36 bài tập trắc nghiệm về Giới hạn dãy số Toán 11 có đáp án chi tiết

Chọn C. Đây là một bài toán chứa tham số. Vì là bài toán trắc nghiệm nên có một cách là cho và các giá trị cụ thể, rồi sử dụng MTCT để tìm giới hạn, từ đó tìm được đáp án đúng. Chẳ[r]

Trang 1

36 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

TOÁN 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1 Tìm limu biết n

2 1

1

n n k

u







Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

, 1, 2, , 1

1

n

u

Mà

lim lim 1

1

  nên suy ra limu n 1

Câu 2 Tìm limu biết n

dau can

2 2 2

n n

Hướng dẫn giải Chọn C

1

2

n n

n

u

 



    

1 1 2

lim lim 2 2

n

u

 

  

Câu 3 Tìm giá trị đúng của

1 1 1 1

2 1

2 4 8 2n

2

Ta có: 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2

1

2 4 8 2 1

2

n

Câu 4 Tính giới hạn

hạn

Hướng dẫn giải Chọn B

Trang 2

Đặt :

 



A

n n

1 1 1 1 1

1

2 2 3 1

      



n n

1 1

n

 

lim lim lim 1

1 1.2 2.3 1 1 1

n

Câu 5 Tính

1.3 3.5 n 2n 1

3 D 2

Đặt

 

A



 

2

1.3 3.5 2 1

1 1 1 1 1 1 1

3 3 5 5 7 2 1

1 2

2 1

2 1 2 1

2 1

A

n n

A

n A

n A n



 



Nên

 

lim lim lim

1 1.3 3.5 2 1 2 1 2

2

n

Câu 6 Tính giới hạn:

A 3

4 B 1 C 0 D

2

3

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có :

1 1 1 1 1 1 1 1 lim 1

2 3 2 4 3 5 2



1 1 1 3 lim 1

2 2 2 4



Câu 7 Tính giới hạn 1 1 1

1.4 2.5 n n( 3)

A 11

18 B 2 C 1 D

3

2

Trang 3

Cách 1:

2

lim

Cách 2: Bấm máy tính như sau: lim [ (n 1)( 2) ( ) ]

n x



thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn)

Câu 8 Tính giới hạn: 12 12 12

2 C

1

4 D

3

2

Cách 1:

n n



  

Cách 2: Bấm máy tính như sau: lim ( ) lim 1 2 1

n n



   và so đáp án (có thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn)

Câu 9 Tính giới hạn của dãy số

1 1 1 (1 )(1 ) (1 )

n

u

2

n

n n

3 D 1

( 1) ( 1)

k

Trang 4

Suy ra 1 2 lim 1

n



n

n u

n



3 D 1

Ta có

1 ( 1)[( 1) ( 1) 1]

Suy ra

2

 



1

2 1 2

n

k

k u





2 2 2 2 2 2

n

u  u        

1

1 3 2 1

lim 3

2 n 2 2n n

n

Câu 12 Tính giới hạn của dãy số 2

1

n n k

n u





2

1 0 lim 1

1

n

Câu 13 Tính giới hạn của dãy số 2

2 n

n

u  q q  nq với q 1.:

 2

1

q q

1

q q



Trang 5

Ta có: u nqu n  q q2q3  q nnq n1

1

1 (1 )

1

n n n

q





1

n

q u

q



Câu 14 Biết 13 23 333 3  

1

a b

2a b là:

2 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1

n

u

(k 1) k k k 1  k  k 1

1

n



3

( 1) 1 2

n

u



9 D 1

Ta có:

2

1 2

3

n n

Suy ra

2 3

lim

n n



Câu 17 Cho các số thực a,b thỏa a 1;b 1 Tìm giới hạn

2 2

lim



   

n n

I

1



b

Hướng dẫn giải

Trang 6

Chọn C

Ta có 1, ,a a2, ,a là một cấp số nhân công bội a n

1





n

a

Tương tự

1





n

b

Suy ra lim

1

1 1

lim

1





n n

a

b a

I

b

lim  lim  0

Câu 18 Cho dãy số (u n) được xác định bởi:

0

2011 1

n

u









3

limu n

n

Ta thấy u n 0, n

Ta có: 3 3

3 1 3

n n

     (1)

Suy ra: u3n u n31 3 u n3 u033n (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

Do đó: 3 3

1 1 1 1 3

3 9

n

Lại có: 2

1

1.2 2.3 ( 1)

n



2

Nên: 03 3 3 03 3 2 2

9 3

n

u  nu u  n 

Hay

n

Vậy

3

limu n 3

n 

Trang 7

Câu 19 Cho dãy số  u n được xác định bởi

 

1

3

2 1 n n 2

u





A limu n 1 B limu n 4 C limu n 3 D limu n 0

Câu 20 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi:

1

1 2 1

2

n

u



 









Tìm kết quả đúng của limu n

2

Ta có: 1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5 5.;

2 3 4 5 6

Dự đoán

1

n

n u n



 với

*

n

Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp

1 1

1

n

n u

n

Câu 21 Cho dãy số  u n thỏa mãn

1

2













n n

n

u

Tính u2018

A u2018 7 5 2 B u20182 C u2018  7 5 2 D u2018 7 2

Câu 22 Cho dãy số (x xác định bởi n) 2

1

2 n n n

x  x  x x  n

Đặt

n

S

   Tính limS n

Trang 8

Từ công thức truy hồi ta có: x n1 x n,  n 1, 2,

Nên dãy (x là dãy số tăng n) Giả sử dãy (x là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim n) x n x

1

0

xx    x x x vô lí

Do đó dãy ( )x không bị chặn, hay lim n x n  

Mặt khác:

1

1 1 1 1

( 1) 1

x   x x  x x

Suy ra:

1

1 1 1 1

x  x x 



Dẫn tới:

2 lim 2 lim 2

Câu 23 Cho dãy (x được xác định như sau: k) 1 2

k

k x

k

 Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

n

2012!



( 1)! ! ( 1)!

k

1 1 ( 1)!

k

x

k

 



0 ( 2)! ( 1)!

Mà: x2011n x1nx2n  x2011n  n2011x2011

Mặt khác: lim 2011 lim 2011 2011 2011 1 1

2012!

n

2012!

n

Câu 24 Cho dãy (x được xác định như sau: k) 1 2

k

k x

k

Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

n

2012!



Trang 9

( 1)! ! ( 1)!

k

1 1 ( 1)!

k

x

k

 

0 ( 2)! ( 1)!

Mà: 2011 n 1n 2n 2011n n2011 2011

Mặt khác: lim 2011 lim 2011 2011 2011 1 1

2012!

n

2012!

n

Câu 25 Cho hàm số f n a n 1 b n 2 c n3n *với a b c, , là hằng số thỏa mãn

0

a b c   Khẳng định nào sau đây đúng?

A lim   1

x f n

Câu 26 Cho a b,  , ( , ) 1;a b  nab1,ab2,  Kí hiệu r là số cặp số ( , ) n u v   sao cho

naubv Tìm lim n 1

n

r

n ab

ab D ab1 Hướng dẫn giải

Chọn C

Xét phương trình 0;n 1

n



  (1)

Gọi ( ,u v là một nghiệm nguyên dương của (1) Giả sử 0 0) ( , )u v là một nghiệm nguyên dương khác ( ,u v của (1) 0 0)

Ta có au0bv0 n au bv,  n suy ra a u u(  0)b v v(  0)0 do đó tồn tại k nguyên dương sao cho u u0 kb v,  v0 ka Do v là số nguyên dương nên 0

0

1

1 v

a



Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên dương

n

r



Trang 10

Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: 0 1 0 1

1

n

r

ab b   a ab b  a

n

abnbna n abnbnan

Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n 1

n

r

n ab

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +

9

cos 5 lim

x

x x  và so đáp án

Câu 27 Cho dãy số xác định bởi với mọi Gọi là tổng số hạng đàu tiên của dãy số Tìm

bội Gọi là tổng số hạng đầu tiên của

Bấm r, máy hỏi A? nhập , máy hỏi X? nhập , máy hỏi Y? Nhập , bấm = liên tiếp ta thấy giá trị của A ngày một tăng cao

Câu 28 Cho dãy số xác định bởi với mọi Tìm

Sử dụng MTCT

(u n) u13, 2u n1u n1 n1 S n n

(u n) limS n

1

2u n u n 1 1 1 1

2 2

 

1 2

1

1 1

n n

q





1 1 2 1 1 2

n

v

 

   



1

2 1

2

n

    

 

1

2 1

2

n

    

 

limSn  

1 1

2 2

A A X Y  X  X Y

2

n

u  u  u    

1

2

5 3

4 3

Trang 11

========================================

Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn ta được

Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng

trong đó là các số thực cho trước, Người ta chứng minh được rằng

Câu 29 Cho dãy số xác định bởi với mọi Tìm

Tuy nhiên đến đây ta không còn căn cứ để kết luận hay

Ta sử dụng MTCT tương tự như bài tập trên thì thấy rằng giới hạn của dãy số là Vậy chọn

Chọn B

Câu 30 Cho dãy số xác định bởi với mọi Khi đó bằng

Cách 1: Ta có

 

1, 6 1, 66666667 5

3



5 3

2

n n n

,

3

n

u  

n

u

1 lim

4

n

2

n

2

L

2L L

0 1 2

L









 



0

2

L

0

9

2

1, 706192802.10

X



(u n) u11,u n1u n2n1 n1 1

lim n n

u u





2

2 1 2.1 1 2

3 2 2.2 1 9 3

Trang 12

Dự đoán Khi đó Vậy

Cách 2: Sử dụng MTCT Nhập vào màn hình

QnQrQ)+2Qz+1QyaQnRQ)$QyQ)QrQnQyQzQrQz+1r1=1=

===================

Bấm r, máy hỏi X? nhập , máy hỏi A? nhập bấm = liên tiếp, theo dõi giá trị của , ta thấy giá trị đó dần về

Nhận xét: Ở bài này sẽ phải bấm phím = liên tiếp khá nhiều lần, do khi chưa đủ lớn thì

chênh lệch giữa và là khá xa nên giá trị của khá xa so với

Câu 31 Cho dãy số được xác định bởi với mọi , trong đó và

là các số thực cho trước, Tìm giới hạn của

Đây là một bài toán chứa tham số

Vì là bài toán trắc nghiệm nên có một cách là cho và các giá trị cụ thể, rồi sử dụng MTCT

để tìm giới hạn, từ đó tìm được đáp án đúng

nhau

Nhập vào màn hình:

QcQraQz+QxR2$QyQzQrQxQyQxQrQcr2=3======

======================================

=====================================

Dùng cách tìm dạng phân số của số thập phân vô hạn tuần hoàn , ta được Vậy giới hạn của dãy số trong trường hợp này bằng

2

n

1

n

u n  n

 2 1

2

1

n

n u

X

1

n

 2

1

2

1

n n



1

2

n

u a u b u    

1

3

n

u  

3

n

a b

2, 3

3 3

a b  2

7 3

, , ,

3 3

 

2, 6

3



8 3

Trang 13

Bổ sung: Cho dãy số được xác định bởi , , , trong đó

là các số thực cho trước, a) Chứng minh dãy là dãy giảm, còn dãy là dãy tăng

d) Chứng minh rằng có giới hạn và giới hạn đó là

Câu 32 Cho dãy số với , trong đó là tham số Để có giới hạn bằng 2 thì

giá trị của tham số là?

Thật vậy:

Câu 33 Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương và để:

Từ kết quả đã trình bày trong phần ví dụ, ta thấy cần phải nhân chia với biểu thức liên hợp Ta có:

2

n

,

2

2x n x n 2x x  n 1

3

a b

(u n)

2 2

5

n

u an

 



a

2

n

u

n

 



0

5

n

0

2

5

n

u

 

 limu n 2 4 2 a 2

lim( n an 5 n bn3)2 2

 

2

a b n

2

a b

n

 



2

a b

n an  n bn  

lim n an 5 n bn3 2

2

a b

Trang 14

Câu 34 Tìm các số thực và sao cho

( xem lại phần ví dụ )

Câu 35 Cho dãy số Biết với mọi Tìm

Ta có:

Suy ra Vậy

Ta có:

Do đó nên rất khó để sử dụng MTCT đối với bài toán này Ta có:

lim( 1n an b ) 0 1

0

a b

 



 



1 0

a b





 



1 1

a b

 



  



0 1

a b





 



3 3 

lim 1n an b 0 3 3 

lim 1

lim 1 n an

0

a

lim 1n n 0 b0

(u n)

2

1

2

n k k

u







1

1 n

k k n

u

nu 

1

 2   2  

1 1



3 3

n

 

2

1

2 3 3 2.3 2

n k k n

u





2 2 1

1 3 3 3 lim

5

k n

k k





   



17 100

17 200

1 8

1 1 2

1

3

1 3 3 3

k i k

i







1 1

3

k i

k

i











Trang 15

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,35 MB