Các dạng bài tập về Cấp số cộng Toán 11 có đáp án chi tiết

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]

Trang 1

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG

TOÁN 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG

Phương pháp:

 Dãy số ( )u n là một cấp số cộng u n1u n d không phụ thuộc vào n và d là công sai

 Ba số a b c, , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng   a c 2b

 Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai Do đó, ta thường biểu diễn giả

thiết của bài toán qua u và d 1

Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số 1;0; ;1; ; 1 3

1

1 2 1 2

  





 



u d

B. Dãy số 1 1; 2; 13;

2 2 2 là một cấp số cộng:

1

1 2 1

2

 







u

C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2; là cấp số cộng 1 2

0

 



 



u

D. Dãy số: 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001; không phải là một cấp số cộng

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Dãy số 1 1; 2; 13;

2 2 2 không phải cấp số cộng do

1

2

1

1 2

 



 



u

u d

Câu 2: Cho một cấp số cộng có 1 1; 1

  

u d Hãy chọn kết quả đúng

A. Dạng khai triển : 1;0;1; ;1 1



C. Dạng khai triển : 1;1; ; 2; ; 3 5

; 0; ;1;



Chọn D.

Câu 3 Cho một cấp số cộng có u1 3;u6 27 Tìm d ?

A. d 5 B. d 7 C. d 6 D. d 8

Chọn C.

Ta có: u6 27 u1 5d 27  3 5d27 d 6

Câu 4: Cho một cấp số cộng có 1 1; 8 26

3

Trang 2

A. 11

3



11



3



10



Chọn A.

        

Câu 5: Cho cấp số cộng  u n có: u1 0,1;d 0,1 Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:

Chọn C.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng  u n là: 1   7  

1

2

        

n

Câu 6.Cho cấp số cộng  u n có: u1 0,1;d 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6 B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6

C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5 D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9

Chọn B.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng  u n là:   11

10

     

n

Giả sử tồn tại k * sao cho 0,5 11 0,5 8

     

k

Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình

phương của chúng bằng 120

Giả sử bốn số hạng đó là a3 ;x ax a; x a; 3x với công sai là d 2x Khi đó, ta có:

  2  2  2 2

        





       



Vậy bốn số cần tìm là 2, 4, 6,8

Chú ý:

* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn

* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d x , là chẵn thì gọi công sai d 2x rồi viết các số

hạng cấp số dưới dạng đối xứng

* Nếu cấp số cộng (a thỏa: n) 21 22 2 2

1 2



    



n n

1

1 1

2



n n

2 2

12

1



 



d

Câu 8: Cho CSC ( )u n thỏa : 2 3 5

4 6

10 26





1 Xác định công sai và;

A d 2 B d 4 C d3 D d 5

2 công thức tổng quát của cấp số

Trang 3

A u n3n2 B u n3n4 C u n 3n3 D u n 3n1

2 Tính S     u1 u4 u7 u2011

A S673015 B S6734134 C S673044 D S = 141

Gọi d là công sai của CSC, ta có:





1



1 Ta có công sai d 3 và số hạng tổng quát : u n   u1 (n 1)d 3n2

2 Ta có các số hạng u u u1, 4, 7, ,u2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai d'3d , nên ta

670

2 669 ' 673015 2

Câu 9: Cho cấp số cộng ( )u n thỏa: 5 3 2





1 Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;

A u100  243 B u100  295 C u100  231 D u100  294

2 Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;

A S15 244 B S15 274 C S15 253 D S15 285

3 Tính S u4  u5 u30

A S 1286 B S 1276 C S 1242 D S 1222

Từ giả thiết bài toán, ta có: 1 1 1





1



15

2

27

2

27u116d 1242

Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:

3

2

Câu 10 : Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn 2 3 5

4 6

10 26





1 Xác định công sai?

Trang 4



1 1, 3

 u d  ;u5  u1 4d  1 12 13

1003

2 1002.6 3028057 2

Câu 11: Cho dãy số u n với : 1 1

2

 

n

u n Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số cộng B Số hạng thứ n + 1: 1 1

2

 

n

C. Hiệu : 1 1

2

  

5

Chọn C.

1

          

Câu 12.Cho dãy số  u n với : u n2n5 Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Là cấp số cộng có d = – 2 B. Là cấp số cộng có d = 2

C. Số hạng thứ n + 1:u n12n7 D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là:S4 40

Chọn A.

Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai

         

Câu 13.Cho dãy số  u n có: 1 3; 1

2

  

u d Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 1 

2

   

n

2

   

n

C. 1 

2

   

n

4

    

n

Chọn C.

Sử dụng công thức SHTQ u n   u1 n 1 d  n 2  Ta có:  1

2

   

n

Câu 14.Cho dãy số  u n có: 1 1; 1



 

u d Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 5 5

4



5



4

 

5

 

S

Chọn C.

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên: 2 1  1  1  *

,

 

n

Trang 5

Tính được: 5 5

4

 

S

Câu 15.Cho dãy số  u n có d = –2; S8 = 72 Tính u1 ?

A. u116 B.u1  16 C. 1 1

16



16

 

u

Chọn A.

Ta có:

 1 

1







 



n n

n

n u u

u

d n

Câu 16 Cho dãy số  u n có d0,1;S5  0,5.Tính u ? 1

A. u1 0,3 B. 1 10

3



3



Chọn D.

Ta có :

1

5 1

1

5 1 1

1

4.0,1

0,3 2

0, 25

  



      



n

n n

u S

n

Suy ra chọn đáp án D

Câu 17.Cho dãy số  u n có u1 1;d 2;S n 483 Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A.n20 B. n21 C. n22 D. n23

Chọn D

Ta có: 2 1  1

2

 



n

21





            



n

Do nN* n 23

Câu 18: Cho một cấp số cộng ( )u n có u1 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 Tính

1 2 2 3 49 50

S

A 9

246



23



246



S

Gọi d là công sai của cấp số đã cho

497 2

99



1 2 2 3 49 50

 S   



u u u u  u u

        

Trang 6



49

246

 S

Câu 19: Dãy số ( )u n có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết:

1 u n2n3

A d 2 B d 3 C d5 D d 2

2 u n   3n 1

A d 2 B d 3 C d  3 D d 1

3 u n n21

A d   B d 3 C d  3 D d 1

4 u n  2

n

A d   B 1

2



1 Ta có: u n1u n 2(n  1) 3 (2n 3) 2 là hằng số

Suy ra dãy ( )u n là cấp số cộng với công sai d 2

2 Ta có: u n1u n  3(n      1) 1 ( 3n 1) 3 là hằng số

Suy ra dãy ( )u n là cấp số cộng với công sai d  3

3 Ta có: u n1u n  (n 1)2 1 (n2 1) 2n1 phụ thuộc vào n Suy ra dãy ( )u n không phải là cấp số

cộng





   

n n n n phụ thuộc vào n

Vậy dãy ( )u n không phải là cấp số cộng

Câu 20: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai

1 u n 3n1

A d   B d 3 C d  3 D d 1

2 u n 4 5n

A d   B d 3 C d  5 D d 1

5





n

n u

A d   B 2

5



n

u

n

A d   B d 3 C d  3 D d 1

Trang 7

5

2



n n

n

A d   B d 3 C d  3 D d 1

6 u n n21

A d   B d 3 C d  3 D d 1

1 Ta có: u n1u n 3(n  1) 1 3n 1 3

Dãy ( )u n là CSC có công sai d 3

2 Ta có: u n1u n  5

Dãy ( )u n là CSC có công sai d  5

5

  

u u Dãy ( )u n là CSC có công sai 2

5



d

( 1)



Câu 21: Cho cấp số cộng  u n có: u1 0,3;u8 8 Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4 B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5

C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6 D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7

Chọn D.

10

        

Số hạng tổng quát của cấp số cộng  u n là: 11 

10

n

Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng

Chọn A.

Khi đó

2 1

5

4

2

22

12 5 17

  





        

u u

u

Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số 1

3 và

16

3 để được cấp số cộng có 6 số hạng

A. 4 5 6 7; ; ;

4 7 10 13

; ; ;

4 7 11 14

; ; ;

3 7 11 15

; ; ;

4 4 4 4

Chọn B.

Ta có

1

16

;

Trang 8

Câu 24: Cho dãy số  u n với : u n  7 2n Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 3 số hạng đầu của dãy:u15;u2 3;u31 B. Số hạng thứ n + 1:u n1  8 2n

C. Là cấp số cộng có d = – 2 D. Số hạng thứ 4: u4  1

Chọn B.

Thay n1; 2;3; 4đáp án A, D đúng

              

Câu 25: Cho dãy số  u n có u1 2;d  2;S21 2 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng

B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng

C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng

D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng

Chọn B.

Ta có: 2 1  1

2

 



n

7







n

Do nN* n 6 Suy ra chọn đáp án B

Câu 26: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u , công sai d, 1 n2 ?

A. u n  u1 d B.u n   u1 n 1d C u n   u1 n 1d D. u n   u1 n 1d

Chọn D.

Câu 27: Cho cấp số cộng  u n có u4 12;u14 18 Tìm u1, d của cấp số cộng?

A. u1 20,d  3 B. u1 22,d3 C u1  21,d  3 D. u1  21,d  3

Chọn C.

1

21

u

Câu 28: Cho cấp số cộng  u n cóu4 12;u1418 Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Chọn A.

Sử dụng kết quả bài 17 Tính được 2 1  1

2

 

n

16

16 2 21 15.3

24 2

 

Câu 29: Cho cấp số cộng  u n có u5  15;u20 60 Tìm u1, d của cấp số cộng?

A. u1  35,d 5 B.u1  35,d 5 C. u1 35,d  5 D. u135,d5

Chọn B.

1

35



u

Câu 30: Cho cấp số cộng  u n có u5  15;u2060 Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A. S20 = 200 B. S20 = –200 C. S20 = 250 D. S20 = –25

Trang 9

Chọn C.

Sử dụng kết quả bài 17 Tính được 2 1  1

2

 

n

20

20 2 35 19.5

250 2

 

Câu 31: Cho cấp số cộng (u )

n có u2u320, u5u7  29 Tìm u d ? 1,

A. u1 20;d 7 B. u120,5;d 7 C. u120,5;d  7 D.u1 20,5;d  7

Chọn C.

Áp dụng công thức u n   u1 (n 1) d ta có 1 1

1





Câu 32: Cho cấp số cộng:    2; 5; 8; 11; 14;  Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên?

A.d 3;S20510 B d  3;S20 610

C d  3;S20610 D d 3;S20  610.

Chọn B.

Ta có                    5 2 ( 3); 8 5 ( 3); 11 8 ( 3); 14 11 ( 3); nên d  3

Áp dụng công thức 1 (n 1)

2



 

n

Câu 33: Cho dãy số  u n : 1; - ; - ; - ; 1 3 5

2 2 2 2 Khẳng định nào sau đây sai?

A. (un) là một cấp số cộng B. có d  1

C. Số hạng u2019,5 D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180

Chọn C.

Ta có 1 1 ( 1); -3 1 ( 1); -5 3 ( 1);

            Vậy dãy số trên là cấp số cộng với công sai 1

 

Ta có u20  u1 19d  18,5

Câu 34: Cho dãy số  u n có 2 1

3





n

u Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (un) là cấp số cộng có u1 = 1; d 2

3  3 B. (un) là cấp số cộng có u1 = 1; d 2

3 3

C. (un) không phải là cấp số cộng D. (un) là dãy số giảm và bị chặn

Chọn B.



  

n

3



Câu 35: Cho dãy số u n có 1

2





n u

n Khẳng định nào sau đây sai?

A. Các số hạng của dãy luôn dương B. là một dãy số giảm dần

C. là một cấp số cộng D. bị chặn trên bởi M = 1

2

Chọn C.

Ta có 1 1; u2 1; u3 1

u u2 u1 u3u2 nên dãy số không phải là cấp số cộng

Trang 10

Câu 36: Cho dãy số u n (un) có

2

3





n

u Khẳng định nào sau đây sai?

A. Là cấp số cộng có 1 1;

3



3



2 1

3



 



n

n u

C. Hiệu 1 2(2 1)

3



 

n

Chọn A.

Ta có

1

2(n 1) 1 2 1 2(2 n 1)



n

Câu 37: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o Tìm các góc còn lại?

A. 75o ; 120o; 165o B. 72o ; 114o; 156o C. 70o ; 110o; 150o D. 80o ; 110o; 135o

Chọn C.

Ta có: u1  u2 u3 u4 36030 30  d 30 2 d30 3 d 360 d 40

Vâỵu2 70; u3 110; u4 150

Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình

phương của chúng bằng 29

Chọn D.

Gọi ba số hạng của CSC là a2 ; ;x a a2x với d 2x

3

1

2

 



     



a

x

Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành

cấp số nhân Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó

A b15,c20,d25,a12 B b16,c20,d25,a12

C b15,c25,d25,a12 D b16,c20,d25,a18

Chọn B.

Gọi bốn số đó là a b c d, , , ta có hệ :

Câu 40: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn 7 3

2 7

8

 





u u Tìm u d ? 1,

A

2







d

2







d

2







d

2







d

Trang 11

Chọn C.





Câu 41: Cho cấp số cộng (un) có công sai d 0; 312 342

31 34

11 101

 





 



u u Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số

cộng đó

A u n 3n9 B u n3n2 C u n 3n92 D u n 3n66

Chọn C.

3





d

Vậy u n 3(n 1) 893n92

Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o

Tìm 2 góc còn lại?

A. 65o ; 90o B. 75o ; 80o C. 60o ; 95o D. 60o ; 90o

Chọn D.

Ta có :u1 u2 u3 18025 25  d 25 2 d180 d 35

Vâỵ u2 60; u3 90

Câu 43: Tam giác ABC có ba góc A B C, , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C5A Xác định số

đo các góc A B C, ,

A

0 0 0

10 120 50

 







 



A

B

C

B

0 0 0

15 105 60

 







 



A B C

C

0 0 0

5 60 25

 







 



A B C

D

0 0 0

20 60 100

 







 



A B C

Chọn D.

Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :

0 0

0

20

 

     





A

Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và sin sin sin 3 3

2



tính các góc của tam giác

A 30 , 60 ,90 0 0 0 B 20 , 60 ,1000 0 0 C 10 ,50 ,1200 0 0 D 40 , 60 ,80 0 0 0

Chọn A.

Ba góc của tam giác: 30 , 60 ,90 0 0 0

Trang 13

DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG

Phương pháp:

 a b c, , theo thứ tự đó lập thành CSC   a c 2b

Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. 2 2

C. a2c2 2ab2bc D. a2c2 ab bc

Chọn B.

a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

  2 2 2 2

Suy ra chọn đáp án B

Câu 2: Cho a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. 2 2

C. a2c2 2ab2bc2ac D. a2c2 2ab2bc2ac

Chọn C.

, ,

a b ctheo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

  2 2 2 2

Câu 3: Cho a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng

?

A. 2 , ,b a c 2 2 B. 2 , 2 , 2b  a  c C. 2 , ,b a c D. 2 ,b  a, c

Chọn B.

Ta có a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a c 2b

 2b c   2.2a  2b  2c  2 2a 

2 , 2 , 2

  b  a  c lập thành một cấp số cộng

Câu 4: Xác định x để 3 số : 1x x; 2;1x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của x B. x 2

C.x 1 D. x0

Hướng dẫn giải: :

Chọn C.

Ba số : 1x x; 2;1x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 2   2

    

2

Câu 5: Xác định x để 3 số : 2

1 2 ; 2 x x  1; 2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

2

 

C 3

4

 

Chọn B.

Ba số :1 2 ; 2 x x2 1; 2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	1,35 MB