin và điều khiển Trong những năm gầnđây, nhiều công nghệ thông minh được sử dụng và phát triển mạnh trong điều khiểncông nghiệp như công nghệ nơron, công nghệ mờ, công nghệ tri thức, giải thuật ditruyền, … Những công nghệ này phải giải quyết với một mức độ nào đó những vấn đềcòn để ngỏ trong điều khiển thông minh hiện nay, đó là hướng xử lý tối ưu tri thứcchuyên gia

Lý thuyết đại số gia tử được hình thành từ những năm 1990 [1, 2] Ngày nay lý thuyếtnày đang được phát triển và một trong những mục tiêu của nó là giải quyết bài toán suyluận xấp xỉ và ứng dụng trong lĩnh vực công nghệ thông tin và điều khiển

Trong lôgic mờ và lý thuyết mờ [8], nhiều khái niệm quan trọng như tập mờ, T-chuẩn,S-chuẩn, phép giao mờ, phép hợp mờ, phép phủ định mờ, phép kéo theo mờ, phép hợpthành, … được sử dụng trong bài toán suy luận xấp xỉ Đây là một điểm mạnh có lợicho quá trình suy luận mềm dẻo nhưng cũng là một điểm yếu bởi có quá nhiều yếu tốảnh hưởng đến tính chính xác của quá trình suy luận Trong khi đó suy luận xấp xỉ dựatrên

Luận văn này cho thấy rằng có thể sử dụng công cụ đại số gia tử cho nhiều lĩnh vựccông nghệ khác nhau và một trong những số đó là công nghệ điều khiển trên cơ sở trithức chuyên gia [4, 5, 6, 7].

Phần nội dung của bản luận văn gồm 3 chương được trình bày trên quan điểm ứngdụng:

- Chương I nêu các vấn đề cơ sở của lý thuyết mờ, lôgic mờ và lý thuyết Đại số gia tử(ĐSGT), những kiến thức cần thiết tối thiểu cho bài toán điều khiển dưới dạng tóm tắtnhằm triển khai ứng dụng trong các chương II và chương III

- Chương II đề cập chung tương đối ngắn gọn vấn đề điều khiển mờ sử dụng mô hìnhMamdani và điều khiển sử dụng mô hình ngữ nghĩa của ĐSGT

- Chương III tập trung giải quyết bài toán ứng dụng cụ thể hai mô hình đã trình bàytrong chương II cho bài toán điều khiển hạ độ cao vật bay Từ đó thấy rõ tính ưu việtcủa tiếp cận ứng dụng ĐSGT so với tiếp cận mờ truyền thống trong bài toán hạ độ caovật bay nêu trên qua 4 chu kỳ điều khiển

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Lý thuyết mờ và logic mờ trong lĩnh vực điều khiển

Ngày nay luôn có sự đòi hỏi phải có những phương pháp xử lý thông tin ngàymột thông minh hơn Trong các bài toán điều khiển, mô hình của đối tượng điều khiểnkhông phải lúc nào cũng có thể biết chính xác Vì vậy cần phải xây dựng được cácthuật toán điều khiển mềm dẻo cho phép phát huy được sức mạnh vốn có của các thuậttoán điều khiển truyền thống và đặc biệt cho phép sử dụng được nguồn tri thức giàutính chuyên gia trong những tình huống điều khiển phức tạp Đó là lý do người ta cầntới lý thuyết mờ và logic mờ Bởi vì sự có mặt của logic mờ làm cho việc xử lý thôngtin trở lên mềm dẻo hơn Viên gạch đặt nền móng cho lý thuyết mờ và logic mờ làBiến ngôn ngữ

1.1.1 Biến ngôn ngữ

Biến ngôn ngữ là một loại biến mà giá trị của nó không phải là số mà là từ haymệnh đề dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên Biến ngôn ngữ được định nghĩa là một bộ 5thành phần sau đây:

< n , T(n) , U , G , M > (1.1)

Trong đó:

n - Tên biến ngôn ngữT(n) - Tập các giá trị của biến ngôn ngữ

U - Tập nền mà trong đó tạo nên các giá trị có trong T(n)

G - Luật syntatic tạo nên các giá trị của biến ngôn ngữ

M - Luật semantic cung cấp các ý nghĩa cho các giá trị của biến ngôn ngữ

Ví dụ: Biến ngôn ngữ “Học lực”

n = Học lựcT(n) = {Kém, Yếu, Trung bình, Khá, Giỏi}

U = [0, 10] - thang điểm đánh giá

G = Nếu điểm đánh giá u là n thì học sinh có học lực như sau:

Kém với hàm thuộc kém(u)Yêú với hàm thuộc yêú (u)Trung bình với hàm thuộc trung bình trungbinh(u)Khá với hàm thuộc khá (u)

Giỏi với hàm thuộc giỏi (u)

M()(u)={u, ()(u)| u ∈ U = [0,10],  ()(u): U [0,1]} (1.2)

Với () = Kém(hoặc Yếu, Trung bình, Khá, Giỏi)

Cụ thể:

Hình 1.1: Biểu diễn biến ngôn ngữ

1.1.2 Các khái niệm cơ bản về logic mờ

Lý thuyết tập mờ, logic mờ được đưa ra từ năm 1965 nhờ thiên tài L.A Zadeh.Nhưng phải đến những thập niên cuối của thế kỷ XX lý thuyết tập mờ, logic mờ mớiđược đặc biệt quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào trong lý thuyết điều khiển, hệthống và trí tuệ nhân tạo Tập mờ và logic mờ dựa trên các suy luận của con người vềcác thông tin không đầy đủ để hiểu biết và điều khiển hệ thống Ứng dụng thành côngđầu tiên của lý thuyết mờ và logic mờ là điều khiển mờ Điều khiển mờ chính là quátrình mô phỏng cách xử lý thông tin và điều khiển của con người đối với các đối tượng

và đã giải quyết thành công rất nhiều vấn đề điều khiển phức tạp mà trước đây chưagiải quyết được

a Định nghĩa tập mờ

Như vậy tập rõ kinh điển A có thể định nghĩa theo kiểu tập mờ như sau:

A={(x,x x ∈ X, A(x):X  {0,1}} (

1.4)

Có nghĩa là A(x) chỉ là hai giá trị 0 và 1

Có thể biểu diễn tập mờ A dưới dạng:

b Các khái niệm phục vụ tính toán

- Giá đỡ:

Giá đỡ: Supp(A) của X được gọi là giá đỡ cả A nếu và chỉ nếu:Supp(A)={x ∈ X: A(x)>0} (1.7)

Như vậy Supp(A) X

Hình 1.3: Biểu diễn giá đỡ

-  -Cut: Ký hiệu L A của X được gọi là -Cut nếu và chỉ nếu

LA={x∈X:A(x) }

(1.8) Khi  =0, Lo=Supp(A)

Hình 1.4: Biểu diễn  -Cut

- Lồi (Convex):

Tập mờ A là lồi nếu và chỉ nếu

Ví dụ một số phép tính số học cơ bản:

Cho A và B là 2 tập mờ trên cùng tập nền X

a) Algebraic Sum: Tổng đại số (mờ) A+B

b) A+B=(x, A+B(x)|x X, A+B(x)= A(x)+ B(x)- A(x) B(x) (1.14)c) Algebraic Product: Tích đại số (mờ) A.B

A.B =(x, A.B(x)|x X, A.B(x) = A(x) B(x) (2.15)

d) Bounded Product : Tích giới nội (mờ) A o B

A B =(x, A B(x)|x X, A B(x) = max{0, A(x) - B(x) }} (2.16)e) Bounded Sum: Tổng giới nội (mờ) A B

A B =(x, A B(x)|x X, A B(x)

= max{1, A(x)+ B(x) }} (2.17)f) Ordering of A and B: Thứ tự của A và B

Nhận xét: có nhiều hàm thuộc B(x) tùy thuộc vào định nghĩa phép biến đổi các hàm thuộc A(x), B(x).

Hàm S biến đổi các hàm thuộc của tập mờ A và B thành hàm thuộc Hợp của

A và B được gọi là S-chuẩn(S-norm) hay T-đồng chuẩn(T-norm)

Hàm S:[0,1] x [0,1] [0,1] là S-norm nếu và chỉ nếu T thỏa mãn với các hàmthuộc a,b,c[0,1]

Điều kiện biên:

- Bù mờ:

T[A(x), B(x)]=B(x)] (1.21)

Cho tập mờ A với hàm thuộc A, B(x) tương ứng Tập bù mờ của A là tập mờ

AC với hàm thuộc C(x) nhận được từ phép biến đổi C dưới đây:

C[A(x)]=A(x) (1.23)Trong đó:

C[A(x)]  [0,1] là hàm bù mờ biến đổi hàm thuộc của tập A sang hàm thuộccủa tập bù mờ của A

Hàm C được gọi là hàm bù mờ hay phủ định mờ nếu và chỉ nếu thỏa mãn các tiên đề sau với các hàm thuộc a,b,c[0,1]

1 C(a)  C(b)

a b

2 C(C(a))

=a

3 Điều kiện biên: C(0) = 1; C(1) = 0

- Tham số hoá các hàm T - norm, hàm S - norm và hàm Bù mờ C:

Để có thể cụ thể hóa dạng hàm T-norm, hàm S-norm và hàm Bù mờ, cần phảitham số hóa các hàm thuộc trên Việc tham số hóa nhằm mục đích phục vụ cho cácứng dụng khác nhau Dưới đây là ví dụ vài phép T-norm, S-norm và phép Bù mờđược

Bảng 1.1: Một vài phép kết nhập với các hàm thuộc a,b

[0,1]

Trong đó:

Hoặc có thể sử dụng:

(1.24) (1.25)(1.26) (1.27)

(1.28)(1.29)

Vλ (a,b) = max(a,b) + (1 – ) min(a,b); m [0,1]

( , + ); 0

(1.34)(1.35)

(Giao mạnh nhất) (Hợp mạnh nhất)Hình 1.5: Phạm vi các phép kết nhập theo tham số

- Tích đề các mờ (phép toán cho phép ghép nhiều tập mờ):

Giả sử:

X1,X2,…,Xn là các tập nền(tập rõ) với tích Đề các rõ X1xX2x…xXn

A1,A2,…,An là các tập mờ tương ứng của chúngKhi đó tích Đề các mờ (fuzzy cartesion product) của A1, A2, ,An được định nghĩa là tập mờ sau đây:

1xA2x…An(x1,x2,…,xn) = min {xxAn(xn} (1.36 b)

Với * là T-norm.

- Quan hệ mờ:

X1,X2,…,Xn là các tập nền được tham chiếu đến từ các tập mờ A1,A2,…,An

tương ứng Khi đó quan hệ mờ R=R(A1,A2,…,An) được định nghĩa là tập mờ sauđây: R={(( x1,x2,…,xn),  (x1,x2,…,xn))/ ( x1,x2,…,xn) X1xX2x…xXn, ), R

(x1,x2,…,xn): X1xX2x…xXn  [0,1]} (1.37)

Quan hệ rõ Quan hệ mờ

R(A,B) = “x gần bằng y” với R(A,B)(x,y) = min(A(x),B(y))

0.2 0.2 0.2 0.0

Hình 1.7a: Tích đề các rõ

Hình 1.7b: Tích Đề các mờ

- Nguyên lý mở rộng:

Nguyên lý mở rộng cho phép mờ hóa các hàm toán học với các đối số của hàm

là tập mờ Cho X là tập nền, A là tập mờ của tập nền X, hàm f: XY với hàm y = f(x) là

hàm rõ, trong đó xX, yY Nguyên lý mở rộng cho phép chuyển tính mờ A của X sangtập mờ B của Y theo phép chuyển B = f(A) ở đây:

B== {(y,B(y)/ yY, B(y):Y  [0,1]} (1.38)Nếu f là đơn trị và tồn tại f1(y), thì:

B(y) = fy) = f1(y))= a(x)/x = f1(y) (1.39)Nếu f là đơn trị và tồn tại f1(y), thì:

B(y) = max A(x) (1.40) X f1(y)

B =f(A) qua biểu thức:

Với (y) = Sup min {xxAn(xn}

Trước hết xét modus ponens truyền thống

Giả thiết: (Sự kiện) A

Luật: A  B (nếu A thì B)

Kết luận: B = dễ đỗ đại học

Bảng 1.3 Bảng chân lý với logic 2 trị

A B

Ví dụ: sự kiện A’ = Học khá; A=Học giỏi; B=dễ đỗ đại học

Luật: Nếu học giỏi(A) thì dễ đỗ đại học (B)

Kết luận: B’ = vẫn có thể trượt(Nếu học khá(A’) thì vẫn có thể trượt(B’))Bảng 1.4 Bảng chân lý với logic mờ

Giả sử: A là tập mờ trên X với (x); B là tập mờ trên Y với (y) và R là quan

hệ mờ trên XxY-tích Đề các mờ với R(x,y) = min {(x) ,(y)}

Có thể xác định được B (nếu cho A và R) như sau:

B=A o R trong đó: o phép hợp thành(composition)

(y) =max{min{(y),R(x,y)}} (1.42)

Mô hình mờ dạng đơn giản hay còn gọi là mô hình SISO (Single Input SingleOutput) là tập các luật mà trong đó mỗi luật chỉ chứa một điều kiện và một kết luậnđược cho như sau:

if X = A1 then Y = B1

if X = A2 then Y = B2 (1.43)

if X = A n then Y = B n trong đó X, Y là các biến ngôn ngữ thuộc không gian U, V tương ứng và các giá trị ngôn ngữ A1, A2,…, A n , B1, B2, …, B n là các tập mờ

Tuy nhiên, trong một số lĩnh vực, chẳng hạn như trong điều khiển mờ, sự phụ thuộc giữa các biến vật lý không chỉ biểu diễn ở dạng đơn giản như mô hình trên mà nó bao gồm

nhiều điều kiện ràng buộc Vì vậy, một mô hình mờ ở dạng tổng quát là một tập cácluật

(mệnh đề If-then) mà phần tiền đề của mỗi luật là một điều kiện phức được viết nhưsau:

If X1 = A11 and and X m = A 1m then Y = B1

If X1 = A21 and and X m = A 2m then Y = B2

(1.44)

If X1 = A n1 and and X m = A nm then Y = B n

ở đây X1, X2, …, X m và Y là các biến ngôn ngữ, A ij , B i (i = 1,…, n; j = 1,…, m) là các

giá trị ngôn ngữ tương ứng

Hầu hết các ứng dụng trong hệ chuyên gia mờ, phân cụm mờ, điều khiển mờ,… liênquan đến việc suy diễn thì mô hình mờ là một phần không thể thiếu và do vậy các ứngdụng này luôn gắn liền với các phương pháp giải quyết bài toán lập luận xấp xỉ đa điềukiện Bài toán lập luận xấp xỉ mờ đa điều kiện, được phát biểu như dưới đây:

Cho mô hình mờ (1.44) và các giá trị ngôn ngữ A01, A02, …, A 0m tương ứng với các biến

ngôn ngữ X1, X2, …, X m Hãy tính giá trị của Y.

Có nhiều phương pháp để giải quyết bài toán này

1.2.2 Phương pháp lập luận mờ đa điều kiện

Từ những năm 70 của thế kỷ trước các phương pháp lập luận xấp xỉ đã đượcphát triển mạnh mẽ và được ứng dụng nhiều trong thực tiễn Một số phương pháp lậpluận mờ đa điều kiện (Fuzzy Multiple Conditional Reasoning) nhằm giải quyết bàitoán lập luận mờ đa điều kiện sau:

Dựa trên cách tiếp cận của lý thuyết tập mờ, các phương pháp lập luận mờ đa điều kiệnnói chung dựa trên ý tưởng sau:

Ngữ nghĩa của các giá trị ngôn ngữ của các biến ngôn ngữ trong mô hình mờ được biểuthị bằng các tập mờ.

Kết nhập các đầu vào của các luật mờ trong mô hình (nếu n > 1) để chuyển mô hình mờ

về mô hình đơn điều kiện

Từ các luật mờ dạng if – then xây dựng quan hệ mờ tương ứng bằng các phép kéo theoXây dựng quan hệ mờ tổng hợp từ các quan hệ mờ trên Khi đó mỗi mô hình mờ sẽ

được mô phỏng bằng một quan hệ mờ hai ngôi R.

Khi đó ứng với vectơ đầu vào A 0 , giá trị của biến đầu ra được tính theo công thức B 0 =

- Lựa chọn tập mờ (bài toán xây dựng các hàm thuộc)

- Bài toán lựa chọn phép kết nhập (bài toán chuyển mô hình đa điều kiện về môhình đơn điều kiện)

- Xây dựng quan hệ mờ mô phỏng tốt nhất mô hình mờ (bài toán lựa chọn phép kéo theo)

- Khử mờ (bài toán lựa chọn phương pháp khử mờ)

- Luật hợp thành (max-min, min-max, t-norm, s-norm, …)

Đó chính là những khó khăn không nhỏ khi xây dựng phương pháp giải bài toán lập luận mờ đa điều kiện

1.3 Lý thuyết Đại số gia tử ( tóm tắt )

1.3.1 Giới thiệu

Đại số gia tử (HA) là một lý thuyết được phát minh từ năm 1990 Các tác giảcủa HA đã phát hiện ra rằng: các giá trị ngôn ngữ của biến ngôn ngữ có thể tạo thànhmột cấu trúc đại số và nó là một cấu trúc đại số gia tử đầy đủ (Complete HedgeAlgebras Structure) với một tính chất chính là thứ tự ngữ nghĩa của các giá trị ngônngữ luôn được đảm bảo Thậm chí nó là một cấu trúc đại số đủ giàu và vì thế nó cóthể mô tả đầy đủ các quá trình suy luận xấp xỉ, định tính HA có thể được coi như mộtcấu trúc toán học có thứ tự của các tập hợp ngôn ngữ, quan hệ thứ tự của nó được quyđịnh bởi nghĩa của các nhãn ngôn ngữ trong những tập hợp này Nó chỉ ra rằng mỗi tậphợp ngôn ngữ có sẵn quan hệ thứ tự được gọi là quan hệ thứ tự ngữ nghĩa Lý thuyếtnày đã được các tác giả phát triển và ứng dụng chủ yếu trong lĩnh vực khai phá dữ liệu,

cơ sở dữ liệu mờ và điều khiển

Trong năm 2008, HA bắt đầu được áp dụng vào điều khiển mờ và đưa ra các kết quảtốt

hơn nhiều so với FC

1.3.2 Ý tưởng và các công thức cơ bản của HA

Trong mục này, ý tưởng và các công thức cơ bản của HA được tóm tắt như sau:

Theo nghĩa của các nhãn ngôn ngữ có thể thấy rằng Vô cùng nhỏ < Rất nhỏ < nhỏ <

Hơi

nhỏ < Hơn lớn < lớn < Rất lớn < Vô cùng lớn Như vậy, chúng ta có một quan điểm

mới: tập hợp ngôn ngữ có thể mô hình hóa bằng một poset (partially ordered set – tập

hợp có thứ tự), một cấu trúc có thứ tự dựa trên các ngữ nghĩa

Cách thiết lập cấu trúc này được giải thích qua ví dụ ở phần dưới đây

Ví dụ có thể xem BIÊN ĐỘ DAO ĐỘNG trong cơ học là một biến ngôn ngữ và X là

tập hợp các giá trị ngôn ngữ của nó Giả thiết rằng các gia tử ngôn ngữ được sử dụng đểbiểu

diễn BIÊN ĐỘ DAO ĐỘNG gồm Vô cùng, Rất và Hơi, và các phần tử sinh là nhỏ và

lớn Như vậy, X ={Vô cùng nhỏ, Rất nhỏ, nhỏ, Hơi nhỏ, Hơn lớn, lớn, Rất lớn, Vô cùng lớn }  {0, W, 1} là một tập hợp giá trị ngôn ngữ của BIÊN ĐỘ DAO ĐỘNG, trong

đó 0, W và 1 tương ứng là những phần tử đặc trưng cận trái (Tuyệt đối nhỏ), trung hòa

và cận phải (Tuyệt đối lớn).

Tập hợp ngôn ngữ X có thể sắp xếp thứ tự dựa trên những quan sát sau:

- Mỗi phần tử sinh có một dấu thể hiện xu hướng ngữ nghĩa Ví dụ, lớn có một xu hướng “đi lên”, được gọi là xu hướng dương, và nó được ký hiệu là c + , trong khi nhỏ

có một xu hướng “đi xuống”, được gọi là xu hướng âm, được ký hiệu là c Nhìn

chung, về mặt ngữ nghĩa chúng ta luôn có c +  c

- Mỗi gia tử cũng có một dấu Nó là dương nếu nó tăng xu hướng ngữ nghĩa của các phần tử sinh và âm, nếu nó làm giảm xu hướng này Ví dụ, Vô cùng là dương với tất cả các phần tử sinh, trong khi Hơi gây ra hiệu ứng ngược lại nên nó là âm Tập hợp các gia tử âm được ký hiệu là H và H + là tập hợp các gia tử dương của BIÊN ĐỘ DAOĐỘNG

Tập hợp ngôn ngữ X có thể được coi là một đại số trừu tượng (abstract algebra) AX = (X, G , C , H, ), trong G = {c, c +}, C = {0, W, 1}, H = H +  H và  là một quan

hệ thứ tự trên X Giả thiết rằng H = {h -1 , , h -q }, trong đó h -1 < h -2 < < h -q , H + =

{h1, ,

h p }, với h1< h2 < < h p

Độ đo tính mờ của các phần tử sinh và các gia tử trong tập hợp ngôn ngữ được định

nghĩa như sau : fm: X  [0, 1] được gọi là một độ đo tính mờ của các phần tử trong

X

nếu:

fm(c)+fm(c + ) = 1 và h H fm(hx) = fm(x), với x  X; (1.45)

Với các phần tử 0, W và 1, fm(0) = fm(W) = fm(1) = 0; (1.46)