chuyên đề luyện tập tư duy vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

CHUYÊN ĐỀLUYỆN TẬP TƯ DUY VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Người thể hiện: Nguyễn Thị Kim Nhung... Vì vậy tôi đã suy nghĩ và

UBND HUYỆN NGHI XUÂN TRƯỜNG THCS TIÊN YÊN

TỔ TOÁN - LÝ

“NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG

QUÝ THẦY CÔ VỀ DỰ

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ”

CHUYÊN ĐỀ

LUYỆN TẬP TƯ DUY VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT

SỐ BÀI TOÁN HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG

TAM GIÁC VUÔNG

Người thể hiện: Nguyễn Thị Kim Nhung

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn chuyên đề

Trong chương trình toán THCS có nhiều lý thuyết được sử dụng trình bày nên nhiều lời giải hay, giải được nhiều bài toán khó Học sinh THCS thường thích học Đại số hơn học Hình học Các em tiếp cận với hình học thường hay ngại khó, bên cạnh đó nắm lý thuyết không chắc chắn và trình bày thiếu tính khoa học.

Đặc biệt với hình học 9, với những bài tương đối dài trong giờ lý thuyết, giáo viên và học sinh phải thật nỗ lực mới hoàn thành công việc nắm kiến thức cơ bản Nói gì đến việc vận dụng thành thạo và nâng cao kiến thức trong quá trình 45’ tại lớp

Vì vậy tôi đã suy nghĩ và tìm tòi những bài toán để đưa ra vận dụng có hệ thống, để học sinh dễ nắm bắt, dễ phát huy được năng lực của mình bằng cách qua các câu hỏi từ dễ đến khó để khắc sâu lý thuyết được học, học sinh vận dụng thành thạo các lý thuyết được học từ những bài toán thuận, bài toán đảo, thêm bớt giả thiết,

Vì vậy tôi đã chọn đề tài “ Luyện tư duy vẽ thêm yếu tố phụ để giải

một số bài toán hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông”.

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu :

- Chương trình hình lớp 8, 9

- Sách giáo khoa lớp 8, 9

- Sách nâng cao phát triển Toán 9

3 Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu:

Hướng dẫn học sinh phương pháp tìm tòi, khai thác và phát triển một số bài toán Từ đó học sinh biết hệ thống các bài tập, quy trình giải các dạng bài tập đó Tìm hiểu những vướng mắc, khó khăn, hạn chế trong quá trình giải toán của học sinh lớp 8, 9 để tìm ra biện pháp giúp học sinh khắc phục khó khăn

và gây hứng thú trong học tập cho học sinh

Với suy nghĩ giúp các em tìm tòi, phát hiện tạo hứng thú

trong quá trình học Hình học

Tứ giác AEFD có nên là hình chữ nhật

Bài toán 1: Cho M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình

chữ nhật ABCD Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2

Gợi ý

Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lý Pi-ta-go

Vì lý do đó vẽ đường phụ qua M vuông góc với AB tại E và

ME cắt DC tại F Ta có MF  DC

Khi đó ta có các tam giác vuông

EAM, FMC, EBM, FMD và hai

GV Lưu ý : Các em hãy nghĩ xem trường hợp M nằm ngoài hình

chữ nhật thì điều đó có được ở trên có còn đúng không ?

Suy ra: EB = FC,

Tứ giác EBCF có nên là hình chữ nhậtE  = = = 90 B  C  0

Bài toán 2 : Cho tứ giác ABCD có

Chứng minh rằng AB2 + CD2 = AC2 + BD2

Gợi ý

Vì nên hai đường thẳng AD và BC cắt nhauGọi E là giao điểm của AD và BC

Từ đây ta có : Các tam giác EAB,

ECD, EAC, EBD đều vuông tại E, áp dụng định

lý Pi-ta-go vào các tam giác này sẽ cho ta kết

quả cần chứng minh

Điểm E là điểm cần vẽ thêm

Chứng minh

Ta có: , nên hai đường thẳng AD và

BC cắt nhau Gọi E là giao điểm của AD và BC

Vì :  ECD có Nên:

Các tam giác EAB, ECD, EAC và EBD vuông tại E

nên theo định lý Pi-ta-go, ta có:

a) Vẽ đường AH  DC, BK  DC, H  DC, K  DC

Dễ thấy tứ giác ABKH là hình chữ nhật nên : HK = AB

HAD có , theo định lý Pi-ta-go ta có:

AD2 = HA2 + HD2

HAC có , theo định lý Pi-ta-go ta có:

AC2 = HA2 + HC2

Do đó: AC2 – AD2 = HC2 – HD2 = (HC + HD) (HC – HD) = CD(HC – HD)

Chứng minh tương tự cũng có BD2 – BC2 = CD (KD – KC)

Do đó: AC2 – AD2 + BD2 – BC2 = CD(HC – HD + KD – KC) (AC2 + BD2) – (AD2 + BC2)

b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:

(AC2 + BD2) – (AD2 + BC2) = 2HK CD (*)

Mà HK  AB nên 2HK CD  2AB CD

Nên AC2 + BD2  AD2 + BC2 + 2AB CD

(*) vẫn đúng khi ABCD là hình thang (AB//DC)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB//CD, hay tứ giác ABCD là hình thang

Bài toán 4: Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ một cát tuyến bất

kỳ cắt các cạnh BC và CD hoặc đường thẳng chứa các cạnh đối tại các điểm E và F

Chứng minh rằng:

Gợi ý

Đẳng thức cần chứng minh gợi ta nhớ đến

công thức:

Do vậy tìm một tam giác vuông có hai

cạnh góc vuông bằng AE, AF và có đường

cao bằng AD Điểm G thuộc DC sao cho

Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với AF và cắt DC tại G.

Bài toán 5: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, AH

là đường cao.Cho biết BH = a; HC = b

Yếu tố phụ cần vẽ thêm là đường trung

tuyến AM của ABC

2

b a

ab  

AH = ab

a + b = BC

Chứng minh

Vẽ đường trung tuyến AM của hai tam giác ABC

Tam giác ABC vuông tại A

Mà : AH là đường cao, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

2



Bài toán 6: Cho tam giác cân ABC, Â = 200,

Do đó :

ABE vuông tại E có nên là nửa tam giác đều

Suy ra:

ABE vuông tại E, nên theo định lí Pi-ta-go ta có:

ADE vuông tại E, nên theo định lí Pi-ta-go ta có:

Bài toán 7: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có đường cao

bằng 4cm, đường chéo BD = 5cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau

Tính diện tích hình thang ABCD

Gợi ý

Chỉ cần tính được độ dài AC thì tính được

diện tích ABCD vì tứ giác ABCD có

AC  BD

Ta nhận ra rằng đường phụ BE //AC,

E  DC giúp ta tính được AC

Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có góc A nhọn, đường

cao BH

Chứng minh rằng:

Gợi ý

Chọn điểm phụ D là điểm đối xứng của C

qua A, ta có tam giác BDC vuông tại B

Trong BDC ta có BH là đường cao

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao

trong tam giác vuông ta sẽ tìm ra lời giải

của bài toán

Bài toán 9: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao

AH Lấy D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của tia HA sao cho

lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông HEB,

FDE, HAB, FAD, ABD ta sẽ chứng minh

Bài toán 10: Cho tam giác ABC, D là điểm thuộc cạnh BC.

Chứng minh rằng: AB2 CD + AC2 BD - AD2 BC = CD BD BC

Bài toán 11: Cho hình thoi ABCD với  = 1200 Tia Ax tạo với tia ABgóc Bax bằng 15 0 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng:

Gợi ý

Bài toán đầu bài gợi ta đến công thức :

Điều này cho ta nghĩ đến vẽ đường phụ AE  AN (E  DC) và

AH  DC (H  DC)

Tam giác AEN vuông tại A, AH là đường cao, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Ta có:

Nếu chứng minh được:

Thì ta tìm ra lời giải bài toán

Bài toán 12: Cho hình vuông ABCD Lấy O thuộc miền trong

của hình vuông sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3

Tính số đo góc AOB

Gợi ý

Sau khi vẽ hình ta dự đoán

Ta vẽ tia OE sao cho và chỉ còn chứng

minh

Tuy nhiên phải vẽ được điểm E sao cho BEO

vuông cân đỉnh B thì mới tìm được lời giải của

Bài toán 13: Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a; AC = b;

AB = c và các đường cao tương ứng lần lượt là ha hb hc

Bài toán 14: hình thang ABCD vuông

góc tại A, đáy nhỏ AB Biết BC = 13;

CD = 14; BD = 15

Tính: a) Độ dài đoạnthẳng AB, AD

b) Diện tích hình thang ABCD

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài toán 15: Đường trung tuyến

ứng với cạnh huyền của một tam

giác vuông dài 25cm Tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên

cạnh huyền là 16 : 9 Tính độ dài

hai góc vuông

+ Tập cho học sinh tự kiểm tra lại kết quả một cách chính xác Khuyến khích học sinh tự nêu những hạn chế trong bài của mình hoặc của bạn.

+ Yêu cầu HS thực hiện nhiều bài tập có tính ứng dụng thực tế cao